P5-2-Equations locales de l electromagnetisme

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 10
THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 2
Équations locales de l’électromagnétisme
2.1. Équations de Maxwell
Un peu d’histoire
James Clerk Maxwell publie en 1865 “A Dynamical Theory of the
Electromagnetic Field” où il présente les équations différentielles
linéaires rassemblant l’ensemble des propriétés du champ
électromagnétique. L’électrostatique et la magnétostatique,
l’électricité des régimes quasi stationnaires, les phénomènes
d’induction magnétique, la propagation des ondes hertziennes et
même, pensait-il, la propagation de la lumière entrent dans le
domaine d’application d’une même théorie de champs que l’on
baptise aujourd’hui « théorie électromagnétique de Maxwell ».
Équations locales reliant les champs aux sources
Le champ électromagnétique est dû à la présence dans l’espace de charges électriques et à leur
mouvement éventuel dont on rend compte par l’existence de courants.
Les charges électriques distribuées dans l’espace sont les sources du champ électrique, lequel vérifie en
tout point M de l’espace et à tout instant t l’équation différentielle linéaire dite de « Maxwell-Gauss » :
( ) ( )
0
M,
M, div M,
t
t E t ρ ∀ ∀ = ε
Équation de Maxwell-Gauss
Notons que cela revient à affirmer que le théorème de Gauss est un théorème général de
l’électromagnétisme, vrai non seulement en électrostatique, mais aussi en régime variable, y-compris hors
ARQS, y compris dans des conditions relativistes.
En magnétostatique, le champ d’induction magnétique est dû à l’existence dans l’espace de courants
constants. Maxwell remarqua qu’il ne pouvait en être ainsi dans le cas plus général des courants variables
et se posa la question de savoir comment il convenait de modifier le théorème d’Ampère afin qu’il puisse
rendre compte des conséquences de courants fonctions du temps qui seraient compatibles avec la
conservation de la charge électrique.

THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL Chapitre 2 Équations locales de l’électromagnétisme
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Comme nous l’avons déjà vu, la conservation de la charge électrique implique que soit vérifiée en tout
point M de l’espace et à tout instant l’équation de continuité :
( )
(
)
M,
M, div M, 0
t
t j t
t
∂ρ
∀ ∀ + =
∂
D’après l’équation de Maxwell-Gauss :
( ) ( )
( )
( )
0 0
M, M,
div M, div
t E t
E t
t t t
∂ρ ∂
∂
=ε = ε
∂ ∂ ∂
.
Cela fait que l’équation de continuité s’écrit :
( ) ( )
0
M,
M, div M, 0
E t
t j t t
∂
∀ ∀ +ε =
∂
Le champ vectoriel
( )
(
)
0
M,
M,
E t
j t
t
∂
+ε ∂ est un champ à flux conservatif. C’est donc un champ
rotationnel et Maxwell définit ainsi le vecteur
(
)
0
M,B t
µ
afin de retrouver la définition du champ
d’induction magnétique déjà adoptée dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires.
Cela introduit la seconde équation différentielle fort justement nommée « équation de Maxwell-
Ampère » :
( ) ( ) ( )
0 0
M,
M, rot M, M, E t t B t j t t
∂
∀ ∀ =µ +ε
∂
Équation de Maxwell-Ampère
Nous avons ainsi défini le champ électromagnétique
( ) ( )
{
}
M, , M,
E t B t
associé aux sources
( ) ( )
{
}
M, , M,
j t t
ρ d’une façon qui élève le théorème de Gauss au titre de théorème général de
l’électromagnétisme, en affirmant comme universel le principe de conservation de la charge électrique.
Équations locales de structure des champs
Une fois introduit ce champ électromagnétique
( ) ( )
{
}
M, , M,
E t B t
, une deuxième paire d’équations
différentielles linéaires va en définir certaines propriétés structurelles.
Tout d’abord, le champ d’induction magnétique fonction du temps reste fondamentalement un champ
vectoriel à flux conservatif. Cela se traduit par la satisfaction en tout point M de l’espace et à tout instant t
d’une équation différentielle linéaire que nous nommerons « équation de Maxwell-‟flux” » :
( )
M, div M, 0
t B t
∀ ∀ =
Équation de Maxwell-“flux”
Enfin, la loi de Lenz-Faraday rendant compte des phénomènes d’induction électromagnétique est
considérée comme une loi générale de l’électromagnétisme, ce qui se traduit par la satisfaction en tout
point M de l’espace et à tout instant t d’une équation différentielle linéaire que nous nommerons
« équation de Maxwell-Faraday » :
( ) ( )
M,
M, rot M,
B t
t E t t
∂
∀ ∀ = − ∂
Équation de Maxwell-Faraday

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Lois générales de l’électromagnétisme
Chacune des quatre équations de Maxwell est l’expression locale d’un théorème général de
l’électromagnétisme. Nous démontrons ces théorèmes en intégrant à un instant donné les équations
différentielles sur un certain domaine d’espace.
Théorème de Gauss
Le théorème de Green-Ostrogradski stipule que le flux sortant d’un champ de vecteur à travers une
surface fermée est égal à l’intégrale de la divergence de ce champ de vecteur étendue au volume intérieur
à cette surface. Appliquons ce théorème à l’instant t :
Compte tenu de l’équation de Maxwell-Gauss, cela s’écrit :
( )
(
)
(
)
int
P0 0
P,
fermée,
E
t q t
S t t
∈τ
ρ
∀ ∀ φ = δτ =
ε ε
∫∫∫
Étant donnée une distribution de charges et de courants quelconque créant un champ
électromagnétique
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
{
{{
{
}
}}
}
M, , M,
E t B t
dans l’espace-temps, le flux sortant du champ
électrique
(
((
(
)
))
)
M,
E t
à travers une surface fermée quelconque est égal à chaque instant au
rapport par
0
00
0
ε
εε
ε
des seules charges intérieures à cette surface.
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
(
((
(
)
))
)
int
ext
P0
fermée, P,
ES
q t
S t t E t n S
∈
∈∈
∈
∀ ∀ φ = ⋅ δ =
∀ ∀ φ = ⋅ δ =∀ ∀ φ = ⋅ δ =
∀ ∀ φ = ⋅ δ = ε
εε
ε
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
Loi de conservation du flux de
B
Le théorème de Green-Ostrogradski appliqué à chaque instant au champ
B
, s’écrit :
( ) ( ) ( )
ext
P P
fermée, P, div P, 0
BS
S t t B t n S B t
∈ ∈τ
∀ ∀ φ = ⋅ δ = δτ =
∫∫ ∫∫∫
Étant donné un champ électromagnétique
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
{
{{
{
}
}}
}
M, , M,
E t B t
, à chaque instant, le flux du
champ d’induction magnétique
(
((
(
)
))
)
M,
B t
à travers une surface fermée quelconque est nul.
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
ext
P
fermée, P, 0
BS
S t t B t n S
∈
∈∈
∈
∀ ∀ φ = ⋅ δ =
∀ ∀ φ = ⋅ δ =∀ ∀ φ = ⋅ δ =
∀ ∀ φ = ⋅ δ =
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
On dit encore que le champ d’induction magnétique est à flux conservatif.
Il s’agit de l’équivalent magnétique du théorème de Gauss, à ceci près qu’il n’existe pas de charges
magnétiques.
Loi de Lenz-Faraday
Selon le théorème de Stokes, la circulation d’un champ de vecteurs le long d’un parcours fermé orienté
C
est égale au flux du rotationnel de ce champ de vecteurs à travers une surface S quelconque s’appuyant
sur ce contour, le champ
n
+
de vecteurs unitaires normaux à la surface S étant orienté conformément à
l’orientation de la courbe
C
:
S
τ
( ) ( ) ( )
ext
P P
fermée, P, div P,
ES
S t t E t n S E t
∈ ∈τ
∀ ∀ φ = ⋅ δ = δτ
∫∫ ∫∫∫

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( ) ( )
P P
P, rot P,
S
E t E t n S
+
∈ ∈
⋅δ = ⋅ δ
∫ ∫∫
C
ℓ
Étant donnée l’équation de Maxwell-Faraday, cela s’écrit :
( ) ( ) ( )
(
)
P P P
P,
P, P,
B
S S
d t
B t d
E t n S B t n S
t dt dt
+ +
∈ ∈ ∈
φ
∂
⋅δ = − ⋅ δ = − ⋅ δ = −
∂
∫ ∫∫ ∫∫
C
ℓ
À chaque instant, la circulation du champ électrique le long d’une courbe fermée quelconque est
opposée à la dérivée du flux du champ magnétique à travers cette courbe.
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
(
((
(
)
))
)
P
fermée, P,
B
d t
t e t E t
dt
∈
∈∈
∈
φ
φφ
φ
∀ ∀ = ⋅δ = −
∀ ∀ = ⋅δ = −∀ ∀ = ⋅δ = −
∀ ∀ = ⋅δ = −
∫
∫∫
∫
ℓ
ℓℓ
ℓ
C
C
Remarque : dans le cas particulier où le parcours C coïncide avec un conducteur filiforme, nous
retrouvons l’expression de la loi de Lenz-Faraday. Le théorème énoncé ici est plus général : la courbe C
est un parcours quelconque qui n’a pas nécessairement de matérialité.
Théorème d’Ampère généralisé incluant les courants de déplacement
Nous appellerons densité de courant de déplacement le vecteur
( )
(
)
d 0
M,
M,
E t
j t
t
∂
=ε ∂
Comme nous l’avons déjà vu, le champ de vecteur
(
)
(
)
d
M, M,
j t j t
+ est à flux conservatif : il est donc
permis de parler à chaque instant t du flux d’un tel champ de vecteur à travers une courbe fermée, sans
préciser la surface particulière choisie s’appuyant sur ce contour. Cela signifie que l’on peut définir en
électromagnétisme le courant total enlacé par une courbe fermée comme la somme du courant réel
( ) ( )
P
P,
S
i t j t n S
+
∈
= ⋅ δ
∫∫
et du courant de déplacement
( ) ( )
d d
P
P,
S
i t j t n S
+
∈
= ⋅ δ
∫∫
.
Étant donné un contour
C
quelconque,
(
)
i t
et
(
)
d
i t
ont des valeurs qui dépendent de la surface S
particulière choisie parmi les surfaces s’appuyant sur
C
, par contre, la somme
(
)
(
)
d
i t i t
+ ne dépend que
du contour.
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit alors :
( ) ( ) ( )
(
)
0 d
M, rot M, M, M,
t B t j t j t
∀ ∀ =µ +
Selon le théorème de Stokes :
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
0 d 0 d
P P P
P, rot P, P, P,
S S
B t B t n S j t j t n S i t i t
+ +
∈ ∈ ∈
⋅δ = ⋅ δ =µ + ⋅ δ =µ +
∫ ∫∫ ∫∫
C
ℓ
Il s’ensuit le théorème d’Ampère généralisé :
Soit, dans le vide, un champ électromagnétique
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
{
{{
{
}
}}
}
M, , M,
E t B t
.
La circulation de
B
le long d’une courbe fermée
C
quelconque orientée est égale à chaque
instant au produit par la perméabilité du vide
0
µ
µµ
µ
de la somme de l’intensité électrique
traversant dans le sens algébrique conventionnel une surface S s’appuyant sur le contour
C
et
du courant de déplacement
(
((
( )
))
)
(
((
(
)
))
)
d 0
P
P,
S
E t
i t n S
t
+
++
+
∈
∈∈
∈
∂
∂∂
∂
= ε ⋅ δ
= ε ⋅ δ= ε ⋅ δ
= ε ⋅ δ
∂
∂∂
∂
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
traversant la même surface avec la
même convention algébrique.
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
(
((
( )
))
)
0 d
M
M,
B t i t i t
∈
∈∈
∈
⋅δ = µ +
⋅δ = µ +⋅δ = µ +
⋅δ = µ +
∫
∫∫
∫
C
ℓ
ℓℓ
ℓ

THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL Chapitre 2 Équations locales de l’électromagnétisme
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2.2. Continuités et discontinuités des champs
Comme nous l’avons déjà fait en électrostatique et en magnétostatique, nous utiliserons en
électromagnétisme des modélisations surfaciques des sources, aussi bien des charges que des courants en
définissant en chaque point M des surfaces de localisation des sources et à chaque instant t une densité
surfacique de charge
(
)
M,
t
σ et une densité de courant de surface
(
)
s
M,
j t
.
Discontinuité du champ électrique à la traversée d’une surface chargée
Une densité surfacique de charge σ non nulle correspond à une densité volumique de charge ρ infinie.
L’équation de Maxwell-Gauss diverge alors et ne peut plus être appliquée : le champ électrique est
discontinu à la traversée d’une surface chargée. Aux équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday
nous devons alors substituer une relation exprimant cette discontinuité.
Relation substitutive de l’équation de Maxwell-Gauss
Le théorème de Gauss étant valable en électromagnétisme à l’identique de l’électrostatique, la
démonstration faite dans le cours d’électrostatique (chapitre 1 : champ électrique, section 1.2 théorème de
Gauss) reste valable. Il nous suffit de remarquer que cette relation est vérifiée en chaque instant.
Nous en déduisons que la composante normale du champ électrique est nécessairement discontinue à
chaque instant au franchissement d’une surface chargée :
( ) ( )
( )
(
)
1 2 1 0
M,
M, M, M ,
t
E t E t n S t
σ
− ⋅ = ∀ ∈ ∀
ε
Relation substitutive de l’équation de Maxwell-Faraday
Référons nous à la démonstration faite dans le cours d’électrostatique (chapitre 2 : potentiel électrique,
section 2.2 circulation du champ électrostatique) de la continuité nécessaire de la composante
tangentielle du champ électrique statique.
En notant
1
E
et
2
E
les champs électriques dans les milieux 1 et 2 aux points
1
M
et
2
M
immédiatement
voisins de M, la loi de Lenz-Faraday s’écrit :
( ) ( )
(
)
1 1 1 2 2 2
M , M ,
E B
d
E t E t
dt
δΓ = ⋅δ − ⋅δ = − δφ
ℓ ℓ
milieu 1
milieu 2
M
1
M
2
M
2
E
1
E
1
n
int
q S
δ = σδ
2
S
δ
1
S
δ