Variables aléatoires

IREM DE STRASBOURG GROUPE STATISTIQUES
769772513 15/02/02 1/3 Version du 16/04/17
VARIABLES ALEATOIRES
Définition :
Une variable aléatoire
X
est une application
X:
telle que l’image réciproque de tout
intervalle de est un événement de
A
.
1
X , XII
   A
Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Etant donnée une variable aléatoire
X
définie sur
, ,PA
, on appelle loi de probabilité de
X
et on note
X
P
, la probabilité définie sur par :
1
X
P , P X , P , Xa b a b a b
que l’on écrit plus brièvement
PXab
.
On notera
XL
la loi de la variable aléatoire
X
Dans la pratique il est évidemment difficile de donner les valeurs de
X
P
pour tous les
intervalles.
Si
X
est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs
12
, ,..., ,...
n
x x x
la loi de
probabilité (discrète) associée est définie par les
P X , 1
ii
p x i  
avec
01
i
p
et
11
i
ip
.
Lorsque
X
est une variable aléatoire continue la loi de probabilité (continue) associée est
définie par une fonction positive
X
f
appelée densité de probabilité, telle que
X
P X f
b
a
a b t dt   
La probabilité d’un intervalle se présente dans ce cas continu comme une aire sous la
courbe représentative de
X
f
.
x
y
Propriété d’une fonction densité de probabilité :
X
f0
et
X
f1t dt
Fonction de répartition d’une variable aléatoire :
Si
X
est une variable aléatoire continue, on appelle fonction de répartition de
X
la fonction
XX
F P X f
t
t t x dx
a
b
y=f(x)
P([a,b[)

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x
y
On a :
X X X X
P X f f F F
ba
a b x dx x dx b a
Espérance mathématique
L’espérance mathématique (ou moyenne théorique) d’une variable aléatoire discrète
X
est
définie par :
E X X ii
ipx
La variance théorique d’une variable aléatoire discrète
X
est définie par :
222
22
X X X i i i i
ii
p x p x
L’écart type théorique est :
2
Xii
ipx
Propriétés :
Si
X
et
Y
sont deux variables aléatoires discrètes ou continues et a et b deux réels :
2 2 2
(X Y) (X) (Y)
( X ) (X)
XX
XX
a b a b
a b a
a b a
Définition : si
X
et
Y
sont deux variables aléatoires définies sur
, ,PA
,
X
et
Y
sont
dites indépendantes si pour tous réels
1 1 2 2
, , ,a b a b
tels que
1 1 2 2
eta b a b
:
1 1 2 2 1 1 2 2
P X et Y P X P Ya b a b a b a b         
Si
X
et
Y
sont deux variables aléatoires indépendantes, alors :
2 2 2
22
X Y X Y
X Y X Y
E XY E X E Y
t
X
Ft
y=f(x)

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