IREM DE STRASBOURG GROUPE STATISTIQUES VARIABLES ALEATOIRES Définition : Une variable aléatoire X est une application X : intervalle de est un événement de A . telle que l’image réciproque de tout X1 I , X I A Loi de probabilité d’une variable aléatoire Etant donnée une variable aléatoire X définie sur , A , P , on appelle loi de probabilité de X et on note PX , la probabilité définie sur par : PX a, b P X 1 a, b P , a X b que l’on écrit plus brièvement P a X b . On notera L X la loi de la variable aléatoire X Dans la pratique il est évidemment difficile de donner les valeurs de PX pour tous les intervalles. Si X est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x1 , x2 ,..., xn ,... la loi de probabilité (discrète) associée est définie par les pi P X xi , i 1 avec 0 pi 1 et p i 1 i 1. Lorsque X est une variable aléatoire continue la loi de probabilité (continue) associée est définie par une fonction positive f X appelée densité de probabilité, telle que b P a X b f X t dt a La probabilité d’un intervalle se présente dans ce cas continu comme une aire sous la courbe représentative de f X . y y=f(x) P([a,b[) x a b Propriété d’une fonction densité de probabilité : f X 0 et f t dt 1 X Fonction de répartition d’une variable aléatoire : Si X est une variable aléatoire continue, on appelle fonction de répartition de X la fonction FX t P X t t f x dx X 769772513 15/02/02 1/3 Version du 16/04/17 IREM DE STRASBOURG GROUPE STATISTIQUES y FX t y=f(x) x t On a : P a X b b fX x dx a f x dx F b F a X X X Espérance mathématique L’espérance mathématique (ou moyenne théorique) d’une variable aléatoire discrète X est définie par : E X X pi xi i La variance théorique d’une variable aléatoire discrète X est définie par : 2 X X X pi xi pi xi 2 2 2 2 i i L’écart type théorique est : X p x i 2 i i Propriétés : Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes ou continues et a et b deux réels : (X Y) (X) (Y) (a X b) a (X) b 2 a X b a 2 2 X a X b a X Définition : si X et Y sont deux variables aléatoires définies sur , A , P , X et Y sont dites indépendantes si pour tous réels a1 , b1 , a2 , b2 tels que a1 b1 et a2 b2 : P a1 X b1 et a2 Y b2 P a1 X b1 P a2 Y b2 Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors : 2 X Y 2 X 2 Y X Y 2 X 2 Y E XY E X E Y 769772513 15/02/02 2/3 Version du 16/04/17 IREM DE STRASBOURG 769772513 15/02/02 GROUPE STATISTIQUES 3/3 Version du 16/04/17