Angles orientés Trigonométrie

Angles orientés
Trigonométrie
I. Préliminaires
1. Le radian
Définition
B
AB =R
R
1 radian
O
A
R
C
Soit C un cercle de centre O. Dire que l’angle géométrique AOB a pour mesure 1 radian
signifie que la longueur du petit arc AB est égal au rayon R du cercle.
De même, la longueur d’un arc de cercle de rayon R et dont l’angle au centre a pour mesure
α radians est α R .
B
AB = α R
R
α radians
A
O
R
C
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Correspondance entre mesures en degré et en radian
Degré
0
Radian
0
30
45
60
90
π
π
π
π
6
4
3
2
180
x
π
α
Pour convertir les 2 unités de mesure d’angle, on utilise la formule 180α = π x , soit α =
avec α mesure en radian et x mesure en degré.
π
180
x
2. Orientations d’un cercle
Sens direct
Sens indirect
3. Cercle trigonométrique
Un cercle trigonométrique est de rayon 1 et est orienté positivement dans le sens direct.
+
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II. Angles orientés
1. Angle orienté de deux vecteurs unitaires
( )
Soient u et v deux vecteurs unitaires. Le couple u , v de ces 2 vecteurs définit un angle
orienté. On a u = 1 et v = 1
B
v
u
v
A
u
AB .
A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté 2. Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Soient u1 et v1 deux vecteurs non nuls. On note u le vecteur unitaire colinéaire à u1 et de
même sens que u1 et on note v le vecteur unitaire colinéaire à v1 et de même sens que v1 .
L’angle u1 , v1 est par définition égal à l’angle u , v .
(
)
( )
3. Mesure principale en radian d’un angle orienté
Soient u et v deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de
centre O tels que OM = u et OP = v .
.
On note a la mesure en radian de l’angle MOP
La mesure principale de l’angle orienté des vecteurs u , v est le réel α appartenant à
( )
l’intervalle ]−π ; +π ] tel que α = a et dont le signe est défini de la manière suivante :
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P
v
u
α =a
M
u
v
α =π
α = −a
M P
v
u
M
P
Si le sens de M vers P
est le
sur le petit arc MP
sens direct, alors α = a
Si le sens de M vers P
est le
sur le petit arc MP
sens indirect, alors
α = −a
est plat,
Si l’angle MOP
alors α = π
Exemple :
ABC est un triangle équilatéral direct
π
( AB; AC ) =
3
π
( BA; BC ) = −
3
π
(CA; CB ) =
3
C
A
B
Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d’un angle orienté de deux
vecteurs non nuls u1 et v1 est la mesure principale de l’angle orienté u , v avec u et v qui
sont les vecteurs unitaires colinéaires respectivement à u1 et v1 et de même sens que ces
vecteurs.
u1 , v1 = u , v
( )
v1
v
(
) ( )
u
u1
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4. Mesures principales d’angles sur le cercle trigonométrique
π
2
2π
3
π
3
3π
4
π
4
5π
6
π
6
π
0
5π
−
6
7π
6
−
3π
4
11π
6
5π
4
−
4π
3
5π
3
3π
2
2π
3
−
En rouge : mesure principale
7π
4
−
−
−
π
6
π
4
π
3
π
2
En vert : la plus petite mesure positive
Remarque importante :
( )
Si θ est une mesure (en radians) d’un angle de vecteurs u , v , toutes les autres mesures de cet
angle sont de la forme :
θ + k .2π avec k ∈ ℤ
Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l’intervalle ]−π ; π ] , c’est la mesure principale.
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Explication : 2π représente une rotation complète sur le cercle, si on rajoute 2π à une
mesure d’angle, on retrouve donc la même mesure.
Exemples :
Donner toutes les mesures des angles dont la mesure principale est α , puis donner la plus
petite mesure positive :
α =−
5π
6
Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = −
5π
−5π + 12π 7π
+ 2π =
=
6
6
6
5π
−5π + 24π 19π
+ 2.2π =
=
Si k = 2 , x2 = −
6
6
6
7π
La plus petite mesure positive de l’angle est
.
6
5π
+ k .2π avec k ∈ ℤ
6
Si k = 1 , x1 = −
α =−
3π
4
Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = −
3π
−3π + 8π 5π
+ 2π =
=
4
4
4
3π
−3π + 16π 13π
Si k = 2 , x2 = −
+ 2.2π =
=
4
4
4
5π
La plus petite mesure positive de l’angle est
.
4
3π
+ k .2π avec k ∈ ℤ
4
Si k = 1 , x1 = −
5. Propriétés des angles orientés
Colinéarité et orthogonalité :
o Si u et v sont colinéaires et de même sens :
u , v = 0 + k .2π avec k ∈ ℤ
( )
u
v
o Si u et v sont colinéaires et de sens contraires
u , v = π + k .2π avec k ∈ ℤ
( )
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v
u
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o Si u et v sont orthogonaux
π
u , v = + k .2π avec k ∈ ℤ
2
π
ou u , v = − + k .2π avec k ∈ ℤ
2
( )
( )
v
u
v
u
Egalité entre deux angles :
(
( )
)
Deux angles de vecteurs u , v = θ et u ′, v′ = θ ′ sont égaux si : θ ′ = θ + k .2π
2π
Exemple : u , v = −
et
3
( )
(u′, v′) = 103π
avec k ∈ ℤ
. Ces deux angles sont-ils égaux ?
10π
2π
−2π + 12π
=−
+ 4π =
3
3
3
Les deux angles sont égaux.
Relation de Chasles :
La relation de Chasles pour les angles de vecteurs se définit ainsi :
( ) ( ) ( )
u , v + v, w = u , w
Exemple :
7π
Soient 3 vecteurs u , v et w non nuls et tels que u , v =
et
6
Démontrer que les vecteurs u et w sont orthogonaux.
( )
( v, w) = 43π
Solution :
( ) ( ) ( )
D’après la relation de Chasles, on sait que : u , w = u , v + v, w
7π 4π 7π + 8π 15π 5π
Donc u , w =
+
=
=
=
6
3
6
6
2
π
u , w = + 2π donc u et w sont orthogonaux.
2
( )
( )
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Egalités remarquables :
o
( ) (
Angles égaux : u , v = −u , −v
)
−u
v
u
−v
o
( ) ( )
Angles opposés : u , v = − v, u
v
u
( −u , v ) = ( u , v ) + π
o
Angles supplémentaires :
v
−u
( u, v )
π
( u , −v ) = ( u , v ) + π
et
π
u
v
u
−v
III. Cosinus et sinus d’un angle orienté
1. Définition
important
( )
Remarque préliminaire : Nous travaillerons dans une base orthonormée directe i, j , c’est-à π
π
dire que i, j = (dans une base indirecte, on a i, j = − )
2
2
( )
( )
(
)
Soit un angle de vecteurs et M le point du cercle trigonométrique tel que OA; OM = θ
Par définition, on a :
cos θ = abscisse de M
sin θ = ordonnée de M
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1
j
M
s in θ
θ
O
A
cos θ
i
1
Remarquons également que OM = i cos θ + j sin θ
Remarquons qu’on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle :
côté adjacent
= côté adjacent car OM = 1 .
hypothénuse
côté opposé
sin θ =
= côté opposé car OM = 1 .
hypothénuse
cos θ =
Remarque :
Si θ est une mesure (en radians) d’un angle de vecteurs u , v , on a : θ = θ + k .2π avec k ∈ ℤ
( )
Donc :
cos x = cos( x + k .2π ) avec k ∈ ℤ
sin x = sin( x + k .2π ) avec k ∈ ℤ
2. Formules essentielles
important
cos 2 x + sin 2 x = 1
−1 ≤ cos x ≤ 1
−1 ≤ sin x ≤ 1
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3. Signes et valeurs particulières de cos x et sin x
π
2π
3
2
π
3
3π
4
π
4
5π
6
π
6
π
0
En rouge : valeurs de x
x
0
cos x
1
sin x
0
π
π
π
π
6
3
2
1
2
4
2
2
2
2
3
1
2
2
3
2
π
0
-1
1
0
Tableau de signe :
x
-π
cos x
sin x
-1
0
−
π
2
0
-1
-
π
0
+
-
1
0
2
0
1
+
+
π
+
-1
0
1
−π
−
π
π
2
2
0
π
sin x
cos x
-1
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IV. Calculs trigonométriques
1. Angles associés
cos(− x) = cos x
cos(π − x) = − cos x
cos(π + x) = − cos x
π

cos  − x  = sin x
2

sin(− x) = − sin x
sin(π − x) = sin x
sin(π + x) = − sin x
π

sin  − x  = cos x
2

Exemples d’utilisation :
Calculons des valeurs particulières de cos x et sin x à partir de valeurs connues (cf. III.3.) :
3π
π
π

= cos  π −  = − cos = −
4
4
4

5π
π
π 1

sin
= sin  π −  = sin =
6
6
6 2

7π
π
π

cos
= cos  π +  = − cos = −
6
6
6

cos
cos
2
2
3
2
7π
π
π
2

 π
= cos  2π −  = cos  −  = cos =
4
4
4
2

 4
2. Formules d’addition
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b
cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
sin(a − b) = sin a.cos b − cos a.sin b
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Remarque : on peut retrouver toutes les formules à partir de la 2ème formule (la plus simple) :
cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b
Retrouvons cos(a + b) :
cos(a + b) = cos(a − (−b)) = cos a.cos(−b) + sin a.sin(−b)
cos(a + b) = cos a.cos b + sin a.(− sin b)
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b
Retrouvons sin(a + b) :
 π
π

 
sin(a + b) = cos  − (a + b)  = cos   − a  − b 
2

 
 2
π

π

sin(a + b) = cos  − a  cos b − sin  − a  sin b
2

2

sin(a + b) = sin a.cos b − cos a.sin b
Retrouvons sin(a − b) :
sin(a − b) = sin(a + (−b)) = sin a.cos(−b) + sin(−b).cos a
sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a
Exemples d’utilisation :
Trouver les valeurs exactes de cos
π
12
et sin
π
12
.
Solution :
Essayons de décomposer cos
On sait que
π
12
=
π
3
−
π
12
et sin
π
12
en valeurs que nous connaissons :
π
4
π
π
π
π
π π 
= cos  −  = cos .cos + sin .sin
12
3
4
3
4
3 4
π 1 2
3 2
2 + 3. 2
cos = .
+
.
=
12 2 2
2 2
4
π
2+ 6
cos =
12
4
Donc cos
π
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π
π
π
π
π π 
= sin  −  = sin .cos − cos .sin
12
3
4
3
4
3 4
π
3 2 1 2
6− 2
− .
=
sin =
.
12
2 2 2 2
4
sin
π
3. Formules de duplication
sin 2a = 2.sin a.cos a
Pour retrouver la formule :
sin 2a = sin(a + a ) = sin a.cos a + cos a.sin a
cos 2a = cos ² a − sin ² a
Pour retrouver la formule :
cos 2a = cos(a + a ) = cos a.cos a − sin a.sin a = cos ² a − sin ² a
cos 2a = 1 − 2sin ² a
cos 2a = 2 cos ² a − 1
car sin ² a + cos ² a = 1
4. Formules de linéarisation
1 − cos 2a
2
1 + cos 2a
cos ² a =
2
sin ² a =
Pour retrouver les formules :
1 − cos 2a
2
cos 2a + 1
cos 2a = 2 cos ² a − 1 donc 2 cos ² a = cos 2a + 1 donc cos ² a =
2
cos 2a = 1 − 2sin ² a donc 2 sin ² a = 1 − cos 2a donc sin ² a =
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Utilisation de ces formules :
π
Calculer la valeur exacte de cos
12
et sin
π
12
en utilisant les formules de linéarisation.
Solution :
D’après les formules de linéarisation, on sait que :
 π 
π
3 2+ 3
1 + cos  2 
1 + cos
1+
π
π
 12  donc cos 2
6 =
2 = 2 = 2+ 3
cos 2
=
=
12
2
12
2
2
2
4
De plus, on sait que 0 <
π
<
12
π
2
donc cos
π
12
> 0 . On peut « passer sous la racine » l’égalité
précédente :
cos 2
π
12
=
2+ 3
π
2+ 3
donc cos =
4
12
2
Calculons maintenant sin
π
:
12
D’après les formules de linéarisation, on sait que :
 π 
1 − cos  2  1 − cos π 1 − 3 2 − 3
π
 12  =
6 =
2 = 2 = 2− 3
sin 2
=
12
2
2
2
2
4
De même, on sait que 0 <
π
12
<
π
2
donc sin
π
12
> 0 . On peut « passer sous la racine » l’égalité
précédente :
sin
π
12
=
2− 3
2
Autre exemple d’utilisation des formules de linéarisation :
Factoriser les expressions suivantes :
A( x) = 1 + cos 2 x + cos x
B ( x) = 1 − cos 2 x + sin x
x
C ( x) = 1 + cos x + cos
2
D( x) = 1 + cos x + sin x
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Solutions :
D’après les formules de linéarisation : A( x) = 2 cos 2 2 x + cos x
Donc A( x) = cos x(2 cos x + 1)
D’après les formules de linéarisation : B ( x) = 2sin 2 2 x + sin x
Donc B ( x) = sin x(2 sin x + 1)
x
x
x
1 + cos 2 x
x 1 + cos x
= 2 cos 2 + cos
car cos ² x =
donc cos ² =
2
2
2
2
2
2
x
x
C ( x) = cos  1 + 2 cos 
2
2
C ( x) = 1 + cos x + cos
x
+ sin x
2
x
x
 x
Or sin x = sin  2  = 2.sin .cos
2
2
 2
x
x
x
x
x
x
Donc D( x) = 2 cos 2 + 2.sin .cos = 2 cos  cos + sin 
2
2
2
2
2
2
D( x) = 1 + cos x + sin x = 2 cos 2
V. Equations trigonométriques
1. Equation du type cos A(x) = cos B(x)
Théorème
B ( x) = A( x) + 2kπ
B ( x) = − A( x) + 2kπ
avec k ∈ ℤ
cos A( x) = cos B ( x) signifie que
ou
a + 2kπ
j
a
cos(a + 2kπ ) = cos(−a + 2kπ )
i
0
-a
− a + 2 kπ
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Exemples d’utilisation du théorème
Résoudre dans ]−π ; π ] les équations suivantes :
(1) cos x = 0
1
2
(3) cos 2 x = 1
(4) cos 3 x = 1
(2) cos x = −
Solutions :
(1) cos x = 0
Cette équation équivaut à cos x = cos
Donc la solution est x =
π
2
π
2
.
+ 2kπ ou x = −
π
2
+ 2kπ avec k ∈ ℤ .
Si on prend k = 0 pour se placer dans ]π ; −π ] , on obtient x =
 π π
Donc S = − ; 
 2 2
(2) cos x = −
1
2
Cette équation équivaut à cos x = cos
π
2
ou x = −
π
2
2π
.
3
2π
2π
+ 2kπ ou x = −
+ 2kπ avec k ∈ ℤ .
3
3
2π
2π
Si on prend k = 0 pour se placer dans ]π ; −π ] , on obtient x =
ou x = −
3
3
 2π 2π 
Donc S = −
; 
 3 3 
Donc la solution est x =
(3) cos 2 x = 1
Cette équation équivaut à cos x = cos 0 .
Donc la solution est 2 x = 2kπ avec k ∈ ℤ .
Donc x = kπ
Pour k = 0 , on a x = 0 et pour k = 1 , on a x = π
Donc S = {0; π }
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(4) cos 3 x = 1
Cette équation équivaut à cos 3 x = cos 0 .
Donc la solution est 3 x = 2kπ avec k ∈ ℤ .
2 kπ
Soit x =
3
2π
.
Pour k = −1 , on a x = −
3
Pour k = 0 , on a x = 0 .
2π
Pour k = 1 , on a x =
.
3
2π 
 2π
Donc S = −
;0; 
3 
 3
2. Equation du type sin A(x) = sin B(x)
Théorème
B ( x) = A( x) + 2kπ
B ( x) = π − A( x) + 2kπ
avec k ∈ ℤ
sin A( x) = sin B ( x) signifie que
ou
π − a + 2 kπ
a + 2kπ
j π −a
a
0
i
Exemples d’utilisation du théorème
Résoudre dans ]−π ; π ] les équations suivantes :
(1) sin x = 0
(2) sin 2 x = 1
1
(3) sin 3 x =
2
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Solutions :
(1) sin x = 0 équivaut à sin x = sin 0
Donc, d’après le théorème précédent, x = 0 + 2kπ ou x = π − 0 + 2kπ
On obtient x = 2kπ ou x = π + 2kπ = (2k + 1)π
Si k = 0 , on a x = 0 ou x = π
Si k = 1 , on a x = 2π ou x = 3π
Si k = 2 , on a x = 4π ou x = 5π
…
La solution de l’équation est donc x = kπ , et dans ]−π ; π ] on a S = {0; π }
(2) sin 2 x = 1 équivaut à sin 2 x = sin
On obtient 2 x =
Donc x =
π
4
π
2
π
2
π
+ 2kπ ou 2 x = π −
2
+ 2 kπ =
π
2
+ 2 kπ
+ kπ
 3π π 
Dans ]−π ; π ] on a S = − ; 
 4 4
(3) sin 3 x =
1
π
équivaut à sin 3 x = sin
2
6
On obtient 3 x =
π
+ 2kπ ou 3 x = π −
π
6
6
2
5π 2
Soit x = + kπ ou x =
+ kπ
18 3
18 3
π
5π
+ 2 kπ
6
5π
18
18
13π
17π
Si k = 1 , on a x =
ou x =
18
18
11π
7π
Si k = −1 , on a x = −
ou x = −
18
18
 11π 7π π 5π 13π 17π 
Dans ]−π ; π ] on a S = −
;−
; ; ;
;

18 18 18 18 18 
 18
Si k = 0 , on a x =
π
+ 2 kπ =
ou x =
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VI. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et
cosinus
1. Fonction sinus
On pose f ( x) = sin x
L’ensemble de définition de f est D f = ℝ
Propriétés particulières de la fonction :
On sait que sin(− x) = − sin x donc f (− x) = − f ( x)
La fonction sinus est impaire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l’origine.
On sait également que sin( x) = sin( x + 2π )
La fonction sinus est périodique, de période 2π .
Il est donc suffisant d’étudier la fonction sur [ 0; π ] pour avoir toute la courbe. Il faudra
ensuite effectuer une symétrie par rapport à l’origine et des translations de vecteurs 2kπ i .
Dérivée de la fonction :
Si f ( x) = sin x , alors f ′( x) = cos x
Tableau de variation :
x
π
0
f ′( x) = cos x
2
0
+
π
-
1
f ( x) = sin x
0
0
période =
2π
Représentation graphique de la fonction f ( x) = sin x
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Angles orientés - trigonométrie
2. Fonction cosinus
On pose f ( x) = cos x
L’ensemble de définition de f est D f = ℝ
Propriétés particulières de la fonction :
On sait que cos(− x) = cos x donc f (− x) = f ( x)
La fonction cosinus est paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
On sait également que cos( x) = cos( x + 2π )
La fonction cosinus est périodique, de période 2π .
Il est donc suffisant d’étudier la fonction sur [ 0; π ] pour avoir toute la courbe. Il faudra
ensuite effectuer une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées et des translations de vecteurs
2 kπ i .
Dérivée de la fonction :
Si f ( x) = cos x , alors f ′( x) = − sin x
Tableau de variation :
x
π
0
2
-
f ′( x) = − sin x
π
1
f ( x) = cos x
0
-1
période =
2π
Représentation graphique de la fonction f ( x) = cos x
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