fiche 2 - Université Lille 1

Université de Lille 1
U.F.R. de Mathématiques
L2 Informatique Année 2015–2016
Fiche no2
Ex 1. On jette deux dés non pipés et on considère la v.a. Xégale au plus grand des
points obtenus. Quelle est la loi de X?
Ex 2. Soit Xune variable aléatoire discrète réelle définie sur un espace de probabilité
(Ω,F, P )de fonction de répartition F. Exprimer en fonction de Fles fonctions de
répartition des variables aléatoires réelles discrètes suivantes :
1) Y1=aX +b, où aet bsont deux réels tels que a6= 0,
2) Y2=Xn, où nest un entier non nul,
3) Y3= exp(X).
Ex 3. Soit Xune variable aléatoire réelle discrète non nulle définie sur un espace de
probabilité (Ω,F, P ), de fonction de répartition F.
1) Exprimer en fonction de F, la fonction de répartition Gde la variable aléatoire
réelle discrète Y=1
X2.
2) Calculer Fet Glorsque Xsuit une loi géométrique.
Ex 4. Neuf joueurs sont réunis. Chacun écrit un numéro entre 1et 6sur un bulletin
à son nom et mise 1euro. On jette un dé. Les joueurs ayant deviné le numéro sorti se
partagent les mises.
1) Quelle est la loi du nombre Nde gagnants ?
2) L’un des joueurs s’appelle Luc, on note L:= {Luc gagne}. Pour k= 0,1,
2,. . .,9, calculer P(N=k|L).
3) Calculer P(L|N=k)et commenter le résultat obtenu.
4) Soit Xle gain (algébrique) en euros du joueur Luc. Ainsi X=−1si Luc perd
et X= 9/N −1s’il gagne. Déterminer la loi de X.
Ex 5. Soit Xnune variable aléatoire de loi binomiale B(n, pn). On suppose que
npn=λ+ε(n), où λest un réel strictement positif fixé, et ε(n)tend vers 0 lorsque n
tend vers l’infini. Déterminer la limite Pλ(k)de P(Xn=k)lorsque ntend vers l’infini,
pour tout entier k. Vérifier que P∞
k=0 Pλ(k)=1. On dit que Xnconverge en loi vers
une loi de Poisson de paramètre λ, notée P(λ).
Ex 6. Soit Xune v.a. de Poisson de paramètre λ > 0. On définit la v.a. Yde la
manière suivante :
— Si Xprend une valeur nulle ou impaire alors Yprend la valeur 0.
— Si Xprend une valeur paire alors Yprend la valeur X/2.

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Trouver la loi de Y.
Ex 7. Le nombre de fois où un individu attrape un rhume en une année donnée est
une variable de Poisson de paramètre λ= 5. Un nouveau médicament vient d’être mis
sur le marché. Il réduit le paramètre de Poisson à λ= 3 pour 75% de la population.
Pour le reste de la population, le médicament est sans effet notable sur les rhumes. Si
un individu essaie le médicament pendant un an et attrape 2 rhumes au cours de cette
période, quelle est la probabilité que le médicament lui ait été bénéfique ?
Ex 8. On note pla probabilité qu’une pièce tombe sur “pile”.
1) On lance cette pièce nfois. Soit k∈ {1, . . . , n}. Quelle est la probabilité que
la pièce tombe sur “pile” pour la première fois au k-ième lancer ? On note f(k)cette
probabilité.
2) Montrer que la suite (f(k))k∈N∗définit une loi de probabilité sur les entiers N∗.
3) On a jeté la pièce `fois, elle n’est jamais tombée sur “pile”. Quelle est la
probabilité qu’elle tombe sur “pile” pour la première fois au (`+k)-ième jet ?
Ex 9. La propriété d’absence de mémoire
1) Montrer que si Xest une v. a. de loi géométrique, elle vérifie la propriété
d’absence de mémoire suivante :
∀k∈N,∀n∈N, P (X > n +k|X > n) = P(X > k).(1)
Interpréter ce résultat en considérant une suite d’épreuves répétées.
2) Trouver toutes les lois qui vérifient la propriété (1).
Indication : On notera G(n) = P(X > n)et on montrera que (1) se traduit par une
relation simple entre G(n+k),G(n)et G(k).
Ex 10. Une loi du minimum(Janvier 2000)
Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes. Xsuit la loi géométrique de
paramètre α, et Ysuit la loi géométrique de paramètre β, avec αet βdeux réels fixés
de ]0,1].
On note Zla variable aléatoire définie par :
∀ω∈ΩZ(ω) = min(X(ω), Y (ω)).
1) Pour k∈N, calculer P(X > k).
2) Exprimer l’événement {Z=k}à partir des événements {X=k},{Y=k},
{X > k}et {Y > k}.
3) En déduire la loi de Z. Comment s’appelle-t-elle ?
Ex 11. Dans un jeu basé sur un tirage au sort, il y a jjoueurs indépendants ayant
chacun la même probabilité rde gagner. On note Sle nombre de gagnants. Quelle est
sa loi ?
1) En fait le nombre de joueurs est une variable aléatoire N: il y a une population
totale de npersonnes, chacune ayant une probabilité pde participer au jeu.
a) Quelle est la loi de N?
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b) Exprimer P(S=k)à l’aide des P(S=k|N=j)et des P(N=j)pour
0≤k≤j≤n.
c) En déduire par le calcul que Ssuit la loi binomiale B(n, rp).
2) Pour retrouver ce résultat de façon plus légère, on numérote de 1ànles indi-
vidus de la population et on note Jiet Giles évènements :
Ji:= {L’individu noijoue }, Gi:= {L’individu noigagne }.
Calculer P(Ji∩Gi). En déduire la loi de S.
Ex 12. Soit λun réel positif et soit p∈[0,1]. Dans une banque, le nombre de chèques
émis par les clients en un jour est une variable aléatoire Xqui suit la loi de Poisson
P(λ). Pour chaque chèque émis, la probabilité que ce chèque soit sans provision est p.
On appelle Yle nombre de chèques émis sans provision lors d’une journée.
1) Soit n∈N. Trouver P(Y=k|X=n)suivant les valeurs de k.
2) Déterminer la loi de Yet celle de X−Y.
3) Les variables X−Yet Ysont-elles indépendantes ?
Ex 13. Calculer les espérances et variances des variables aléatoires suivantes
1) loi de Bernoulli,
2) loi binomiale,
3) loi géométrique,
4) loi de Poisson.
Ex 14. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes discrètes de même loi
géométrique de paramètre p∈]0,1[.
1) Calculer la loi de la variable aléatoire discrète Z=X+Y. Quelle est son
espérance ? Même question avec la variable aléatoire discrète T= 2X.
2) Calculer P(X=Y)et P(Z=T).
3) Imaginer une expérience aléatoire donnant lieu à des variables aléatoires Xet
Y. Que représente alors la probabilité calculée à la question précédente ?
Ex 15. Soit Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de
paramètres λ. Déterminer les lois de X+Yet de 2X. Calculer leur espérance.
Ex 16. Soit nentier ≥1et p∈]0,1[. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi
binômiale B(n, p). On définit la variable aléatoire Yde la façon suivante :
Si X=ket k≥1alors Y=k; si X= 0 alors Yprend une valeur au hasard dans
{1, . . . , n}.
Déterminer la loi de Y, calculer son espérance et sa variance.
Ex 17. Soit Xune variable aléatoire réelle discrète non nulle définie sur un espace
de probabilité (Ω,F, P ), de fonction de répartition F.
1) Exprimer en fonction de F, la fonction de répartition Gde la variable aléatoire
réelle discrète Y=1
X2.
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2) Calculer Fet Glorsque Xsuit une loi géométrique.
Ex 18. Soit Xune variable aléatoire discrète réelle définie sur un espace de probabilité
(Ω,F, P )de fonction de répartition F. Exprimer en fonction de Fles fonctions de
répartition des variables aléatoires réelles discrètes suivantes :
1) Y1=aX +b, où aet bsont deux réels tels que a6= 0,
2) Y2=Xn, où nest un entier non nul,
3) Y3= exp(X).
Ex 19.
1) Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans N∗admettant une espérance. Mon-
trer que l’on a E(X) =
∞
X
k=1
P(X≥k).
2) Soit Xest une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p(p∈]0,1[),
utiliser la question précédente pour retrouver l’espérance de X.
Ex 20. Une urne contient n boules blanches et n boules rouges. On tire simultanément
n boules dans celle-ci et on note X le nombre de boules rouges obtenues lors de ce tirage.
Quelle est la loi de X, son espérance, sa variance ?
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