Université Pierre et Marie Curie

Formules de Binet
Une particule M, de masse m se d€place dans un r€f€rentiel galil€en. Elle est soumise • une
force centrale F  f (r , ).er centr€e en O. r et θ d€signent les coordonn€es polaires
rep€rant M dans le plan contenant la trajectoire avec OM  r.er :
1.
En posant u = 1∕r. Montrer que la vitesse et l’acc€l€ration de cette particule peuvent
s’exprimer • l’aide de u et des d€riv€es premiƒre et seconde de u par rapport • θ (formules
de Binet).
Dans le TD sur les propri‚t‚s ‚l‚mentaires des forces centrales il a ‚t‚ v‚rifi‚ que le
2 d
 C o„ C
mouvement d'une particule M soumise ƒ une force centrale est plan et que r .
dt
est une constante et r  OM .
d1/u.er
1
1
d1/u
1 d .e
er  . r or
et OM  r.er => OM = .er => v 
=> v 
r
u
dt
dt
u dt
d1/u d
1 d .e d
. er  . r .
u est fonction de θ => v 
or er  i.cos  j.sin =>
d dt
u d dt
der
d C
u
1
 i.sin  j.cos  e et
 2 => v  Cu 2 .( 2 . er  .e ) =>
d
dt r
u
u
Comme u 
v  C .(u . er  u.e  ) [1]
En d‚rivant la vitesse par rapport au temps :
a=
dv dv d
d (u . er  u.e  )
2 2

.
=> a = C 2u 2
=> a = C u .(u . er  u.e  u .e  u . er )
dt d dt
d
a = C 2u 2 .(u . er  u. er ) [2]
Remarque : Les €quations [1] et [2] sont les formules de Binet. L’acc€l€ration est bien
centrale.
2. D€terminer la loi de force f(r) pour que la trajectoire de la particule soit une spirale

logarithmique r = ae . Pr€ciser la constante mise en jeu dans l’expression de F • partir des
conditions initiales r0 et θ0.
r = ae => u =
F =  m.C 2
1 
1
1
e => u  = - e  => u  = e  avec F =  m.C 2u 2 .(u. er  u . er )
a
a
a
1 2 1  1 
2m.C 2
2 2
3
e
.(
e

e
).
e
F
=

m
.
C
e
.
e
F
=

. er
r =>
r =>
a2
a
a
a3
r3
1 
1 
Ce
v

C
.(
e
.
e

e
.
e
)

.
.( er  e  ) ses composantes sur
La vitesse a pour expression
r

a
a
a

er et sur e sont ‚gales, la vitesse fait donc un angle de
avec OM = r.er
4
2m.r04 .02
2
.er
Compte tenu des conditions initiales C  r0 .0 => F = 
r3
3. La trajectoire d’un satellite est donn€e en coordonn€es polaires par :
r
p
1  e.cos 
Calculer, en fonction de e et θ, l’angle α que fait le vecteur vitesse avec le rayon vecteur.
r
1 e.cos
e.sin
p
=> u  p  p
=> u    p
or v  C .(u . er  u.e  )
1  e.cos 
v  C.(
e.sin
1  e.sin
. er 
.e ) => tg  tg (e , e )  1  e.sin
r 
p
p
e.sin