Propädeutische Analysis I – Série 11 SA 2016 J.–P. Berrut A

Prop¨adeutische Analysis I – S´erie 11 SA 2016 J.–P. Berrut
A rendre jusqu’au mercredi 7 d´ecembre 2016, 12:00, dans le casier marqu´e “Analyse
prop´edeutique” entre les bureaux 2.55 et 2.56 du bˆatiment de physique.
Exercice 31. D´ecroissance exponentielle.
(a) Strontium 90. Si une substance radioactive a une demi-vie de 28.2 ans, combien
d’ann´ees sont–elles n´ecessaires pour que 95% de cette substance se d´esint`egrent ?
(b) Datation par le carbone 14. Supposons que la mesure de la radioactivit´e du C14
dans des bois carbonis´es lors d’une ´eruption volcanique donne en moyenne 5.8
d´esint´egrations par gramme et par minute (d.p.m), alors qu’un bois vivant donne
13.5 d.p.m en moyenne. Sachant que l’isotope radioactif C14 a une demie–vie de
5730 ans, quand a eu lieu l’´eruption ?
(c) Libby half-life. Si on a utilis´e la valeur impr´ecise de 5568 ans comme demi-vie dans
la datation par C14, comment peut-on ajuster les datations obtenues `a la valeur
correcte ?
(d) R´eaction chimique. Le taux de d´ecomposition du pentoxide d’azote en tetroxide
d’azote et oxyg`ene est proportionnel `a sa concentration. Une solution de 5 moles
de pentoxide d’azote se d´ecompose en 8 minutes en une solution de 3.5 moles. En
combien de temps 80% du pentoxide d’azote se d´ecomposent–ils ?
Exercice 32. Loi normale gaussienne. En probabilit´e, on dit d’une variable al´eatoire
r´eelle Xqu’elle suit une loi normale (gaussienne) d’esp´erance µ∈Ret d’´ecart type σ > 0
si elle admet pour densit´e de probabilit´e la fonction p:R→Rd´efinie par
p(t) = 1
σ√2πe−(t−µ)2
2σ2.(1)
La probabilit´e que la variable Xsoit dans l’intervalle [a, b] est alors donn´ee par
P(a≤X≤b) = ∫b
a
p(t)dt . (2)
(a) Etudier la densit´e pet dessiner son graphe : sym´etries, d´eriv´ees p′et p′′ , variation,
extrema, points d’inflexion, asymptotes.
(b) On sait que ∫∞
−∞
e−x2dx =√π. En d´eduire que ∫∞
−∞
p(t)dt = 1 .
(c) Etudier la fonction de r´epartition d´efinie par
F(x) = ∫x
−∞
p(t)dt . (3)
Dessiner son graphe. Comparer avec les r´esultats de la partie (a).

Exercice 33. Vitesse d’´evasion. Une boule de masse mest catapult´ee verticalement
dans l’espace depuis la surface de la terre `a une vitesse initiale v0. En n´egligeant la
r´esistance de l’air, la boule sera soumise `a la seule force de gravitation. Alors l’´equation
de mouvement selon Newton est donn´ee par
m˙v(t) = −mgR2
(R+x)2,(4)
o`u vest la vitesse de la boule, xsa hauteur au dessus de la surface de la terre, Rle rayon
de la terre et gl’acc´el´eration de la pesanteur. En exprimant ˙v(t) par v′(x) `a l’aide de la
r´egle de d´erivation d’une fonction compos´ee ˙v=dv
dt =dv dx
dx
dt =v′v, il vient
v(x)v′(x) = −gR2
(R+x)2.(5)
Trouver la fonction vet d´eterminer la vitesse d’´evasion ve, c’est-`a-dire la plus petite
vitesse initiale pour laquelle v(x) ne s’annule jamais (la boule s’´echappe alors du champ
gravitationnel de la terre). Valeurs num´eriques : g= 9.81 m/s2,R= 6378 km.
Willard F. Libby, 1902–1980; 14C,235U
Indications
31 (c) Il suffit de multiplier tous les r´esultats par le mˆeme facteur c. Calculer c.
33 Afin de trouver v(x), int´egrer l’´egalit´e (5) pour obtenir
1
2(v(x))2=gR2 R+x+C.
D´eterminer la constante d’int´egration C`a l’aide de la condition initiale v(0) = v0.
R´esultat :
v(x) = √2gR2
R+x+v2
0−2gR.
Maintenant il faut d´eterminer le v0minimal tel que v(x)>0 pour tout x > 0.
Page web du cours : http://perso.unifr.ch/elia.saini