fiche 2 - Université Lille 1

Université de Lille 1
U.F.R. de Mathématiques
L2 Informatique
Année 2015–2016
Fiche no 2
Ex 1. On jette deux dés non pipés et on considère la v.a. X égale au plus grand des
points obtenus. Quelle est la loi de X ?
Ex 2. Soit X une variable aléatoire discrète réelle définie sur un espace de probabilité
(Ω, F, P ) de fonction de répartition F . Exprimer en fonction de F les fonctions de
répartition des variables aléatoires réelles discrètes suivantes :
1) Y1 = aX + b, où a et b sont deux réels tels que a 6= 0,
2) Y2 = X n , où n est un entier non nul,
3) Y3 = exp(X).
Ex 3. Soit X une variable aléatoire réelle discrète non nulle définie sur un espace de
probabilité (Ω, F, P ), de fonction de répartition F .
1) Exprimer en fonction de F , la fonction de répartition G de la variable aléatoire
1
réelle discrète Y = 2 .
X
2) Calculer F et G lorsque X suit une loi géométrique.
Ex 4. Neuf joueurs sont réunis. Chacun écrit un numéro entre 1 et 6 sur un bulletin
à son nom et mise 1 euro. On jette un dé. Les joueurs ayant deviné le numéro sorti se
partagent les mises.
1) Quelle est la loi du nombre N de gagnants ?
2) L’un des joueurs s’appelle Luc, on note L := {Luc gagne}. Pour k = 0, 1,
2,. . .,9, calculer P (N = k | L).
3) Calculer P (L | N = k) et commenter le résultat obtenu.
4) Soit X le gain (algébrique) en euros du joueur Luc. Ainsi X = −1 si Luc perd
et X = 9/N − 1 s’il gagne. Déterminer la loi de X.
Ex 5. Soit Xn une variable aléatoire de loi binomiale B(n, pn ). On suppose que
npn = λ + ε(n), où λ est un réel strictement positif fixé, et ε(n) tend vers 0 lorsque n
tend vers l’infini. Déterminer la limite
P Pλ (k) de P (Xn = k) lorsque n tend vers l’infini,
pour tout entier k. Vérifier que ∞
k=0 Pλ (k) = 1. On dit que Xn converge en loi vers
une loi de Poisson de paramètre λ, notée P(λ).
Ex 6. Soit X une v.a. de Poisson de paramètre λ > 0. On définit la v.a. Y de la
manière suivante :
— Si X prend une valeur nulle ou impaire alors Y prend la valeur 0.
— Si X prend une valeur paire alors Y prend la valeur X/2.
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Trouver la loi de Y .
Ex 7. Le nombre de fois où un individu attrape un rhume en une année donnée est
une variable de Poisson de paramètre λ = 5. Un nouveau médicament vient d’être mis
sur le marché. Il réduit le paramètre de Poisson à λ = 3 pour 75% de la population.
Pour le reste de la population, le médicament est sans effet notable sur les rhumes. Si
un individu essaie le médicament pendant un an et attrape 2 rhumes au cours de cette
période, quelle est la probabilité que le médicament lui ait été bénéfique ?
Ex 8. On note p la probabilité qu’une pièce tombe sur “pile”.
1) On lance cette pièce n fois. Soit k ∈ {1, . . . , n}. Quelle est la probabilité que
la pièce tombe sur “pile” pour la première fois au k-ième lancer ? On note f (k) cette
probabilité.
2) Montrer que la suite (f (k))k∈N∗ définit une loi de probabilité sur les entiers N∗ .
3) On a jeté la pièce ` fois, elle n’est jamais tombée sur “pile”. Quelle est la
probabilité qu’elle tombe sur “pile” pour la première fois au (` + k)-ième jet ?
Ex 9. La propriété d’absence de mémoire
1) Montrer que si X est une v. a. de loi géométrique, elle vérifie la propriété
d’absence de mémoire suivante :
∀k ∈ N, ∀n ∈ N,
P (X > n + k | X > n) = P (X > k).
(1)
Interpréter ce résultat en considérant une suite d’épreuves répétées.
2) Trouver toutes les lois qui vérifient la propriété (1).
Indication : On notera G(n) = P (X > n) et on montrera que (1) se traduit par une
relation simple entre G(n + k), G(n) et G(k).
Ex 10. Une loi du minimum(Janvier 2000)
X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes. X suit la loi géométrique de
paramètre α, et Y suit la loi géométrique de paramètre β, avec α et β deux réels fixés
de ]0, 1].
On note Z la variable aléatoire définie par :
∀ω ∈ Ω
Z(ω) = min(X(ω), Y (ω)).
1) Pour k ∈ N, calculer P (X > k).
2) Exprimer l’événement {Z = k} à partir des événements {X = k}, {Y = k},
{X > k} et {Y > k}.
3) En déduire la loi de Z. Comment s’appelle-t-elle ?
Ex 11. Dans un jeu basé sur un tirage au sort, il y a j joueurs indépendants ayant
chacun la même probabilité r de gagner. On note S le nombre de gagnants. Quelle est
sa loi ?
1) En fait le nombre de joueurs est une variable aléatoire N : il y a une population
totale de n personnes, chacune ayant une probabilité p de participer au jeu.
a) Quelle est la loi de N ?
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b) Exprimer P (S = k) à l’aide des P (S = k | N = j) et des P (N = j) pour
0 ≤ k ≤ j ≤ n.
c) En déduire par le calcul que S suit la loi binomiale B(n, rp).
2) Pour retrouver ce résultat de façon plus légère, on numérote de 1 à n les individus de la population et on note Ji et Gi les évènements :
Ji := { L’individu no i joue },
Gi := { L’individu no i gagne }.
Calculer P (Ji ∩ Gi ). En déduire la loi de S.
Ex 12. Soit λ un réel positif et soit p ∈ [0, 1]. Dans une banque, le nombre de chèques
émis par les clients en un jour est une variable aléatoire X qui suit la loi de Poisson
P(λ). Pour chaque chèque émis, la probabilité que ce chèque soit sans provision est p.
On appelle Y le nombre de chèques émis sans provision lors d’une journée.
1) Soit n ∈ N. Trouver P (Y = k | X = n) suivant les valeurs de k.
2) Déterminer la loi de Y et celle de X − Y .
3) Les variables X − Y et Y sont-elles indépendantes ?
Ex 13. Calculer les espérances et variances des variables aléatoires suivantes
1) loi de Bernoulli,
2) loi binomiale,
3) loi géométrique,
4) loi de Poisson.
Ex 14. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes discrètes de même loi
géométrique de paramètre p ∈]0, 1[.
1) Calculer la loi de la variable aléatoire discrète Z = X + Y . Quelle est son
espérance ? Même question avec la variable aléatoire discrète T = 2X.
2) Calculer P (X = Y ) et P (Z = T ).
3) Imaginer une expérience aléatoire donnant lieu à des variables aléatoires X et
Y . Que représente alors la probabilité calculée à la question précédente ?
Ex 15. Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de
paramètres λ. Déterminer les lois de X + Y et de 2X. Calculer leur espérance.
Ex 16. Soit n entier ≥ 1 et p ∈]0, 1[. Soit X une variable aléatoire suivant une loi
binômiale B(n, p). On définit la variable aléatoire Y de la façon suivante :
Si X = k et k ≥ 1 alors Y = k ; si X = 0 alors Y prend une valeur au hasard dans
{1, . . . , n}.
Déterminer la loi de Y , calculer son espérance et sa variance.
Ex 17. Soit X une variable aléatoire réelle discrète non nulle définie sur un espace
de probabilité (Ω, F, P ), de fonction de répartition F .
1) Exprimer en fonction de F , la fonction de répartition G de la variable aléatoire
1
réelle discrète Y = 2 .
X
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Calculer F et G lorsque X suit une loi géométrique.
Ex 18. Soit X une variable aléatoire discrète réelle définie sur un espace de probabilité
(Ω, F, P ) de fonction de répartition F . Exprimer en fonction de F les fonctions de
répartition des variables aléatoires réelles discrètes suivantes :
1) Y1 = aX + b, où a et b sont deux réels tels que a 6= 0,
2) Y2 = X n , où n est un entier non nul,
3) Y3 = exp(X).
Ex 19.
1) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ admettant une espérance. Mon∞
X
trer que l’on a E(X) =
P (X ≥ k) .
k=1
2) Soit X est une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p (p ∈]0, 1[),
utiliser la question précédente pour retrouver l’espérance de X.
Ex 20. Une urne contient n boules blanches et n boules rouges. On tire simultanément
n boules dans celle-ci et on note X le nombre de boules rouges obtenues lors de ce tirage.
Quelle est la loi de X, son espérance, sa variance ?
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