MP – Cours de physique
THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 2
Équations locales de l’électromagnétisme
2.1. Équations de Maxwell
Un peu d’histoire
James Clerk Maxwell publie en 1865 “A Dynamical Theory of the
Electromagnetic Field” où il présente les équations différentielles
linéaires rassemblant l’ensemble des propriétés du champ
électromagnétique. L’électrostatique et la magnétostatique,
l’électricité des régimes quasi stationnaires, les phénomènes
d’induction magnétique, la propagation des ondes hertziennes et
même, pensait-il, la propagation de la lumière entrent dans le
domaine d’application d’une même théorie de champs que l’on
baptise aujourd’hui « théorie électromagnétique de Maxwell ».
Équations locales reliant les champs aux sources
Le champ électromagnétique est dû à la présence dans l’espace de charges électriques et à leur
mouvement éventuel dont on rend compte par l’existence de courants.
Les charges électriques distribuées dans l’espace sont les sources du champ électrique, lequel vérifie en
tout point M de l’espace et à tout instant t l’équation différentielle linéaire dite de « Maxwell-Gauss » :
∀M, ∀t
ρ ( M, t )
div E ( M, t ) =
ε0
Équation de Maxwell-Gauss
Notons que cela revient à affirmer que le théorème de Gauss est un théorème général de
l’électromagnétisme, vrai non seulement en électrostatique, mais aussi en régime variable, y-compris hors
ARQS, y compris dans des conditions relativistes.
En magnétostatique, le champ d’induction magnétique est dû à l’existence dans l’espace de courants
constants. Maxwell remarqua qu’il ne pouvait en être ainsi dans le cas plus général des courants variables
et se posa la question de savoir comment il convenait de modifier le théorème d’Ampère afin qu’il puisse
rendre compte des conséquences de courants fonctions du temps qui seraient compatibles avec la
conservation de la charge électrique.
Jean Le Hir, 3 septembre 2005
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THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
Chapitre 2
Équations locales de l’électromagnétisme
Comme nous l’avons déjà vu, la conservation de la charge électrique implique que soit vérifiée en tout
point M de l’espace et à tout instant l’équation de continuité :
∂ρ ( M, t )
div j ( M, t ) +
=0
∂t
∂ E ( M, t )
∂ρ ( M, t )
∂
D’après l’équation de Maxwell-Gauss :
= ε0
div E ( M, t ) = div ε 0
.
∂t
∂t
∂
t
∂ E ( M, t )
Cela fait que l’équation de continuité s’écrit : ∀M, ∀t
div j ( M, t ) + ε 0
= 0
∂t
∂ E ( M, t )
Le champ vectoriel j ( M, t ) + ε 0
est un champ à flux conservatif. C’est donc un champ
∂t
rotationnel et Maxwell définit ainsi le vecteur B ( M, t ) µ 0 afin de retrouver la définition du champ
d’induction magnétique déjà adoptée dans le cadre de l’approximation des régimes quasi stationnaires.
Cela introduit la seconde équation différentielle fort justement nommée « équation de MaxwellAmpère » :
∀M, ∀t
(
)
∂ E ( M, t )
rot B ( M, t ) = µ0 j ( M, t ) + ε0
∂t
∀M, ∀t
Équation de Maxwell-Ampère
{
}
Nous avons ainsi défini le champ électromagnétique E ( M, t ) , B ( M, t ) associé aux sources
j ( M, t ) , ρ ( M, t ) d’une façon qui élève le théorème de Gauss au titre de théorème général de
{
}
l’électromagnétisme, en affirmant comme universel le principe de conservation de la charge électrique.
Équations locales de structure des champs
{
}
Une fois introduit ce champ électromagnétique E ( M, t ) , B ( M, t ) , une deuxième paire d’équations
différentielles linéaires va en définir certaines propriétés structurelles.
Tout d’abord, le champ d’induction magnétique fonction du temps reste fondamentalement un champ
vectoriel à flux conservatif. Cela se traduit par la satisfaction en tout point M de l’espace et à tout instant t
d’une équation différentielle linéaire que nous nommerons « équation de Maxwell-‟flux” » :
∀M, ∀t
div B ( M, t ) = 0
Équation de Maxwell-“flux”
Enfin, la loi de Lenz-Faraday rendant compte des phénomènes d’induction électromagnétique est
considérée comme une loi générale de l’électromagnétisme, ce qui se traduit par la satisfaction en tout
point M de l’espace et à tout instant t d’une équation différentielle linéaire que nous nommerons
« équation de Maxwell-Faraday » :
∀M, ∀t
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∂ B ( M, t )
rot E ( M, t ) = −
∂t
Équation de Maxwell-Faraday
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Chapitre 2
Équations locales de l’électromagnétisme
Lois générales de l’électromagnétisme
Chacune des quatre équations de Maxwell est l’expression locale d’un théorème général de
l’électromagnétisme. Nous démontrons ces théorèmes en intégrant à un instant donné les équations
différentielles sur un certain domaine d’espace.
Théorème de Gauss
Le théorème de Green-Ostrogradski stipule que le flux sortant d’un champ de vecteur à travers une
surface fermée est égal à l’intégrale de la divergence de ce champ de vecteur étendue au volume intérieur
à cette surface. Appliquons ce théorème à l’instant t :
∀S fermée, ∀t
φE ( t ) =
∫∫
P∈S
E ( P, t ) ⋅ next δS =
∫∫∫
P∈τ
div E ( P, t ) δτ
τ
S
Compte tenu de l’équation de Maxwell-Gauss, cela s’écrit :
φE ( t ) =
∀S fermée, ∀t
ρ ( P, t )
q (t )
δτ = int
ε0
ε0
P∈τ
∫∫∫
Étant donnée une distribution de charges et de courants quelconque créant un champ
électromagnétique E ( M, t ) , B ( M, t ) dans l’espace-temps, le flux sortant du champ
électrique E ( M, t ) à travers une surface fermée quelconque est égal à chaque instant au
{
}
rapport par ε 0 des seules charges intérieures à cette surface.
q (t )
∀S fermée, ∀t
φ E ( t ) =
E ( P, t ) ⋅ next δS = int
P∈S
ε0
∫∫
Loi de conservation du flux de B
Le théorème de Green-Ostrogradski appliqué à chaque instant au champ B , s’écrit :
∀S fermée, ∀t
φB ( t ) =
B ( P, t ) ⋅ next δS =
div B ( P, t ) δτ = 0
∫∫
∫∫∫
P∈S
P∈τ
{
}
Étant donné un champ électromagnétique E ( M, t ) , B ( M, t ) , à chaque instant, le flux du
champ d’induction magnétique B ( M, t ) à travers une surface fermée quelconque est nul.
∀S fermée, ∀t
φ B ( t ) =
∫∫
P∈S
B ( P, t ) ⋅ next δS = 0
On dit encore que le champ d’induction magnétique est à flux conservatif.
Il s’agit de l’équivalent magnétique du théorème de Gauss, à ceci près qu’il n’existe pas de charges
magnétiques.
Loi de Lenz-Faraday
Selon le théorème de Stokes, la circulation d’un champ de vecteurs le long d’un parcours fermé orienté C
est égale au flux du rotationnel de ce champ de vecteurs à travers une surface S quelconque s’appuyant
sur ce contour, le champ n+ de vecteurs unitaires normaux à la surface S étant orienté conformément à
l’orientation de la courbe C :
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∫
P∈C
Chapitre 2
E ( P, t ) ⋅ δℓ =
∫∫
P∈S
rot E ( P, t ) ⋅ n+ δS
Étant donnée l’équation de Maxwell-Faraday, cela s’écrit :
∂ B ( P, t ) d
E ( P, t ) ⋅ δℓ = −
⋅ n+ δS = −
∂t
dt
P∈C
P∈S
∫
Équations locales de l’électromagnétisme
∫∫
d φB ( t )
B ( P, t ) ⋅ n+ δS = −
dt
P∈S
∫∫
À chaque instant, la circulation du champ électrique le long d’une courbe fermée quelconque est
opposée à la dérivée du flux du champ magnétique à travers cette courbe.
e (t ) =
∀C fermée, ∀t
d φ B ( t )
E ( P, t ) ⋅ δℓ = −
dt
P∈C
∫
Remarque : dans le cas particulier où le parcours C coïncide avec un conducteur filiforme, nous
retrouvons l’expression de la loi de Lenz-Faraday. Le théorème énoncé ici est plus général : la courbe C
est un parcours quelconque qui n’a pas nécessairement de matérialité.
Théorème d’Ampère généralisé incluant les courants de déplacement
∂ E ( M, t )
Nous appellerons densité de courant de déplacement le vecteur jd ( M, t ) = ε 0
∂t
Comme nous l’avons déjà vu, le champ de vecteur j ( M, t ) + jd ( M, t ) est à flux conservatif : il est donc
permis de parler à chaque instant t du flux d’un tel champ de vecteur à travers une courbe fermée, sans
préciser la surface particulière choisie s’appuyant sur ce contour. Cela signifie que l’on peut définir en
électromagnétisme le courant total enlacé par une courbe fermée comme la somme du courant réel
i (t ) =
j ( P, t ) ⋅ n+ δS et du courant de déplacement id ( t ) =
jd ( P, t ) ⋅ n+ δS .
∫∫
∫∫
P∈S
P∈S
Étant donné un contour C quelconque, i ( t ) et id ( t ) ont des valeurs qui dépendent de la surface S
particulière choisie parmi les surfaces s’appuyant sur C , par contre, la somme i ( t ) + id ( t ) ne dépend que
du contour.
L’équation de Maxwell-Ampère s’écrit alors : ∀M, ∀t
rot B ( M, t ) = µ 0 j ( M, t ) + jd ( M, t )
(
Selon le théorème de Stokes :
B ( P, t ) ⋅ δℓ =
rot B ( P, t ) ⋅ n+ δS = µ0
∫
P∈C
∫∫
P∈S
∫∫ ( j ( P, t ) + j
P∈S
d
)
( P, t ) ) ⋅ n+ δS = µ0 ( i ( t ) + id ( t ) )
Il s’ensuit le théorème d’Ampère généralisé :
{
}
Soit, dans le vide, un champ électromagnétique E ( M, t ) , B ( M, t ) .
La circulation de B le long d’une courbe fermée C quelconque orientée est égale à chaque
instant au produit par la perméabilité du vide µ 0 de la somme de l’intensité électrique
traversant dans le sens algébrique conventionnel une surface S s’appuyant sur le contour C et
∂ E ( P, t ) du courant de déplacement id ( t ) =
ε0
⋅ n+ δS traversant la même surface avec la
∂t
P∈S
même convention algébrique.
B ( M, t ) ⋅ δℓ = µ 0 ( i ( t ) + id ( t ) )
∫∫
∫
M∈C
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Chapitre 2
Équations locales de l’électromagnétisme
2.2. Continuités et discontinuités des champs
Comme nous l’avons déjà fait en électrostatique et en magnétostatique, nous utiliserons en
électromagnétisme des modélisations surfaciques des sources, aussi bien des charges que des courants en
définissant en chaque point M des surfaces de localisation des sources et à chaque instant t une densité
surfacique de charge σ ( M, t ) et une densité de courant de surface js ( M, t ) .
Discontinuité du champ électrique à la traversée d’une surface chargée
Une densité surfacique de charge σ non nulle correspond à une densité volumique de charge ρ infinie.
L’équation de Maxwell-Gauss diverge alors et ne peut plus être appliquée : le champ électrique est
discontinu à la traversée d’une surface chargée. Aux équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday
nous devons alors substituer une relation exprimant cette discontinuité.
Relation substitutive de l’équation de Maxwell-Gauss
Le théorème de Gauss étant valable en électromagnétisme à l’identique de l’électrostatique, la
démonstration faite dans le cours d’électrostatique (chapitre 1 : champ électrique, section 1.2 théorème de
Gauss) reste valable. Il nous suffit de remarquer que cette relation est vérifiée en chaque instant.
E1
δS1
n1
milieu 1
M1
δqint = σ δS
M
M2
δS2
milieu 2
E2
Nous en déduisons que la composante normale du champ électrique est nécessairement discontinue à
chaque instant au franchissement d’une surface chargée :
( E ( M, t ) − E
1
2
( M, t ) ) ⋅ n1 =
σ ( M, t )
ε0
∀M ∈ S , ∀t
Relation substitutive de l’équation de Maxwell-Faraday
Référons nous à la démonstration faite dans le cours d’électrostatique (chapitre 2 : potentiel électrique,
section 2.2 circulation du champ électrostatique) de la continuité nécessaire de la composante
tangentielle du champ électrique statique.
En notant E1 et E2 les champs électriques dans les milieux 1 et 2 aux points M1 et M 2 immédiatement
voisins de M, la loi de Lenz-Faraday s’écrit :
d
δΓ E = E1 ( M1 , t ) ⋅ δℓ1 − E2 ( M 2 , t ) ⋅ δℓ 2 = −
δφ B
dt
( )
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Équations locales de l’électromagnétisme
E1
M1
n1
milieu 1
M
M2
δℓ1
δℓ
δℓ 2
milieu 2
E2
Dans la mesure où le champ d’induction magnétique ne diverge pas, le flux δφB tend vers 0 lorsque M1
et M 2 tendent vers M et la circulation élémentaire tend donc vers 0 : E1 ( M, t ) − E2 ( M, t ) ⋅ δℓ = 0
(
Ou encore :
( E ( M, t ) − E
1
2
( M, t ) ) ∧ n1 =
0
)
∀M ∈ S , ∀t
Relation de passage pour le champ électrique
L’ensemble des deux relations substitutives des équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday se
résume en une seule relation vectorielle traduisant la discontinuité du champ électrique au passage d’une
surface chargée :
σ ( M, t ) E1 ( M, t ) − E2 ( M, t ) =
n1
ε0
∀M ∈ S , ∀t
Discontinuité du champ magnétique à la traversée d’une nappe de courant
De la même façon, une densité surfacique de courant js non nulle correspond à une densité de courant j
infinie. L’équation de Maxwell-Ampère diverge alors et ne peut plus être appliquée : le champ
d’induction magnétique est discontinu à la traversée d’une surface chargée. Aux équations de MaxwellAmpère et Maxwell-‟flux” nous devons alors substituer une relation exprimant cette discontinuité.
Relation substitutive de l’équation de Maxwell-‟flux”
Le champ B étant à flux conservatif en électromagnétisme à l’identique de la magnétostatique, la
démonstration faite dans le cours de magnétostatique (chapitre 2 : potentiel vecteur, section 2.2
inexistence de charges magnétiques) reste valable. Il nous suffit de remarquer que cette relation est
vérifiée en chaque instant.
Nous en déduisons que la composante normale du champ magnétique est nécessairement continue à
chaque instant au franchissement d’une nappe de courant :
B1 ( M ) − B2 ( M ) ⋅ n1 = 0
(
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)
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B1
δS1
M1
n1
milieu 1
Équations locales de l’électromagnétisme
M
M2
δS 2
milieu 2
B2
Relation substitutive de l’équation de Maxwell-Ampère
Référons nous à la démonstration faite dans le cours de magnétostatique (chapitre 1 : champ d’induction
magnétique, section 1.2 théorème d’Ampère) de la discontinuité nécessaire de la composante tangentielle
du champ d’induction magnétique statique au franchissement d’une nappe de courant.
B1
milieu 1
n1
δℓ1⊥
δℓ ⊥
js
B1
M1
δℓ1//
δℓ //
M
M2
js
M1
M δℓ 2 //
M2
δℓ 2⊥
milieu 2
B2
B2
En considérant tout d’abord un parcours élémentaire fermé orthogonal au courant de surface, la
circulation du champ d’induction magnétique s’écrit, conformément au théorème d’Ampère généralisé :
( )
d
δΓ ⊥ = B1 ( M1 , t ) ⋅ δℓ ⊥1 + B2 ( M 2 , t ) ⋅ δℓ ⊥ 2 = µ0 js ( M, t ) δℓ ⊥ + ε0
δφE
dt
Dans la mesure où le champ électrique ne diverge pas, le flux δφ E tend vers 0 lorsque M1 et M 2 tendent
vers M et la circulation élémentaire tend donc vers δΓ ⊥ = B1 ( M, t ) − B2 ( M, t ) ⋅ δℓ ⊥ = µ0 js ( M, t ) δℓ ⊥
Considérons maintenant un déplacement δℓ // parallèle au courant et faisons le même raisonnement. Dans
(
)
ce cas, aucun courant n’est enlacé et l’on en déduit dans la limite où M1 et M 2 tendent vers M :
δΓ // = B1 ( M, t ) − B2 ( M, t ) ⋅ δℓ / / = 0
(
)
(
)
Ces deux relations se résument en une seule, vectorielle : B1 ( M, t ) − B2 ( M, t ) ∧ n1 = µ 0 js ( M, t )
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Équations locales de l’électromagnétisme
Relation de passage pour le champ d’induction magnétique
L’ensemble des deux relations substitutives des équations de Maxwell-‟flux” et Maxwell-Ampère se
résume en une seule relation vectorielle traduisant la discontinuité du champ d’induction magnétique au
passage d’une nappe de courant :
B1 ( M, t ) − B2 ( M, t ) = µ 0 js ( M, t ) ∧ n1
∀M ∈ S , ∀t
2.3. Potentiels électromagnétiques
Définition des potentiels électromagnétiques
Selon l’équation de Maxwell-‟flux”, B ( M, t ) est non divergent en tout point de l’espace et à tout
instant. Nous en déduisons qu’en tout point de l’espace et à tout instant, il existe un vecteur A ( M, t ) tel
que B ( M, t ) = rot A ( M, t ) .
∂ A
est irrotationnel en tout point de l’espace et à
Selon l’équation de Maxwell-Faraday, le vecteur E +
∂t
tout instant. Nous en déduisons qu’en tout point de l’espace et à tout instant, il existe une fonction scalaire
∂ A ( M, t )
V ( M, t ) telle que E ( M, t ) = −grad V ( M, t ) −
∂t
Le champ électromagnétique
E ( M, t ) , B ( M, t )
dérive du potentiel électromagnétique
A ( M, t ) , V ( M, t ) par les relations suivantes :
{
}
{
}
B ( M, t ) = rot A ( M, t )
∂ A ( M, t )
E ( M, t ) = −grad V ( M, t ) −
∂t
Non unicité des potentiels
Le potentiel vecteur A ( M, t ) est défini par son rotationnel, il s’ensuit que A est défini au gradient
d’une fonction scalaire près. Si A ( M, t ) est un potentiel possible, A′ ( M, t ) = A ( M, t ) + grad ϕ ( M, t )
est aussi un potentiel vecteur possible.
Mais alors le potentiel vecteur A′ ( M, t ) doit être associé à un potentiel scalaire V ′ ( M, t ) tel que :
∂ A′ ( M, t )
∂ϕ ( M, t ) ∂ A ( M, t )
E ( M, t ) = −grad V ′ ( M, t ) −
= −grad V ′ ( M, t ) −
, soit :
−
∂t
∂t
∂t
V ′ ( M, t ) = V ( M, t ) +
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∂ϕ ( M, t )
∂t
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Si
{ A ( M, t ) , V ( M, t )}
Chapitre 2
Équations locales de l’électromagnétisme
est un potentiel électromagnétique possible, alors quelle que soit la fonction
∂ϕ ( M, t )
A
M,
t
+
grad
ϕ ( M, t ) , V ( M, t ) +
est aussi un
(
)
∂t
électromagnétique possible : le potentiel électromagnétique n’a pas une définition unique.
scalaire
ϕ ( M, t ) ,
potentiel
Choix de jauge de Lorentz
Nous conviendrons le plus souvent en électromagnétisme d’imposer une relation linéaire reliant le
potentiel vecteur et le potentiel scalaire que l’on appelle le choix de jauge de Lorentz. Cette relation
s’écrit :
∂V ( M, t )
div A ( M, t ) + ε0µ 0
=0
∂t
Choix de jauge de Lorentz
Continuité des potentiels
Les potentiels scalaire et vecteur sont définis par leurs dérivées (les champs dérivent des potentiels). Ces
fonctions potentiels seront systématiquement définies comme des fonctions continues, y compris si les
champs sont discontinus. Le choix de Jauge de Lorentz ne définit pas encore de façon unique le potentiel
électromagnétique : nous conviendrons, chaque fois que cela sera possible, de choisir les potentiels nuls à
tout instant à l’infini et cela sera toujours possible pour les situations réelles.
Toutefois, nous avions déjà rencontré cette difficulté en électrostatique pour le potentiel scalaire et en
magnétostatique pour le potentiel vecteur, il pourra arriver que certains problèmes soient posés en
présentant l’existence de sources du champ électromagnétique s’étendant jusqu’à l’infini. Il faudra alors
renoncer au choix du potentiel nul à l’infini.
Équations d’alembertiennes
Le rotationnel d’un rotationnel est égal au gradient de la divergence moins le laplacien vectoriel : il s’agit
là d’une identité conséquence des seules définitions des opérateurs. La démonstration n’est pas bien
compliquée et l’on peut mémoriser le résultat par la formule du double produit vectoriel non commutatif :
∇ ∧ ∇ ∧ A = ∇ ⋅ ∇ ⋅ A − ∇ ⋅∇ ⋅ A
rot rot A = grad div A −
∆A
(
(
)
(
(
)
) (
)
)
Exprimons les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Gauss en fonction des potentiels :
∂
grad
V
∂E
∂ 2 A rot B = µ 0 j + ε 0µ0
= rot rot A = µ 0 j − ε0µ 0
− ε 0µ0 2 = grad div A − ∆ A
∂t
∂t
∂t
∂ div A
ρ
∂A
∂ 2V ∂ ∂V
div E = = div −grad V −
= −∆V + ε 0µ 0 2 − div A + ε 0µ 0
= −∆V −
ε0
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
(
(
)
(
)
(
)
)
Ces équations s’écrivent sous des formes particulièrement symétriques :
∂2 A
∂V
∆ A − ε 0µ 0 2 = −µ 0 j + grad div A + ε0µ 0
∂t
∂t
2
∂V
∆V − ε µ ∂ V = − ρ − ∂ div + ε 0µ 0
A
0
0
2
ε 0 ∂t
∂t
∂t
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Chapitre 2
Équations locales de l’électromagnétisme
Le potentiel électromagnétique étant défini sous la condition de jauge de Lorentz, nous obtenons deux
équations linéaires découplées du second ordre particulièrement simples reliant les potentiels aux sources
électromagnétiques.
□ = ∆ − ε 0µ 0 ∂ 2
2
Nous définissons l’opérateur d’alembertien par la relation :
∂t
Ces équations s’appellent alors les équations d’alembertiennes relatives au potentiel électromagnétique.
Elles ne sont pas sans rappeler les équations de Poisson électrostatique et magnétostatique qui en sont
l’expression particulière en régime permanent :
□ A ( M, t ) = − µ0 j ( M, t )
Équations d’alembertiennes
du potentiel électromagnétique
sous la condition de jauge de Lorentz
□ V ( M, t ) = − ρ ( M, t )
ε0
Les équations d’alembertiennes sont des équations de propagation. Nous montrerons dans le prochain
1
chapitre consacré à la propagation des ondes, que la propagation se fait à la vitesse c =
.
ε 0µ 0
Il s’agit là d’une constante universelle dont la valeur numérique doit être connue : c ≃ 3, 00 × 108 m ⋅ s −1 .
Potentiels retardés
Nous accepterons, sans démonstration, cette solution particulière des équations d’alembertiennes : des
sources électromagnétiques j ( P, t ) , ρ ( P, t ) contenues dans un volume τ produisent en un point M de
{
}
l’espace, un potentiel électromagnétique qui s’exprime, dans le cadre de la condition de jauge de Lorentz,
sous la forme des potentiels retardés :
V ( M, t ) =
1
4πε0
PM
ρ P, t −
c
dτ
PM
P∈τ
∫∫∫
et
µ
A ( M, t ) = 0
4π
PM
j P, t −
c
dτ
PM
P∈τ
∫∫∫
PM
1
, avec c =
, est le temps de propagation de l’interaction électromagnétique du point P
c
ε 0µ 0
vers le point M : le potentiel électromagnétique au point M à l’instant t est fonction des sources telles
qu’elles étaient à l’instant antérieur t − ∆t .
∆t =
Remarque : dans le cas de sources invariantes dans le temps, nous retrouvons l’expression du potentiel
scalaire coulombien et du potentiel vecteur dans le choix de jauge de Coulomb div A ( M ) = 0 lorsque
les potentiels A et V sont choisis nuls à l’infini.
ρ(P)
j (P)
µ0
1
V (M) =
dτ
et
A (M) =
dτ
4πε0
4π
P∈τ PM
P∈τ PM
(
∫∫∫
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)
∫∫∫
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