I. Ensemble des nombres complexes 1. Existence Théorème (admis)

Chapitre VII
Les nombres complexes
Extrait du programme :
I. Ensemble des nombres complexes
1. Existence
Théorème (admis) : Il existe un ensemble noté , appelé ensemble des nombres complexes, qui
possède les propriétés suivantes :
-  contient tous les nombres réels
- L’addition et la multiplication des nombres réels se prolonge aux nombres complexes et les
règles de calcul restent les mêmes.
- Il existe un nombre complexe noté i tel que i² = − 1
- Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z = a + ib où a et b sont des nombres
réels.
Remarque : l’unicité de l’écriture implique que :
- Pour tous a et b réels, a + ib = 0  a = 0 et b = 0
- Pour tous a, a’, b, b’ réels, a + ib = a’ + ib’ a = a’ et b = b’
2. Forme algébrique
Définitions : L’écriture unique d’un nombre complexe z sous la forme z = a + ib avec a et b réels, est
appelée forme algébrique du nombre complexe z.
Dans ce cas, a est appelé partie réelle de z et est noté : a = Re ( z )
b est appelé partie imaginaire de z et est noté : b = Im ( z )
Lorsque b = 0, z est un réel, et lorsque a = Re ( z ) = 0, alors z = ib est appelé imaginaire pur.
Exemples :
1. z = 2 + i 3, alors Re ( z ) = 2 et Im ( z ) = 3
2. z = 3, alors Re ( z ) = 3 et Im ( z ) = 0 ; z est un réel
3. z = 1,5i alors Re ( z ) = 0 et Im ( z ) = 1,5 ; z est un imaginaire pur.

Attention, la partie imaginaire d’un nombre complexe est un réel !!
4. z = 4 + i ( 5 − 2i ) n’est pas sous la forme algébrique, car elle n’est pas sous la forme a + ib
avec a et b réels.
4 + i ( 5 − 2i ) = 4 + 5i − 2i² = 4 + 5i − 2 × ( − 1 )= 6 + 5i est la forme algébrique de z.
Re ( z ) = 6 et Im ( z ) = 5.
II. Les opérations dans 
1. Règles de calculs
 Somme de deux complexes : z = 1 + 3i z’ = 2 − 5i
Alors z + z’ = ( 1 + 3i ) + ( 2 − 5i ) = 3 − 2i
 Produit de deux complexes : z = 1 + 3i z’ = 2 − 5i
Alors zz’ = ( 1 + 3i ) ( 2 − 5i )
= 2 − 5i + 6i − 15i²
= 2 + i + 15
= 17 + i
 Puissances de i :
i0 = 1 ; i1 = i ; i² = − 1; i3 = − i ; i4 = 1 ; i5 = i ; i6 = − 1 etc…
En utilisant les coefficients binomiaux du triangle de Pascal, on peut développer :
( 1 + i )4 = 14 + 4 × 13 × i1 + 6 × 1² × i² + 4 × 11 × i3 + i4
= 1 + 4i − 6 − 4i + 1 = − 4
2. Opposé et conjugué d’un complexe
Définitions :
L’opposé de z = a + ib est le nombre complexe − z avec –z ( − a ) = ( − b ) + i = − a − ib
Tout nombre complexe z de forme algébrique a + ib admet un complexe conjugué qui est le nombre
complexe noté défini par : 
Exemple : l’opposé de 2 + 3i est − 2 − 3i et son conjugué est : 2 − 3i
Propriété : le produit d’un nombre complexe par son conjugué est un réel positif :
Démonstration :  avec  et  réels
=  CQFD
3. Inverse et quotient
Propriété – définition : Pour tout nombre complexe  non nul, il existe un unique nombre complexe
z’ vérifiant : zz’ = z’z = 1.
z’ est l’inverse de z et se note 1
z
Démonstration : soit z un complexe non nul, z = a + ib avec a et b réels.
 = a² + b²  z z
a² + b² = 1

Donc zz’ = 1 zz’= z z
a² + b²  z 
z’ − z
a² + b² = 0  z’ − z a² + b² = 0 (car z  0)  z’ = z a² + b²
CQFD
Définition : Soient z et z’ deux nombres complexes avec z non nul.
Alors le quotient de z’ par z est le nombre complexe z’
z = z’ 1 z
4. Propriétés des conjugués
Propriétés : Pour tout z, z’ de  :
 Le conjugué de  est z : 
 z est un réel  
 z est un imaginaire pur  
 Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués :  = 
 Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : 
 Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués :
si z0 ,  1
z = 1
z et 
z
z’ = z
z’
 n, zn= ( z )n
Démonstration : On pose : z = a + ib et z’ = a’ + ib’ avec a, b, a’, et b’ réels
   a + ib = a − ib  2ib = 0  b = 0  z réel
 Idem
 z + z’ = a + a’ + i ( b + b’ ) donc  = a + a’ − i ( b + b’ )
Et  = a − ib + a’ − ib’ = a + a’ − i ( b + b’ )
 Idem
 Idem
 On procède par récurrence en prenant d’abord n puis n en posant n = − p. CQFD
Point-méthode 31 : Donner la forme algébrique de complexes
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
a. z1 = ( − 5 + 7i ) ( − 2 + 3i ) b. z2 = ( 3 − 2i ) ² c. z3 = − 5 + i
3 + 2i
Solution : pour des produits, il suffit de développer en utilisant le fait que i² = − 1
z1 = ( − 5 + 7i ) ( − 2 + 3i ) = 10 − 15i − 14i + 21i² = − 11 − 29i
z2 = ( 3 − 2i ) ² = 9 − 12i + 4i² = 5 − 12i
Pour des inverses ou des quotients, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué
du dénominateur et utiliser le fait que 
z3 = − 5 + i
3 + 2i = ( − 5 + i ) ( 3 − 2i )
( 3 + 2i ) ( 3 − 2i ) = − 15 + 10i + 3i − 2i²
9 + 4 = − 13 + 13i 13 = − 1 + i

Point-méthode 32 : Utiliser l’égalité de deux nombres complexes
1. Déterminer les réels x et y pour que l’on ait : ( 2i + 1 ) x +( − 1 + i ) y = 1 + 2i
2. A quelle condition le nombre complexe z = x + 1 + i ( − ix + x ) + 3i − 3ix est-il un réel ? un
imaginaire pur ?
3. Le plan est muni d’un repère orthonormé. Déterminer l’ensemble des points M de
coordonnées ( x;y ) tels que le nombre complexe Z = x + 1 + iy
x + i ( y − 1 ) soit un réel.
Solution :
1. Deux complexes sont égaux si et seulement si leur partie réelle et leur partie imaginaire sont
égales. On écrit donc les deux complexes sous forme algébrique.
( 2i + 1 ) x + ( − 1 + i ) y = 1 + 2i  x − y + i ( 2x + y ) = 1 + 2i  
x − y = 1
2x + y = 2
Soit x = 1 et y = 0
2. On écrit z sous la forme algébrique.
z = x + 1 + i ( − ix + x ) + 3i − 3ix = x + 1 − xi² + ix + 3i − 3ix = 2x + 1 + i ( − 2x + 3 )
Un complexe est réel si et seulement sa partie imaginaire est nulle
z réel équivaut à Im ( z ) = 0, ce qui équivaut à − 2x + 3 = 0  x = 3
2
Un complexe est un imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.
z imaginaire pur  Re ( z ) = 0  2x + 1 = 0  x = − 1
2
3. On doit écrire Z sous forme algébrique grâce au conjugué du dénominateur :
Z = x + 1 + iy
x + i ( y − 1 ) = ( x + 1 + iy ) ( x − i ( y − 1 ) ) ( x + i ( y − 1 ) ) ( x − i ( y − 1 ) ) = x² − ixy + ix + x − iy + i + ixy − i²y² + i²y x² + ( y − 1 ) ²
= x² + y² + x − y
x² + ( y − 1 ) ² + i x − y + 1 x² +( y − 1 )²
Donc Z réel  Im ( Z ) = 0 x − y + 1
x² +( y − 1 )² = 0  
x − y + 1 = 0
(x ; y)  (0;1)
L'ensemble cherché est donc la droite d’équation x − y + 1 = 0 privée du point de coordonnées (0 ;1)
III. Résolution dans  des équations du second degré à coefficients réels.
1. Préliminaire
 Dans , tout nombre réel est un carré :
4 est le carré de 2 ou de – 2
− 4 est le carré de ( 2i ) ou de ( − 2i )
 Résoudre dans , z² + 3z + 4 = 0
z² + 3z + 4 = 0   z + 3
2 ² + 7 4 = 0  
z + 3
2 ² − 
− 7
4 = 0
z + 3
2 ²− 
i 7
2 ² = 0
z + 3
2 − i 7 2 
z + 3
2 + i 7 2 = 0
On a donc deux solutions dans  : s= 
− 3 + i 7
2;− 3 − i 7 2

2. Généralisation
Théorème : On appelle P le polynôme P ( z ) = az² + bz + c où a, b et c sont trois réels donnés et 
son discriminant avec  = b² − 4ac.
Solutions dans  de l’équation Pz 
Factorisation de Pz
 = 0
Une solution unique réelle z0 = b
a
Pza (z - z0 )²
 > 0
Deux solutions réelles distinctes
z1 = b  
a et z2 = b   a
Pza (z – z1 ) (z – z2 )
 < 0
Deux solutions complexes conjuguées
z1 =b  i
a et z2 = b  i a
Pza (z – z1 ) (z – z2 )
Démonstration :
Si   0 : même démonstration que dans 
Si  :  
CQFD
Point-Méthode 33 : Résoudre une équation du 2nd degré à coefficients réels
Résoudre dans  les équations suivantes :
1. a. − 10z² + 2z − 1 = 0 b. z4 + 6z² − 7 = 0
2. a. Développer ( 1 − 3 ) ²
b. Résoudre dans  l’équation suivante : z² + ( 1 − 3 ) z + 2 − 3 = 0
Solution :
1. a. On commence par procéder comme dans 
− 10z² + 2z − 1 = 0
= − 36 = ( 6i ) ² Lorsque <0, il est préférable de l’écrire sous la forme d’un carré d’un imaginaire
pur que l’on retrouvera dans les 2 solutions.
L’équation a donc deux solutions complexes conjuguées :
z1 = − 2 − 6i
− 20 = 1
10 + i 3 10 et z2 = z1 = 1 10 − i 3 10 donc s = 
1
10 + 3 10i ;1 10 − 3 10i
b. On reconnait une équation bicarrée, on effectue donc le même changement de variable que
dans 
Posons Z = z².
Ainsi z4 + 6z² − 7 = 0 Z² + 6Z − 7 = 0
 = 64 donc deux solutions réelles distinctes : Z = 1 ou Z = − 7
Ainsi z4 + 6z² − 7 = 0 z² = 1 ou z² = − 7
On a donc : s={ − 1 ; 1 ; i 7 ; − i 7}
2. a. ( 1 − 3 ) ² = 1 − 2 3 + 3 = 4 − 2 3
b. z² + ( 1 − 3 ) z + 2 − 3 = 0
 = ( 1 − 3 ) ² − 4 ( 2 − 3 ) = 1 − 2 3 + 3 − 8 + 4 3
= − 4 + 2 3 = − ( 4 − 2 3 ) On reconnait le développement de a.