f est la fonction définie sur R par f(x)

T4. Correction du Dm7.
Exercice 1 (no78 page 87)
fest la fonction d´efinie sur Rpar f(x) = 1 −cos(2x). On donne sa
courbe repr´esentative sur h0; π
2i.
1. Reproduire la courbe de f.
0
2
π
π
2
−π
2
2. Exprimer f(−x) en fonction de f(x).
Pour tout x∈R, cos(−x) = cos(x) (la fonction cos est paire).
Donc pour tout x∈R,
f(−x) = 1 −cos(−2x)
= 1 −cos(2x)
=f(x)
Cela montre que la fonction fest paire, donc sa courbe
repr´esentative est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees.
On compl`ete la courbe par sym´etrie d’axe (Oy).
0
2
π
−ππ
2
−π
2
3. Exprimer f(x+π) en fonction de f(x). pour tout x∈R,
f(x+π) = 1 −cos(2(x+π))
= 1 −cos(2x+ 2π)
= 1 −cos(2x)
=f(x)
Ceci montre que la fonction fest π-p´eriodique.
Il suffit de connaˆıtre la courbe sur un intervalle de longueur π
pour pouvoir compl´eter le trac´e par des translations.
La courbe de fest invariante par la translation de vecteur π−→ i.
0
2
π
−ππ
2
−π
2
3π
2
Exercice 2 (no109 page 89)
fest la fonction d´efinie sur I= [−2π; 2π] par f(x) = √3x−2 sin x
1. Exprimer f(−x) en fonction de f(x).
Pour tout x∈I,
f(−x) = √3×(−x)−2 sin(−x)
=−√3x+ 2 sin(x)
=−f(x)
2. Justifier pourquoi il suffit d’´etudier fsur [0; 2π].
Comme pour tout x∈I,f(−x) = f(x), la fonction fest impaire,
et donc sa courbe est sym´etrique par rapport au point O.
Il suffit d’´etudier fsur [0; 2π] et l’on compl`etera la courbe
repr´esentative par sym´etrie par rapport `a Osur [−2π; 0].
3. D´eterminer l’expression de f′(x) en fonction de x.
fest d´erivable sur Ipar somme de fonctions d´erivables.
Pour tout x∈[−2π; 2π], f′(x) = √3−2 cos(x).

4. ´ Etudier le signe de f′(x) sur [0; 2π], et dresser le tableau de va-
riation de fsur [0; 2π].
f′(x)>0
√3−2 cos(x)>0
−2 cos x > −√3
cos x < √3
2
En raisonnant sur le cercle, sur l’intervalle [0; 2π], on observe que
f′(x)>0 lorsque x∈π
6;11π 6.
+
O−→
i
−→
j
π
6
√3
2
1/2
11π
6
0; 2π
π
2
π
x0π/6 11π/62π
f′(x)−0+0−
f(x)
0
π√3
6−1
11π√3
6+ 1
2π√3
Exercice 3 (no112 page 90)
La fonction tangente est d´efinie par tan x=sin x
cos x.
On va ´etudier cette fonction, not´ee f, sur i−π
2;π 2h. On note Csa courbe
repr´esentative dans un rep`ere orthogonal.
1. (a) Exprimer f(−x) en fonction de f(x).
tan(−x) = sin(−x)
cos(−x)
=−sin x
cos x
=−tan x
(b) En d´eduire qu’il suffit d´etudier fsur J=h0; π
2h.
La fonction tangente est donc impaire, et sa courbe
repr´esentative est sym´etrique par rapport au point O.
Il suffit d’´etudier fsur h0; π
2h, et l’on compl`etera la courbe
par sym´etrie par rapport au point Osur l’intervalle i−π
2; 0h.
2. D´eterminer la limite de fen π
2. Que peut-on en d´eduire ?
lim
x→π
2
sin x= sin π
2= 1.
lim
x→π
2
x< π
2
cos x= 0+.

Par quotient, lim
x→π
2
x< π
2
tan x= +∞.
La droite d’´equation x=π
2est asymptote verticale `a C.
3. Exprimer f′(x) en fonction de x.
Les fonctions sinus et cosinus sont d´erivables sur R, et pour tout
x∈i−π
2;π 2h, cos x6= 0.
Par quotient, la fonction fest d´erivable sur i−π
2;π 2h.
Pour tout x∈i−π
2;π 2h,
f′(x) = cos(x)×cos(x)−sin(x)×(−sin x)
cos2(x)
=cos2+ sin2x
cos2x
=1
cos2x>0
4. Dresser le tableau de variation de fsur J.
Comme un carr´e est toujours positif, pour tout x∈J,f′(x) =
1
cos2x>0.
Donc fest strictement cropissante sur J=h0; π
2h.
f(0) = 0, et on a vu que lim
x→π
2
x< π
2
f(x) = +∞.
x0π/2
tan x
0
+∞
5. D´eterminer une ´equation de la tangente T`a la courbe de fau
point d’abscisse 0.
f(0) = 0, et f′(0) = 1
cos2(0) = 1.
y=f′(0)(x−0) + f(0)
y= 1x+ 0
y=x
La tangente Ta pour ´equation y=x.
6. ´ Etudier la position relative de Cet Tsur I.
On ´etudie la signe de f(x)−x.
f(x)−x=sin x
cos x−x
=sin x−xcos x
cos x
Sur I=i−π
2;π 2h, il est clair que cos x > 0.
Donc f(x)−xest du signe de g(x) = sin x−xcos x.
La fonctions gest d´erivable sur Ipar produit et somme de fonc-
tions d´erivables.
Pour tout x∈I,
g′(x) = cos x−(1 ×cos x+x×(−sin x))
= cos x−cos x+xsin x
=xsin x
x−π/20π/2
x−0+
sin x−0+
g′(x) = xsin x+0+
La d´eriv´ee de gest strictement positive sur Isauf en 0 o`u elle
s’annule.
La fonction gest donc strictement croissante sur I=i−π
2;π 2h.
On remarque que g(0) = sin 0 −0×cos 0 = 0.

Comme gest strictement croissante et Iet g(0) = 0, on peut
donner le signe de g:
x−π/20π/2
g(x)−0+
La courbe Cest au-dessus de la tangente Tsur i0; π
2h,
La courbe Cest en-dessous de la tangente Tsur i−π
2; 0h.
7. Tracer Tet Csur I.
0
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3−1−2−3π
2
−π
2
TC