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M´ethodes inverses
Travaux dirig´es
S´ eance 5 — Coombinaison de distributions gaussiennes
Semaine du 9 mars 2009
Rappels et Compl´ements
Soit Xune variable al´eatoire continue.
•Une densit´edeprobabilit´eassoci´ee `aXest une fonction fX(x) telle que
P(b≥X≥a)=8b
a
fX(x)dx
est la probabilit´equeXprenne une valeur xcomprise entre aet br´eels. On a $b
afX(x)dx ≥0et
$∞
−∞ fX(x)dx =1.
•La densit´e de probabilit´ee cumul´ee (cdf) associ´ee `aXest la fonction
FX(x)=P(x≥X)=8x
−∞
fX(u)du;
ainsi la densit´e de probabilit´edeXest la d´eriv´ee de la cdf : fX(x)=F
X(x).
•L’esp´erance de la variable al´eatoire continue Xest d´efinie par
E(X)=8∞
−∞
xf
X(x)dx.
•Si Y=g(X) est une fonction de la variable alatoire X,alorsYest aussi une variable al´eatoire et son
esp´erance est donn´ee par
E(Y)=8∞
−∞
yf
Y(y)dy =8∞
−∞
g(x)fX(x)dx.
•La variance de la variable al´eatoire Xest d´efinie par
var(X)=Ep[X−E(X)]2Q.
•L’´ecart-type de la variable al´eatoire Xest la racine carr´ee de sa variance :
σ(X)=0var(X).
•Le k-i`eme moment de la variable al´eatoire Xest d´efini par E(Xk).
•La fonction g´en´eratrice des moments de Xest d´efinie par MX(t)=E(etX ). Ses d´eriv´ees successives
sont ´egales aux moments : M(k)
X(t)=E(Xk).
•La fonction caract´eristique de Xest d´efinie par ΦX(t)=E(eitX ). Sa transform´ee de Fourier est la
densit´e de probabilit´e, et ses d´eriv´ees successives permettent aussi de d´eterminer les moments.

0. Questions prliminaires
•Montrer que E(αX)=αE(X), o`uαest un scalaire.
•Montrer que E(X+Y)=E(X)+E(Y), o`uXet Ysont des variables al´eatoires ayant la mˆeme densit´e
de probabilit´e.
•Montrer que E[X−E(X)] = 0.
•Montrer que var(X)=E(X2)−[E(X)]2.
1. On rappelle que la loi gaussienne correspond `aladensit´e de probabilit´esuivante: f(x)= 1
σ√2πe−(x−x0)2
2σ2.
Soient deux variables al´eatoires ind´ependantes Xet Y,repr´esent´ees par deux distributions de proba-
bilit´e gaussiennes fX(x)etfY(y).
•D´eterminer la densit´e de probabilit´ejointefXY (x, y).
•D´eterminer le nombre Ket les matrices A et C tels que fXY (x, y)=Ke−1
2ATC−1A.Cestla
matricedecovariance.Lorsquelesvariablesal´eatoires sont ind´ependantes, elle est diagonale.
2. Quand les variables al´eatoires ne sont pas ind´ependantes, la matrice de covariance est une matrice
sym´etrique non-diagonale et ses ´el´ements diagonaux sont les variances des variables al´eatoires. Soit la
matrice C = w2−2
−25
W. Calculer la matrice diagonale D et celle de changement de base S, telles
que C = SDST. Que dire alors des composantes du vecteur SA ?
3. Soit fX1X2(x1,x
2)ladensit´e de probabilit´ejointedesvariablesal´eatoires X1et X2.Quesontles
densit´es de probabilit´e marginales fX1(x1)etfX2(x2)?
4. La covariance de deux variables al´eatoires X1et X2est d´efinie par
cov(X1,X
2)=8∞
−∞ 8∞ −∞
[x1−E(X1)][x2−E(X2)] fX1X2(x1,x
2)dx1dx2,
et les ´el´ements de la matrice de covariance sont donn´es par
Cij =8∞
−∞ 8∞ −∞
[xi−E(Xi)][xj−E(Xj)] fXiXj(xi,x
j)dxidxj,
o`uiet jvalent 1 ou 2.
•Montrer que cov(X, X)=var(X).
•Montrer que si Xet Ysont deux variables al´eatoires ind´ependantes, cov(X, Y )=0.
•On rappelle que cov(X, X)=var(X)=ED[X−E(X)2i=E(X2)−[E(X)]2. Montrer que cette
propri´et´epeutseg´en´eraliser pour X1et X2deux variables al´eatoires quelconques, cov(X1,X
2)=
E([X1−E(X1)][X2−E(X2)]) = E(X1X2)−E(X1)E(X2).
5. Soient X1et X2deux variables al´eatoires gaussiennes, d’´ecart-types respectifs σ1et σ2,etfX1X2(x1,x
2)
la densit´edeprobabilit´ejointedeX1et X2.Onpr´ecise que cette densit´ededistributionjointe
peut se mettre sous la forme vue `a la question 1, avec une matrice de covariance Cnon diagonale
et un facteur Kdonn´eparK−1=2π0var(X1)var(X2)−cov(X1,X
2)2.D´eterminer les courbes
fX1X2(x1,x
2) = constante, dans le plan (x1,x 2) en posant cov(X1,X 2)=rσ1σ2,o`urest appel´e
le coefficient de corr´elation (1 ≥|r|).