cours4

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PARTIE 2
ÉLECTROSTATIQUE
GB
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Intérêt du théorème de Gauss :
Permet de déterminer en tout point, le champ créé par des distributions de charges
présentant des symétries
Remarque : Si la distribution de charges ne présente pas de symétrie, on doit se
contenter du principe de superposition
4/ Permittivité du vide. Unité rationalisée
Angle solide Ω par rapport à 4π (angle solide lequel on voit une surface fermée) :
dΦ = K q dΩ
devient dΦ = 1 q dΩ avec
εo 4π
Ω
4π
K= 1
4πεo
⇒ Introduction de εo permittivité du vide
Système d’unité rationalisé : εo =
1
C2/Nm2 (≈ 8,8542 10-12 C2 N-1m-2)
9
36 π 10
•/•
GB
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5/ Forme locale du théorème de Gauss (Relation locale entre E et ρ)
Distribution volumique ρ de charges dans un domaine D entouré par la surface S
⇒ ΦS  E  = ∫∫ E.ds = ε1 ∫∫∫ρ dτ


S
o
D
⇒Théorème de Gauss sous sa forme intégrale dans le cas particulier d’un domaine
renfermant un ensemble de charges libres placées dans le vide
M
•
r
E
dττ
ρ
D
V
S
L’intégrale sur D peut s’étendre au volume V enfermé par S
Théorème de la divergence :
1
E
.
ds
=
div
E
d
τ
=
∫∫
∫∫∫
εo
S
V
ρ dτ
∫∫∫
V
⇒ div E = ρ
εo
Forme locale du théorème
de Gauss dans le vide
•/•
GB
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6/ Électrostatique dans les diélectriques
a – Milieux conducteurs et milieux diélectriques
Matière : assemblage d’atomes composés de particules électrisées (noyaux, électrons)
Deux cas :
• Sous l’action d’un champ électrostatique : des électrons (de conduction) circulent
à travers les atomes. C’est le phénomène de conduction. Il s’agit d’un conducteur
• Les électrons restent liés aux noyaux (force de rappel atomique)
En présence d’un champ extérieur ⇒ centre de gravité des charges + n’est plus confondu
avec celui des charges −
⇒ création de dipôles : les atomes ou molécules se polarisent.
C’est la polarisation. Il s’agit d’un milieu isolant ou diélectrique
+-
Eo
REMARQUE : Des diélectriques comme l’eau présentent cette caractéristique
en absence de champ électrostatique
Ce sont des diélectriques polaires
•/•
GB
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b – Champ induit – Induction électrique
Ei
Domaine diélectrique D comportant des charges libres de densité ρ
+-
créent un champ E o et E o va créer un champ induit Ei
Eo
⇒ champ électrostatique résultant E = Eo + Ei
Tout se passe comme si des charges de densité volumique ρp ont créé Ei
⇒ Densité résultante de charges : ρ + ρp
Introduction du vecteur polarisation électrique p tel que ρp = −divp
⇒ divE = 1 (ρ + ρp )
εo
⇒ div εo Ε + p  = ρ


Induction électrique D = εo E + p (electric displacement) ⇒ théorème de Gauss : divD = ρ
D continue à vérifier le théorème de Gauss dans les diélectriques polarisés alors que
cela n’est plus le cas pour E Intérêt essentiel de D
•/•
GB
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c – Diélectrique linéaire ou parfait
Vecteur polarisation proportionnel au vecteur champ électrostatique
(tous les dipôles sont //)
On écrit : p = εo χ Ε
div εo Ε + p  = ρ


χ constante > 0 (sans dimension) : susceptibilité du diélectrique

⇒ div εo Ε

+ εoχE  = ρ

⇒ div E =
ρ
(1+ χ) εo
εr = 1 + χ : permittivité relative du milieu diélectrique (εr > 1 )
ε = εo εr : permittivité absolue du milieu.
⇒ Cas du diélectrique parfait : divE = ρε
REMARQUE :
Dans le vide (et dans les matériaux qui ne se polarisent pas) : p = 0 ⇒ χ = 0
⇒ εr = 1
⇒ Théorème de Gauss sous sa forme intégrale ΦS  E  = E • ds = 1 ρ dτ
ε ∫∫∫
  ∫∫
S
V
•/•
GB
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d – Équations fondamentales de l’électrostatique dans les diélectriques
Champ électrostatique dérive du potentiel : E = − gradV équivalent à rot E = 0
⇒ div E
= − div gradV = ρ
ε
div gradV : laplacien de V, noté ∆V
⇒ ∆V + ρ = 0 Equation de Poisson (Siméon Denis Poisson, 1781-1840)
ε
E = − gradV
⇒ Deux groupes d’équations équivalentes :
ou
divE = ρ
ε
- En absence de charges libres :
E = − gradV
divE = 0
rot E = 0
∆V + ρ = 0
ε
rot E = 0
∆V = 0
(équation de Laplace)
- Exactement mêmes équations que celles "l’électrostatique du vide"
à condition de remplacer εo par ε
•/•
GB
62
7/ Exemples d’application du théorème de Gauss
z
u
a – Charge ponctuelle placée dans le vide
θ
M
r
Soit une charge ponctuelle Q > 0
uθ
O
y
ϕ
x
Invariance : par rotation autour du centre O
uϕ
champ électrostatique E ne dépend que de r (distance à O) ⇒ E(r )
Symétries : tout plan passant par O est plan de symétrie
E ∈ à tous ces plans à la fois ⇒ radial et s’éloigne de O (Q > 0) ⇒ E = E(r ) u (E(r) > 0)
Choix de la surface S fermée : symétrie sphérique
⇒ sphère centre O, rayon r
( )
Th. de Gauss : ΦSfermée E =
∫∫ E • dS = ∫∫ EdS = E ∫∫ dS
S
⇒E=
4πε o r
2
E
Q
εo
P
P
r
= ES
= 4π r 2 E
dS
E
r
u u
Q+
O
S
S
Q
dS
et
E=
S
Q
4πεo r
2
u
•/•
GB
63
b – Distribution uniforme de charges présentant une symétrie sphérique
Boule homogène rayon R et soit une charge Q < 0
Invariance : par rotation autour du centre O
champ électrostatique E ne dépend que de r (distance à O)
⇒ E(r )
Symétries : tout plan passant par O est plan de symétrie
E ∈ à tous ces plans à la fois ⇒ radial et converge vers O (Q < 0) ⇒ E = −E(r ) u (E(r) > 0)
Choix de la surface S fermée : symétrie sphérique ⇒ sphère centre O, rayon r
Champ à l’extérieur de la boule chargée (cas r > R) :
1
Q
E
Φ
=
q
=
Th. de Gauss :
∑ int ε
Sfermée
εo
o
( )
dS
P
⇒E=
S
S
−Q
4πεo r 2
r
et
E=
Q
4πεo r 2
Résultat identique à celui obtenu
pour une charge Q concentrée en O
E
u
M
O
r
u u
+
O
P
u
dS
E
E
∫∫ E • dS = −∫∫ EdS = −E∫∫ dS = −ES = −4π r 2E
S
P
S
r
•/•
64
A l’intérieur de la boule de charge Q
ΦSfermée
Th. de Gauss :
⇒E=
Qint
4πεo r
2
(cas r < R ) On a toujours
( )
S
Q
E = int
εo
E(r ) = −E(r ) u
GB
: sphère de rayon r < R
Qint : charge de la boule de rayon r
(intérieure à S)
u
4
ρ < 0 : densité volumique de charges)
Qint = π r 3ρ (ρ
3
⇒E=
−Q
E
ρ
ru
3 εo
∼
r
4πεo R 2
∼
O
R
1
r2
r
•/•
GB
65
c – Distribution uniforme de charges présentant une symétrie cylindrique
Cylindre ∞t long, chargé en surface avec λ : charge par unité de longueur
Invariances
Dans une rotation θ autour de l’axe z’z
Dans une translation suivant z’z (cylindre ∞t long)
Coordonnées cylindriques (ρ, θ, z) ⇒ Champ E indépendant de θ et z
E ne dépend que de ρ (distance à z’z) ⇒ E(ρ)
Plans de symétrie
Plans ⊥ z’z (cylindre ∞t long)
Plans passant par z’z
E ∈ à tous ces plans ⇒ E ⊥ à z’z
Si charges > 0 ⇒ E s’éloigne de z’z
⇒ E = E(ρ) u ρ
Choix de la surface S fermée : symétrie cylindrique ⇒ cylindre fermé
(hauteur L, axe z’z, rayon ρ)
Extérieur du cylindre chargé (ρ > R, Qint= λL charge ‘enfermée’ dans S )
Q
Th. de Gauss ΦS E = int
εo
Qint
λ
⇒E=
uρ
E • dS =
E • dS +
E • dS = 2π ρL E =
2πεoρ
εo
S
Sbases
Slat
A l’extérieur du cylindre creux chargé, la norme du champ E varie en 1/ρ
( )
∫∫
∫∫
∫∫
•/•
GB
66
A l’intérieur du cylindre chargé (ρ < R )
Th. de Gauss :
On a toujours
( )
E(ρ) = E(ρ) u ρ
S : cylindre fermé, rayon ρ < R, hauteur L
ΦS E = 0 = 2π ρL E
Charge de ce cylindre de rayon ρ ≡ 0
⇒E=0
Q
E
λ
2πεo R
Qint = 0
ρ
R
1
∼ ρ
O
R
ρ
•/•
GB
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d – Plan infini chargé avec une densité surfacique σ (plan xOy)
E
Dans une translation suivant x
Invariances
(plan ∞)
Dans une translation suivant y
z
z
Coordonnées cartésiennes (x, y, z)
⇒ E indépendant de x et y
uz
E ne dépend que de z ⇒ E(z )
Plans de symétrie : Plans ⊥ xOy
ux
x
E ∈ à tous les plans ⊥ xOy ⇒ E ⊥ xOy
Σbase
r
M
Σbase
y
uy
O
y
ds
x
ds
E
Si z > 0 E = E(z ) u z
Si σ > 0 ⇒ E s’éloigne
Si z < 0 E = −E(z ) u z
de xOy ⇒ E(z) > 0
Choix de la surface S fermée : cylindre fermé (axe z’z, surface de base S)
Q
(Q = σS : charge ‘enfermée’ dans S )
Th. de Gauss ΦS E =
εo
σS
σ
⇒E=
E • dS =
E • dS +
E • dS = 2S E =
2ε o
εo
S
Sbases
Slat
σ
σ
⇒E=
u z si z > 0
E=−
u z si z < 0
⇒ Champ uniforme
2ε o
2ε o
( )
∫∫
∫∫
∫∫