Exercices : Variables aléatoires `a densité

Probabilit´es : Chapitre 4 Exercices
Exercices : Variables al´eatoires `a densit´e
Exercice 1:
D´eterminer si les fonctions suivantes sont des densit´es de probabilit´e et si oui d´eterminer la fonction
de r´epartition de la VAR associ´ee `a cette densit´e.
1. g(t) = (0 si t < 0
4te−2tsi t>02. u(t) = 
0 si t < 0
3
2e−t/21−e−t/22si t>0
3. f(t) = 
0 si t < 0
1
2 ln 2e−tln(1 + et) si t>0On pensera au changement de variable u=e−t.
Exercice 2:
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar : f(t) = 
0 si t /∈]1; 2]
a
√t−1si t∈]1; 2]
D´eterminer apour que fsoit une densit´e de probabilit´e
Exercice 3:
D´eterminer si les fonctions suivantes sont les fonctions de r´epartition d’une variable `a densit´e. Si oui,
en donner une densit´e.
1. F(x) = 
0 si x < 0
1−1 + x
22e−xsi x>0
2. ∀x∈R,F(x) = 1 −1
1 + ex
Exercice 4:
Soit Xune VAR dont la fonction de r´epartition Fest d´efinie par : F(x) = (0 si x < 0
1−e−x2/2si x>0
Montrer que Xest une variable `a densit´e et d´eterminer une densit´e de X.
Exercice 5:
Calculer, si elle existe, l’esp´erance de la variable Xdont une densit´e est :
1. g(t) = (0 si t < 0
4te−2tsi t>02. h(t) = 
0 si t < 1
4 ln t
t3si t>1
Exercice 6:
On consid`ere la fonction fd´efinie par : f(x) = 
4
3(1 −x)1/3si 0 6x61
0 sinon
1. Montrer que fest la densit´e d’une variable al´eatoire Y.
2. D´eterminer la fonction de r´epartition Fde la variable Y. Construire sa repr´esentation graphique
dans un rep`ere orthonormal.
3. Calculer l’esp´erance de la variable Y.
4. Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement [0,488 < Y 61,2]
Probabilit´es : Chapitre 4 Exercices Page 1 Variables al´eatoires `a densit´e

Exercice 7:
Reprendre l’exercice 5 et calculer, si elle existe, la variance de la variable al´eatoire associ´ee aux densit´es
donn´ees.
Exercice 8:
Soit Xune VAR qui suit une loi uniforme sur [a;b]. Montrer que Xadmet une variance et la calculer.
Exercice 9:
On suppose que la distance en m`etres parcourue par un javelot suit une loi normale. Au cours d’un
entrainement, on constate que :
– 10% des javelots atteignent plus de 75 m`etres.
– 25% des javelots parcourent moins de 50 m`etres.
Calculer la longueur moyenne parcourue par un javelot ainsi que l’´ecart-type de cette longueur.
On donne au dos la table de valeurs de la fonction de r´epartition de la loi N(0,1).
Exercice 10:
Soit Xune variable al´eatoire suivant la loi exponentielle E(λ).
1. D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Y=√X.
2. D´eterminer une densit´e de X2.
3. D´eterminer une densit´e de X3.
Exercice 11:
Soit Xune variable al´eatoire `a densit´e dont la fonction de r´epartition Fest strictement croissante.
D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Y=F(X).
Exercice 12:
Soit Xune variable al´eatoire dont une densit´e est la fonction fd´efinie sur Rpar :
f(x) = (e−|x|si −ln 2 6x6ln 2
0 sinon
1. D´eterminer la fonction de r´epartition Fde X.
2. On pose Y=|X|. D´eterminer la fonction de r´epartition Gde Ypuis montrer que Yest une variable
`a densit´e et donner une densit´e de Y.
Exercice 13:
Soit Xune VAR admettant une densit´e f. On suppose que Xprends ses valeurs dans R+. Soit Y= [X]
(partie enti`ere de X)
1. D´eterminer la loi de Y.
2. a) Montrer que E(Y) existe si et seulement si E(X) existe.
b) Montrer que si E(X) existe alors : E(Y)6E(X)6E(Y) + 1.
Probabilit´es : Chapitre 4 Exercices Page 2 Variables al´eatoires `a densit´e

Exercice 14:
Apr`es enquˆete, on estime que le temps de passage `a une caisse, exprim´e en unit´es de temps, est une
variable al´eatoire Tdont une densit´e de probabilit´e est donn´ee par la fonction fd´efinie par :
f(x) = (xe−xsi x>0
0 si x < 0
1. Rappeler la d´efinition d’une densit´e de probabilit´e d’une variable al´eatoire Xsuivant une loi expo-
nentielle de param`etre λ= 1. Donner la valeur de l’esp´erance et de la variance de X.
2. Utiliser la question pr´ec´edente pour v´erifier que fest bien une densit´e de probabilit´e, puis montrer
que Tadmet une esp´erance que l’on d´eterminera.
Quel est le temps moyen de passage en caisse ?
3. a) D´emontrer que la fonction de r´epartition de T, not´ee FTest d´efinie par :
FT(x) = (0 si x < 0
1−(x+ 1)e−xsi x>0
b) Montrer que la probabilit´e que le temps de passage en caisse soit inf´erieur `a deux unit´es(de temps)
sachant qu’il est sup´erieur `a une unit´e est ´egale `a 2e−3
2e.
4. Un jour donn´e, trois clients A, B, C se pr´esentent simultan´ement devant deux caisses libres. Par
courtoisie, Cd´ecide de laisser passer Aet Bet de prendre la place du premier d’entre eux qui aura
termin´e. On suppose que les variables TAet TBcorrespondant au temps de passage en caisse de A
et Bsont ind´ependantes.
a) Md´esignant le temps d’attente du client Cexprimer Men fonction de TAet TB.
b) Montrer que la fonction de r´epartition de la variable al´eatoire Mest donn´ee par :
P(M6t) = (0 si t < 0
1−(1 + t)2e−2tsi t>0
c) Prouver que Mest une variable `a densit´e et expliciter une densit´e de M.
Probabilit´es : Chapitre 4 Exercices Page 3 Variables al´eatoires `a densit´e

Probabilit´es : Chapitre 4 Exercices Page 4 Variables al´eatoires `a densit´e

Correction
Exercice 1:
1. (i) On remarque tout d’abord que gest bien une fonction positive car 0 >0 et pour t>0,
4te−2t>0.
(ii) La fonction nulle est continue sur ] − ∞; 0[ et par produit de fonctions continues, la fonction
t→4te−2test continue sur ]0; +∞[. Donc gest continue sur R∗.
De plus lim
0−
g= 0 = lim
0+g=g(0) donc gest en fait continue sur R.
(Dans notre th´eor`eme il suffit que la fonction soit continue sauf ´eventuellement en un nombre
fini de points donc nous ne sommes pas oblig´es de v´erifier la continuit´e de gen 0.)
(iii) Comme gest nulle sur ] − ∞; 0[, l’int´egrale Z0
−∞
g(t)dt est convergente et vaut 0.
Sur [0; +∞[, gest continue donc l’int´egrale Z+∞
0
g(t)dt ne pose probl`eme qu’en +∞.
Soit A > 0, par int´egration par parties :
ZA
0
4te−2tdt =−2te−2tA
0+ZA
0
2e−2tdt =−2Ae−2A−e−2A+ 1
Or lim
A→+∞−2Ae−2A−e−2A+ 1 = 1 donc l’int´egrale Z+∞
0
g(t)dt est convergente et vaut 1.
En conclusion Z+∞
−∞
g(t)dt est convergente et vaut 1.
gest une densit´e de probabilit´e.
Soit Xune VAR de densit´e g. Notons Gsa fonction de r´epartition. Par d´efinition G(x) = Zx
−∞
g(t)dt.
Si x < 0 alors G(x) = Zx
−∞
0dt = 0.
Si x>0 alors G(x) = Z0
−∞
0dt +Zx
0
4te−2tdt = 0 −2xe−2x−e−2x+ 1 = 1 −(2x+ 1)e−2x.(Inutile de
refaire le calcul, il a ´et´e fait dans le point (iii).)
G(x) = (0 si x < 0
1−(2x+ 1)e−2xsi x>0
2. (i) On remarque tout d’abord que uest bien une fonction positive car 0 >0 et pour t>0,
3
2e−t/21−e−t/22>0.
(ii) La fonction nulle est continue sur ] − ∞; 0[ et par produit de fonctions continues, la fonction
t→3
2e−t/21−e−t/22est continue sur ]0; +∞[. Donc uest continue sur R∗.
De plus lim
0−
u= 0 = lim
0+u=u(0) donc uest en fait continue sur R.
(iii) Comme uest nulle sur ] − ∞; 0[, l’int´egrale Z0
−∞
u(t)dt est convergente et vaut 0.
Sur [0; +∞[, uest continue donc l’int´egrale Z+∞
0
u(t)dt ne pose probl`eme qu’en +∞.
Soit A > 0 :
ZA
0
3
2e−t/21−e−t/22dt =(1 −e−t/2)3A
0= (1 −e−A/2)3
Probabilit´es : Chapitre 4 Exercices Page 5 Variables al´eatoires `a densit´e