Propädeutische Analysis I – Série 11 SA 2016 J.–P. Berrut A

Propädeutische Analysis I – Série 11
SA 2016
J.–P. Berrut
A rendre jusqu’au mercredi 7 décembre 2016, 12:00, dans le casier marqué “Analyse
propédeutique” entre les bureaux 2.55 et 2.56 du bâtiment de physique.
Exercice 31. Décroissance exponentielle.
(a) Strontium 90. Si une substance radioactive a une demi-vie de 28.2 ans, combien
d’années sont–elles nécessaires pour que 95% de cette substance se désintègrent ?
(b) Datation par le carbone 14. Supposons que la mesure de la radioactivité du C 14
dans des bois carbonisés lors d’une éruption volcanique donne en moyenne 5.8
désintégrations par gramme et par minute (d.p.m), alors qu’un bois vivant donne
13.5 d.p.m en moyenne. Sachant que l’isotope radioactif C 14 a une demie–vie de
5730 ans, quand a eu lieu l’éruption ?
(c) Libby half-life. Si on a utilisé la valeur imprécise de 5568 ans comme demi-vie dans
la datation par C 14 , comment peut-on ajuster les datations obtenues à la valeur
correcte ?
(d) Réaction chimique. Le taux de décomposition du pentoxide d’azote en tetroxide
d’azote et oxygène est proportionnel à sa concentration. Une solution de 5 moles
de pentoxide d’azote se décompose en 8 minutes en une solution de 3.5 moles. En
combien de temps 80% du pentoxide d’azote se décomposent–ils ?
Exercice 32. Loi normale gaussienne. En probabilité, on dit d’une variable aléatoire
réelle X qu’elle suit une loi normale (gaussienne) d’espérance µ ∈ R et d’écart type σ > 0
si elle admet pour densité de probabilité la fonction p : R → R définie par
2
(t−µ)
1
−
p(t) = √ e 2σ2 .
σ 2π
La probabilité que la variable X soit dans l’intervalle [a, b] est alors donnée par
∫ b
P (a ≤ X ≤ b) =
p(t) dt .
(1)
(2)
a
(a) Etudier la densité p et dessiner son graphe : symétries, dérivées p′ et p′′ , variation,
extrema, points d’inflexion, asymptotes.
∫ ∞
∫ ∞
√
−x2
(b) On sait que
e dx = π. En déduire que
p(t) dt = 1 .
−∞
−∞
(c) Etudier la fonction de répartition définie par
∫ x
F (x) =
p(t) dt .
−∞
Dessiner son graphe. Comparer avec les résultats de la partie (a).
(3)
Exercice 33. Vitesse d’évasion. Une boule de masse m est catapultée verticalement
dans l’espace depuis la surface de la terre à une vitesse initiale v0 . En négligeant la
résistance de l’air, la boule sera soumise à la seule force de gravitation. Alors l’équation
de mouvement selon Newton est donnée par
m v̇(t) = −
mgR2
,
(R + x)2
(4)
où v est la vitesse de la boule, x sa hauteur au dessus de la surface de la terre, R le rayon
de la terre et g l’accélération de la pesanteur. En exprimant v̇(t) par v ′ (x) à l’aide de la
dv dx
′
régle de dérivation d’une fonction composée v̇ = dv
dt = dx dt = v v, il vient
v(x) v ′ (x) = −
gR2
.
(R + x)2
(5)
Trouver la fonction v et déterminer la vitesse d’évasion ve , c’est-à-dire la plus petite
vitesse initiale pour laquelle v(x) ne s’annule jamais (la boule s’échappe alors du champ
gravitationnel de la terre). Valeurs numériques : g = 9.81 m/s2 , R = 6378 km.
Willard F. Libby, 1902–1980;
14 C, 235 U
Indications
31 (c) Il suffit de multiplier tous les résultats par le même facteur c. Calculer c.
33 Afin de trouver v(x), intégrer l’égalité (5) pour obtenir
1
gR2
(v(x))2 =
+ C.
2
R+x
Déterminer la constante d’intégration C à l’aide de la condition initiale v(0) = v0 .
Résultat :
√
2gR2
v(x) =
+ v02 − 2gR.
R+x
Maintenant il faut déterminer le v0 minimal tel que v(x) > 0 pour tout x > 0.
Page web du cours : http://perso.unifr.ch/elia.saini