Construction de R - Faculté des Sciences de Rabat

Universit´e Mohammed V - Agdal
Facult´e des Sciences
D´epartement de Math´ematiques et Informatique
Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014
Rabat, Maroc
Fili`ere DEUG :
Sciences Math´ematiques et Informatique (SMI)
et
Sciences Math´ematiques (SM)
Module Math´ematiques I
NOTES DE COURS D’ANALYSE I
Chapitre I : CONSTRUCTION DU CORPS DES REELS
ET
Chapitre I I: SUITES NUMERIQUES
Par
Sa¨ıd El Hajji Touria Ghemires
elha[email protected] [email protected]
Groupe d’Analyse Num´erique et Optimisation
Page web : http://www.fsr.ac.ma/ANO/
Ann´ee 2005-2006
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1 Construction axiomatique de R
1.1 Notion de fonction et notations
On suppose acquise la notion intuitive d’ensemble.
On d´etermine un ensemble Een explicitant ses ´el´ements ou par compr´ehension
E={x/xv´erifie une propri´et´e (P)}.
Par exemple :
•E1={1,2,3,4}et
•E2={x∈E1/ x v´erifie 2 ≤x≤5}={2,3,4}
Definition 1 Soit Eun ensemble, on dit que Aest une partie (ou un sous-
ensemble) de Esi tout ´el´ement de Aest un ´el´ement de E. On dit aussi que A
est inclus dans Eet on note A⊂E.
A⊂E⇐⇒ (∀x, x ∈A⇒x∈E)
Le symbole ∈d´enote l’appartenance et on a: x∈E⇐⇒ {x} ⊂ E.
Definition 2 - Une fonction fd’un ensemble Avers un ensemble B, on note
f:A→B, est une relation qui `a chaque ´el´ement de Aassocie au plus un
´el´ement de B. On exprime une fonction de Avers Bsous la forme:
f:A−→ B
x7−→ f(x)
•Aest appel´e l’ensemble de d´epart et Bl’ensemble d’arriv´ee de la fonction
f.
•Dom(f),le domaine de d´efinition de f, est l’ensemble des ´el´ements de A,
pour lesquels f(x)existe:
dom(f) = Df={x∈R:f(x)existe et est finie }
•im(f)est l’ensemble des ´el´ements de Bqui sont des images par f). Ainsi
dom(f)⊂Aet im(f)⊂B.
•La fonction f est une application, lorsque A=dom(f).
Example 3 Soit f:x7−→ f(x) = x
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√9−3x
2

Puisque on ne peut ni diviser par 0,ni extraire la racine sixi`eme d’un nombre
n´egatif, on a:
dom(f) = {x / (9 −3x)6= 0 et (9 −3x)≥0},
ce qui donne:
dom(f) = {x / (9 −3x)>0}={x / x < 3}= ]−∞,3[ .
Example 4 Soit f:x7−→ f(x) = ln(−|x|)
On a : dom(f) = ∅!
1.2 Construction axiomatique de Ret propri´et´es de base
On rappelle les divers ensembles de nombres:
N={0,1,2,3, ...}est l’ensemble des nombres entiers naturels.
Z={..., −3,−2,−1,0,1,2,3, ...}est l’ensemble des nombres entiers relatifs.
Qest l’ensemble des nombres rationnels. Par d´efinition si x∈Qalors x=p
q
o`u pet qsont des nombres relatifs premiers entre eux avec q6= 0.
Sur chacun de ces ensembles l’addittion + et la multiplication ×sont d´efinies;
de mˆeme que la relation d’ordre ≤.
Proposition 5 Si xest solution de l’´equation x2= 2 alors x /∈Q. On dit que
xest irrationnel.
D´emonstration : Elle se fait par l’absurde. On suppose que x=p
qo`u
p∈Zet q∈Z∗sont premiers entre eux. Si x2= 2 alors p2= 2q2et p2est pair
donc pest aussi pair. Ainsi p= 2kdonc p2= 4k2= 2q2.Donc 2k2=q2.Donc
qest pair. Ce qui est impossible car p et q sont premiers entre eux.
Definition 6 On note par Rl’ensemble des nombres r´eels. Il a ´et´e introduit
pour compl´eter l’ensemble Qdes nombres rationnels. On dit que xest un nombre
r´eel si et seulement si:
•ou bien x∈Q, x est dit rationnel
•ou bien x /∈Q, x est dit irrationnel.
Parmi les r´eels qui sont irrationnels, on peut citer : √2, π, e, ln(2).
On admet donc l’existence de l’ensemble de nombres r´eels R, qui contient l’ensemble
des nombres rationnels Qet qui v´erifie les axiomes suivants:
1. (R,+,×) est un corps commutatif.
2. (R,≤) est totalement ordonn´e: ∀(x,y)∈R2, ( x≤you y≤x).
3. La relation d’ordre ≤(inf´erieur ou ´egal) est compatible avec les op´erations
sur R
i) La relation d’ordre ≤est compatible avec l’addition + :
pour tout x, y, x0et y0des nombres r´eels :
3

1. (x≤y)⇒(∀z∈R, x +z≤y+z),
(x≤yet x0≤y0)⇒(x+x0≤y+y0).
ii) La relation d’ordre ≤est compatible avec la multiplication ×:
pour tout xet ydes nombres r´eels :
(x≤y)⇒ ∀z∈R+,(x×z≤y×z),
(x≤y)⇒ ∀z∈R−,(x×z≥y×z).
4. Toute partie de Rnon vide et major´ee admet une borne sup´erieure.
La relation d’ordre total permet de d´efinir la fonction valeur absolue dans R.
Definition 7 La valeur absolue dans Rest une application
|.|:R−→ R+
x7−→ |x|
et on a pour tout x∈R,|x|=xsi x≥0
−xsi x≤0
Exercise 8 Montrer que |x|= sup(x, −x).
Definition 9 On appelle partie enti`ere d’un nombre r´eel x, l’unique entier re-
latif, not´e E(x)ou [x],tel que : E(x)≤x<E(x)+1.On d´efinit ainsi une
application de Rdans Zappel´ee partie enti`ere.
Proposition 10 Soit xun nombre r´eel, alors :
ix−1< E(x)≤x
ii E(x) = x⇔x∈Z
iii ∀n∈Z, E(x+n) = E(x) + n
1.3 Majorant, minorant d’une partie de R
Definition 11 Soit Aune partie de R
On dit que M∈Rest un majorant de Asi et seulement si
∀x∈A, x ≤M
dans ce cas Aest major´ee par M.
On dit que m∈Rest un minorant de Asi et seulement si
∀x∈A, x ≥m
dans ce cas Aest minor´ee par m
On dit que Aest born´ee ssi elle est minor´ee et major´ee c`ad
∃m∈Ret ∃M∈R:∀x∈A, m ≤x≤M)
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Example 12 ]0 + ∞[est minor´ee par 0. On dit aussi 0est un minorant de
]0+∞[
Example 13 1est un majorant de ]−∞,0[
Example 14 L’intervalle ]−15,14[ est born´e dans R(major´ee par 14 et mi-
nor´ee par -15.
1.3.1 Borne inf´erieure, borne sup´erieure :
Definition 15 On dit que MAest la borne sup´erieure de A⇐⇒ MAest le plus
petit des majorants de A.
On dit que mAest la borne inf´erieure de A⇐⇒ mAest le plus grand des
minorants de A.
Notation 16 MA= sup A, mA= inf A
Example 17 6est la borne inf´erieure de ]6 + ∞[.
Caract´erisation des bornes sup et inf :
MA= sup A⇐⇒ 1−MAest un majorant de A(∀a∈A,a≤MA)
2− ∀ > 0,∃a∈A:MA− < a ≤MA
mA= inf A⇐⇒ 1−mAest un minorant de A(∀a∈A,mA≤a)
2− ∀ > 0∃a∈A,mA≤a < mA+
On a aussi la propri´et´e de la borne inf, analogue `a celle de borne sup du 4.
Proposition 18 Toute partie de Rnon vide et minor´ee admet une borne inf´erieure.
Une propri´et´e importante de Rest la propri´et´e d’Archim`ede:
Proposition 19 Rest archim´edien:
∀x∈R,∃nx∈N, x < nx.
D´emonstration : La d´emonstration se fait par l’absurde. On suppose que
Rest non archim´edien, c’est `a dire qu’il existe x∈Rtel que ∀n∈N, x ≥n.
xest donc un majorant de N, partie non vide, dans R. Donc elle admet une
borne sup´erieure dans R, not´ee s.
En utilisant la caract´erisation de la borne sup avec = 1,
∃m∈N, s −1≤m≤s.
Ce qui implique que s<m+ 1,comme m+ 1 ∈N; ceci contredit que
s est un majorant de Ndans R.
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