TD1: Complexes

IUT de Nˆımes
GEII 1-`ere ann´ee
Math´ematiques, Module MA1
2016/17
TD 1 - Nombres complexes
N.B. Pour tous les exercices ci-dessous, repr´esenter graphiquement les r´esultats obtenus.
1) Propri´et´es ´el´ementaires et op´erations avec les nombres complexes
Exercice I
Soient les deux nombres complexes : z1= 1 + j3et z2= 2 + j4.
Calculer le module, l’argument, la partie r´eelle et la partie imaginaire des nombres complexes
suivants :
1. z1+z2En g´enie ´electrique, ce calcul correspond `a calculer l’imp´edance ´equivalente de
deux imp´edances mont´ees en s´erie (zeq =z1+z2).
z1z2
2. z1.z2Cela correspond par exemple `a calculer en r´egime sinuso¨ıdal ´etabli, la tension
complexe vaux bornes d’une imp´edance z= 1 + 3jtravers´ee par un courant
i= 2 + 4j(v=z.i).
z
i
v
3. z1
z2
. Cela correspond `a calculer le courant iqui traverse une imp´edance z= 2 + 4j
ayant une tension v= 1 + 3j`a ses bornes i=v
z.
Exercice II
Soient les deux nombres complexes : z1= 2 −j3et z2= 5 + j.
Calculer l’argument du nombre complexe zd´efini par : 1
z=1 z1
+1
z2
. Ce calcul correspond
au calcul de l’imp´edance ´equivalente de deux imp´edances z1et z2mont´ees en parall`ele.
z1
z2
Exercice III
Calculer le module et l’argument du nombre complexe : z=−√3 + j
1 + j.
1

Exercice IV
Effectuer les diff´erentes op´erations propos´ees (mettre ces r´esultats sous la forme (ρ, θ))
1. z= (10,
\
−40o)calculer : z.z=|z|2
2. z= (20,−\ 53,1o)calculer : z+z= 2Re(z)
3. z= 2,5e−jπ/4calculer : z.z
4. z= 2 + j8calculer : z−z= 2jIm(z)
5. z= (r, b θ)calculer : z/z
Exercice V
Mettre sous la forme a+jb (partie r´eelle et partie imaginaire) les nombres complexes suivants :
(2 + j5)(−2 + j5)
5 + j3e−j214π+e−j4π
1
1 + j+1 1−j
cos θ+jsin θ
sin θ−jcos θ
2) Applications
Exercice VI
Repr´esentation complexe d’un signal sinuso¨ıdal
Tout signal alternatif sinuso¨ıdal de type u(t) = Uef f √2 sin(2πft+φ)peut ˆetre repr´esent´e
par un vecteur de norme Uef f tournant `a la vitesse angulaire ω= 2πf (rad.s−1), avec Uef f
(V) la tension efficace, φ(rad) la phase et fla fr´equence (Hz).
Le vecteur de Fresnel ~ Uest la repr´esentation de ce vecteur `a l’instant t= 0. La phase `a
l’origine φest l’angle entre l’axe Ox et le vecteur.
Au vecteur de Fresnel ~ Uon peut lui associer ensuite le nombre complexe Ude module Uef f
et argument φ.
Soient les signaux u1(t) = 3√2 sin(2πf t +π/3) et u2(t) = 4√2 sin(2πf t −π/4).
a) Donner leurs repr´esentations complexes U1et U2sous les formes polaire et alg´ebrique.
b) Donner les repr´esentations temporelles de u3(t) = u1(t) + u2(t)et u4(t) = u1(t)−
u2(t).
Exercice VII
VEVS
R
C
Un filtre RC a pour fonction de transfert :
H(f) = VS
VE
=1
1 + jRCω =1 1 + j0.1f
Calculer le module et l’argument de cette fonction de transfert pour les 5 fr´equences suivantes :
2

f 1 Hz 5 Hz 10 Hz 20 Hz 100 Hz
Module
Argument
En d´eduire le type de filtre.
3) Formules d’Euler et de Moivre
Exercice VIII
En utilisant les relations d’Euler :
a) Retrouver en fonction des angles (α+β)et (α−β)les expressions de :
sin α. sin βet cos α. sin β(Facultatif)
b) Calculer : cos2αet sin3α(facultatif).
Exercice IX
En utilisant les formules de Moivre, calculer cos 3θet sin 3θen fonction de cos θet sin θ.
Exercice X
La puissance instantan´ee dissip´ee dans un dipˆole lin´eaire, qui est soumis `a une tension v(t) =
Veff √2 cos ωt et parcouru par un courant i(t) = Ief f √2 cos(ωt +ϕ)est d´efinie par la
relation : p(t) = v(t)·i(t).
En utilisant les relations d’Euler, montrer que cette puissance instantan´ee est la somme d’un
terme constant et d’un terme sinuso¨ıdal de pulsation double.
4) Racine carr´ee
Exercice XI D´eterminer ztel que :
a) z2=−5−12 jb) z2=j−√3
5) Exercices facultatifs
Exercice XII
a) Calculer le module et l’argument de (1 + j)net de (1 −j)n,n∈ N.
b) Montrer que leur somme (1 + j)n+ (1 −j)nest un nombre r´eel.
Exercice XIII
Montrer que, si z1et z2sont deux nombres complexes de module ´egal `a 1, le nombre complexe
ztel que
z=z1+z2
1 + z1.z2
est r´eel.
3

Exercice XIV
En utilisant les formules de Moivre, calculer cos 5θet sin 5θen fonction de cos θet sin θ.
Exercice XV
En utilisant les relations d’Euler calculer : cos4θet sin5θ.
Exercice XVI
Soit : sin(xθ) = 4(cos3θsin θ−cos θsin3θ).
En utilisant uniquement les relations d’Euler, d´eterminer la valeur de x.
Exercice XVII
D´eterminer ztel que :
z5=j−√3.
Exercice XVIII
Calculer les racines de l’´equation du 2`eme degr´e `a coefficients complexes :
(3 + 7j)z2−8(1 + 2j)z+ 4(1 + j) = 0 .
Exercice XIX
Trouver le couple (a, b)de nombres r´eels tels que le nombre complexe (1 + j)soit solution
de l’´equation :
z7+az5+b= 0 .
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