Angles orientés Trigonométrie

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Angles orientés - trigonométrie
A
An ng gl le es s o or ri ie en nt té és s
T
Tr ri ig go on no om mé ét tr ri ie e
I. Préliminaires
1. Le radian
 Définition
Soit C un cercle de centre O. Dire que l’angle géométrique
AOB
a pour mesure 1 radian
signifie que la longueur du petit arc
AB
est égal au rayon R du cercle.
De même, la longueur d’un arc de cercle de rayon R et dont l’angle au centre a pour mesure
α
radians est
R
α
.
O
C
A
B
α
radians
R
R
AB
=
R
α
O
C
A
B
1 radian
R
R
AB
= R

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 Correspondance entre mesures en degré et en radian
Degré 0 30 45 60 90 180 x
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
π
α
Pour convertir les 2 unités de mesure d’angle, on utilise la formule 180
x
α π
=
, soit
180
x
π
α =
avec
α
mesure en radian et
x
mesure en degré.
2. Orientations d’un cercle
3. Cercle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est de rayon 1 et est orienté positivement dans le sens direct.
+
Sens direct
Sens indirect

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II. Angles orientés
1. Angle orienté de deux vecteurs unitaires
Soient
u
et
v
deux vecteurs unitaires. Le couple
(
)
,
u v
de ces 2 vecteurs définit un angle
orienté. On a
1
u
=
et
1
v
=
A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté
AB
.
2. Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Soient
1
u
et
1
v
deux vecteurs non nuls. On note
u
le vecteur unitaire colinéaire à
1
u
et de
même sens que
1
u
et on note
v
le vecteur unitaire colinéaire à
1
v
et de même sens que
1
v
.
L’angle
(
)
1 1
,
u v
est par définition égal à l’angle
(
)
,
u v
.
3. Mesure principale en radian d’un angle orienté
Soient
u
et
v
deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de
centre O tels que
OM u
=
et
OP v
=
.
On note a la mesure en radian de l’angle
MOP
.
La mesure principale de l’angle orienté des vecteurs
(
)
,
u v
est le réel
α
appartenant à
l’intervalle
]
]
;
π π
− +
tel que
a
α
=
et dont le signe est défini de la manière suivante :
u
u
v
v
A
B

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Exemple :
ABC est un triangle équilatéral direct
( ; )
3
AB AC
π
=
( ; )
3
BA BC
π
= −
( ; )
3
CA CB
π
=
Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d’un angle orienté de deux
vecteurs non nuls
1
u
et
1
v
est la mesure principale de l’angle orienté
(
)
,
u v
avec
u
et
v
qui
sont les vecteurs unitaires colinéaires respectivement à
1
u
et
1
v
et de même sens que ces
vecteurs.
(
)
(
)
1 1
, ,
u v u v
=
u
v
M
P
a
α
=
Si le sens de M vers P
sur le petit arc
MP
est le
sens direct, alors
a
α
=
u
v
M
P
a
α
= −
Si le sens de M vers P
sur le petit arc
MP
est le
sens indirect, alors
a
α
= −
u
v
M
P
α π
=
Si l’angle
MOP
est plat,
alors
α π
=
u
1
u
1
v
v
A B
C

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4. Mesures principales d’angles sur le cercle trigonométrique
Remarque importante :
Si
θ
est une mesure (en radians) d’un angle de vecteurs
(
)
,
u v
, toutes les autres mesures de cet
angle sont de la forme :
.2
k
θ π
+
avec k
∈
ℤ
Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l’intervalle
]
]
;
π π
− , c’est la mesure principale.
0
π
4
π
6
π
3
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
2
3
π
−
2
π
−
4
π
−
3
π
−
6
π
−
5
6
π
−
3
4
π
−
En rouge : mesure principale
En vert : la plus petite mesure positive
7
6
π
5
4
π
4
3
π
3
2
π
5
3
π
7
4
π
11
6
π
2
π