f est la fonction définie sur R par f(x)

T4. Correction du Dm7.
3. Exprimer f (x + π) en fonction de f (x). pour tout x ∈ R,
f (x + π) = 1 − cos(2(x + π))
Exercice 1 (no 78 page 87)
f est la fonction définie sur R par f (x) = 1 − cos(2x). On donne sa
h πi
courbe représentative sur 0; .
2
1. Reproduire la courbe de f .
0
2
−π
− π2
0
π
2
π
3π
2
Exercice 2 (no 109 page 89)
√
f est la fonction définie sur I = [−2π; 2π] par f (x) = 3x − 2 sin x
f (−x) = 1 − cos(−2x)
= 1 − cos(2x)
= f (x)
Cela montre que la fonction f est paire, donc sa courbe
représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On complète la courbe par symétrie d’axe (Oy).
1. Exprimer f (−x) en fonction de f (x).
Pour tout x ∈ I,
√
3 × (−x) − 2 sin(−x)
f (−x) =
√
= − 3x + 2 sin(x)
= −f (x)
2. Justifier pourquoi il suffit d’étudier f sur [0; 2π].
Comme pour tout x ∈ I, f (−x) = f (x), la fonction f est impaire,
et donc sa courbe est symétrique par rapport au point O.
Il suffit d’étudier f sur [0; 2π] et l’on complètera la courbe
représentative par symétrie par rapport à O sur [−2π; 0].
2
− π2
= f (x)
π
π
2
2. Exprimer f (−x) en fonction de f (x).
Pour tout x ∈ R, cos(−x) = cos(x) (la fonction cos est paire).
Donc pour tout x ∈ R,
−π
= 1 − cos(2x)
Ceci montre que la fonction f est π-périodique.
Il suffit de connaı̂tre la courbe sur un intervalle de longueur π
pour pouvoir compléter le tracé par des translations.
→
−
La courbe de f est invariante par la translation de vecteur π i .
2
− π2
= 1 − cos(2x + 2π)
0
π
2
π
3. Déterminer l’expression de f ′ (x) en fonction de x.
f est dérivable sur I par somme de
√ fonctions dérivables.
′
Pour tout x ∈ [−2π; 2π], f (x) = 3 − 2 cos(x).
4. Étudier le signe de f ′ (x) sur [0; 2π], et dresser le tableau de variation de f sur [0; 2π].
x
π/6
0
f ′ (x)
−
0
11π/6
+
0
f ′ (x) > 0
√
3 − 2 cos(x) > 0
f (x)
√
−2 cos x > − 3
√
3
cos x <
2
En raisonnant sur le cercle,
sur l’intervalle [0; 2π], on observe que
11π
π
;
.
f ′ (x) > 0 lorsque x ∈
6 6
2π
−
0
√
11π 3
+1
6
√
π 3
−1
6
√
2π 3
Exercice 3 (no 112 page 90)
sin x
La fonction tangente est définie par tan x =
.
x
h
i πcos
π
On va étudier cette fonction, notée f , sur − ; . On note C sa courbe
2 2
représentative dans un repère orthogonal.
1. (a) Exprimer f (−x) en fonction de f (x).
+
π
6
1/2
→
−
j
π
sin(−x)
cos(−x)
− sin x
=
cos x
= − tan x
tan(−x) =
π
2
O
− √
→
i
3
2
0; 2π
11π
6
h πh
(b) En déduire qu’il suffit détudier f sur J = 0; .
2
La fonction tangente est donc impaire, et sa courbe
représentative est symétrique
h π hpar rapport au point O.
Il suffit d’étudier f sur 0; , et l’on complètera la courbe
2
i π h
par symétrie par rapport au point O sur l’intervalle − ; 0 .
2
π
2. Déterminer la limite de f en . Que peut-on en déduire ?
2
π
limπ sin x = sin = 1.
2
x→ 2
limπ cos x = 0+.
x→ 2
x< π2
Par quotient, limπ tan x = +∞.
x→ 2
x< π2
La droite d’équation x =
f (0) = 0, et f ′ (0) =
π
est asymptote verticale à C .
2
3. Exprimer f ′ (x) en fonction de x.
Les ifonctions
sinus et cosinus sont dérivables sur R, et pour tout
π πh
x ∈ − ; , cos x 6= 0.
2 2
i π πh
Par quotient, la fonction f est dérivable sur − ; .
2 2
i π πh
Pour tout x ∈ − ; ,
2 2
f ′ (x) =
=
=
cos(x) × cos(x) − sin(x) × (− sin x)
cos2 (x)
cos2 + sin2 x
cos2 x
1
>0
cos2 x
4. Dresser le tableau de variation de f sur J.
Comme un carré est toujours positif, pour tout x ∈ J, f ′ (x) =
1
> 0.
cos2 x
h πh
Donc f est strictement cropissante sur J = 0; .
2
f (0) = 0, et on a vu que limπ f (x) = +∞.
x→ 2
x< π2
x
1
= 1.
cos2 (0)
y = f ′ (0)(x − 0) + f (0)
y = 1x + 0
y = x
La tangente T a pour équation y = x.
6. Étudier la position relative de C et T sur I.
On étudie la signe de f (x) − x.
f (x) − x =
=
i π πh
Sur I = − ; , il est clair que cos x > 0.
2 2
Donc f (x) − x est du signe de g(x) = sin x − x cos x.
La fonctions g est dérivable sur I par produit et somme de fonctions dérivables.
Pour tout x ∈ I,
g′ (x) = cos x − (1 × cos x + x × (− sin x))
= cos x − cos x + x sin x
= x sin x
x
0
sin x
−x
cos x
sin x − x cos x
cos x
−π/2
π/2
0
x
−
0
+
π/2
sin x
−
0
+
+∞
g′ (x) = x sin x
+
0
+
tan x
0
5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au
point d’abscisse 0.
La dérivée de g est strictement positive sur I sauf en 0 où elle
s’annule.
i π πh
La fonction g est donc strictement croissante sur I = − ; .
2 2
On remarque que g(0) = sin 0 − 0 × cos 0 = 0.
Comme g est strictement croissante et I et g(0) = 0, on peut
donner le signe de g :
4
T
C
3
2
x
g(x)
−π/2
π/2
0
−
0
1
+
−3
−2−
π
2
−1
0
−1
πh
La courbe C est au-dessus de la tangente T sur 0; ,
i 2π h
La courbe C est en-dessous de la tangente T sur − ; 0 .
2
i
−2
−3
−4
7. Tracer T et C sur I.
−5
1
π
2
2
3