ELMAGQ_20 Equations Maxwell et propagation

G.P. Questions de cours électromagnétisme
Équations de Maxwell:
Écrire les quatre équations locales de Maxwell. Donner leur nom. Quelles sont les deux
équations qui mettent en évidence le couplage
E ,  B
? Expliquer, de manière très
qualitative, en quoi ce couplage permet l'existence d'ondes électromagnétiques.
Rappeler le théorème de Stokes et le théorème d'Ostrogradski et démontrer les quatre
« équations intégrales » correspondantes. Donner leur nom usuel.
Réponse:
Les quatre équations locales:
1) équation de Maxwell-Gauss:
div  E= 
0
2) équation de Maxwell-Faraday:
rot  E=− ∂
B
∂t
3) équation de Maxwell-flux:
div  B=0
4) équation de Maxwell-Ampère:
rot  B=0 j00
∂ E
∂t
( avec
00=1
c2
)
Les deux équations locales montrant que
E
et
B
sont liés l'un à l'autre:
équation de Maxwell-Faraday
et:
équation de Maxwell-Ampère
Existence d'ondes électromagnétiques:
De façon très très qualitative et très très imparfaite:
•supposons qu'on établisse le courant
j
dans un volume source, l'équation de Maxwell-
Ampère montre qu'il y a création d'un champ magnétique
B
(ce champ magnétique ne
varie pas instantanément, en tout point de l'univers, de zéro à une valeur finie...il est d'abord
produit au voisinage de la source)
•en un point de ce voisinage,
∂ B
∂t
est non nul, l'équation de Maxwell-Faraday montre qu'il

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y a création d'un champ électrique
E
immédiatement dans le voisinage (du voisinage) qui
passe donc de zéro à une valeur finie. De même, en ce nouveau point
∂ E
∂t
est alors non
nul et l'équation de Maxwell-Ampère montre qu'il y a, à nouveau, création d'un champ
magnétique
B
d'abord au voisinage...
•Il y a finalement création de
B
(et de
E
) un peu plus loin et le champ
électromagnétique
E ,  B
se propage indépendamment de la source.
Théorème de Stokes:
∮
courbe ferméeC
A dl=∬
surfaceSs' appuyant sur C
rot  A⋅  dS
Théorème d'Ostrogradski:
∯
surface fermée 
A dS=∭
volume Vlimité par  
div Ad
Les quatre équations intégrales:
(2) et (4)
•Pour les établir, on multiplie les équations locales par
dS
et on intègre sur la surface
S
s'appuyant sur un contour fermé
C
.
•On remarque que
∬
S
j dS
donne le courant (grandeur algébrique) qui traverse
S
donc
courant enlacé par
C
.
•On remarque que dans
∬
S
∂ B
∂t
dS
, on peut permuter
∬
et
∂
∂t
car
C
(donc
S
) est fixe. Alors
∬
S
∂ B
∂t
dS =d
d t ∬
S
B dS
puisque,
B=∬
S
B dS
ne dépendant que
du temps, la dérivée est une dérivée totale.
•Idem pour
E
.
2) Loi de Faraday:
∮
E dl=− dB
dt
4) Théorème d'Ampère (généralisé aux régimes variables):
∮
B dl=0Ienlacé 00
dE
dt

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(1) et (3)
•Pour les établir, on multiplie les équations locales par
d
et on intègre sur le volume
V
limité par la surface fermée .On remarque que
∭
V
d
donne la charge
contenue à l'intérieur de .
1) Théorème de Gauss:
∯
E dS =Qintérieur
0
3) Conservation du flux de B:
∯
B dS = 0