8. Résoudre les équations de Maxwell

8. Résoudre les équations de Maxwell
Nous quittons le cas simple des ondes planes monochromatiques se propageant selon
un axe de coordonnée.
Ce chapitre introductif à la seconde partie a pour objectif de préparer la suite du
cours :
– Présenter les méthodes de résolution des équations de Maxwell dans le vide.
– Rappeler les diverses solutions élémentaires aux équations de Maxwell dans le vide.
– Introduire aux méthodes de résolution des équations en présence de sources.
8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie
8.1.1. Les équations de Maxwell dans le vide
Expression des équations
Les équations de base de l’électromagnétisme dans le vide sont les quatre équations
de Maxwell à laquelle s’ajoute la force de Lorentz qui s’exerce sur une charge électrique
en mouvement :
div ~ E=ρ
ε0
(8.1)
div ~ B= 0 (8.2)
−→
rot ~ E=−∂~
B
∂t (8.3)
−→
rot ~ B=µ0~ j+µ0ε0
∂~ E
∂t (8.4)
~
FL=q~ E+~v ×~ B(8.5)
La relation qui exprime la conservation locale de la charge électrique se déduite ce ces
équations :
A savoir
Retrouver cette équa-
tion de conservation à
partir des équations de
Maxwell
∂ρ
∂t + div ~
j= 0.(8.6)
En l’absence de charge électrique et de courant électrique, ces équations prennent la
forme suivante :
77

78 8. Résoudre les équations de Maxwell
div ~ E= 0 (8.7)
div ~ B= 0 (8.8)
−→
rot ~ E=−∂~
B
∂t (8.9)
−→
rot ~ B=µ0ε0
∂~ E
∂t (8.10)
Ondes électromagnétiques dans le vide
Les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday sont des équations aux dérivées
partielles du premier ordre qui couplent le champ électrique ~ Eet le champ magnétique
~
B. L’élimination de l’un des champ conduit à obtenir pour le second une équation du
second ordre :
A savoir
Démontrer ces équa-
tions de propagation à
partir des équations de
Maxwell
∆~ E−µ0ε0
∂2~ E
∂t2= 0,(8.11)
∆~ B−µ0ε0
∂2~ B
∂t2= 0.(8.12)
Ces équations sont des équations de D’ Alembert : le champ électromagnétique se
propage dans le vide à la célérité c.
c=1
√ε0µ0
(8.13)
Énergie électromagnétique
Le champ électromagnétique transporte de l’énergie. La densité locale d’énergie élec-
tromagnétique Uest :
U=ε0
~
E
2
2+
~
B
2
2µ0
.(8.14)
Le courant d’énergie est donné par le vecteur de Poynting ~ Π:
~
Π = ~
E×~ B
µ0
.(8.15)
La relation de conservation locale s’écrit :
∂U
∂t + div ~
Π = 0.(8.16)
A savoir
Retrouver cette équa-
tion à partir des équa-
tions de Maxwell
Exercice
Que devient cette équa-
tion en présence de
charges et de courants ?
J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie 79
La puissance Pqui traverse une surface Sest le flux du vecteur de Poynting à travers
cette surface :
P=x
Σ
~
Π·d~ S. (8.17)
8.1.2. Les potentiels
Existence des potentiels
Dans de nombreuses situations, les problèmes d’électromagnétisme sont grandement
simplifiés par l’utilisation de champs supplémentaires : les potentiels scalaire V(~r, t)
et vecteur ~ A(~r, t). L’existence de des deux champs auxiliaires est une conséquence des
équations de Maxwell flux et Maxwell-Faraday. Ces deux équations ne font pas intervenir
la matière (contrairement aux deux autres). Elles peuvent être comprises comme deux
contraintes imposées à la structure des champs électrique et magnétique.
L’équation de Maxwell-flux impose au champ magnétique d’avoir une divergence nulle :
div ~ B= 0.(8.18)
C’est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un champ vectoriel ~ Asolution
à l’équation : ~
B=−→ rot ~ A. (8.19)
Le champ ~ Aest appelé potentiel vecteur.
Cette expression du champ magnétique ~ Ben fonction du potentiel vecteur ~ Apeut
être reportée dans l’équation de Maxwell-Faraday :
−→
rot ~ E=−∂~
B
∂t .(8.20)
Ceci conduit à l’équation suivante,
−→
rot ~ E+∂~
A
∂t != 0.(8.21)
Cette nouvelle équation est elle même une condition nécessaire et suffisant à l’existence
d’un champ scalaire Vsolution de :
~
E+∂~
A
∂t =−−−→
grad V. (8.22)
Ce champ Vest appelé potentiel scalaire.
Les potentiels en électrostatique et magnétostatique
Lorsque les distributions de charge ρet de courant ~ jne dépendent pas du temps, le
champ électrique et le champ magnétique ne sont pas couplés.
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty

80 8. Résoudre les équations de Maxwell
Le potentiel scalaire prend un sens particulier. Puisque le champ magnétique est in-
dépendant du temps, le rotationnel du champ électrique est nul :
−→
rot ~ E= 0.(8.23)
Autrement dit le champ ~ Eest conservatif. Il est le gradient du potentiel scalaire V
~
E=−−−→ grad V. (8.24)
Vprend alors un sens énergétique. L’énergie potentielle électrostatique Epd’une charge
électrique placée dans le champ électrique est alors :
Ep=q V. (8.25)
Si l’on reporte l’équation qui définit le potentiel scalaire Vdans l’équation de Maxwell-
Gauss on obtient une relation directe entre ce potentiel et la distribution de charge :
Exercice : Retrouver
cette équation ∆V=−ρ
ε0
(8.26)
Il s’agit de l’équation de Poisson dont une solution s’écrit sous forme intégrale :
V(~r, t) = 1
4πε0y
V
ρ(~r1)
|~r1−~r|d3~r1.(8.27)
Le potentiel vecteur vérifie lui aussi une équation de Poisson :
Exercice : Retrouver
cette équation ∆~
A=−µ0~ j, (8.28)
dont une solution est :
~
A(~r, t) = µ0
4πy
V
~
j(~r1)
|~r1−~r|d3~r1.(8.29)
Les transformations de jauge
Les potentiels scalaire Vet vecteur ~ Asont définis comme étant solutions des deux
équations suivantes :
~
B=−→ rot ~ A, (8.30)
~
E=−−−→ grad V−∂~
A
∂t .(8.31)
Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Faraday assurent que ces équations ont une
solution. Celle-ci n’est pas unique. Toute une famille de couple ( ~ A,V) vérifient ces
équations et conduisent aux mêmes champs électrique et magnétique.
J-M Courty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.2

8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie 81
Le passage d’un couple ~ A0, V0solution de ces équations à un autre couple solu-
tion ~ A, V est appelé transformation de jauge. Il s’écrit de manière simple en faisant
intervenir un champ scalaire ϕappelé jauge.
~
A=~ A0+−−→ grad ϕ, (8.32)
V=V0−∂ϕ
∂t ,(8.33)
Exercice : Montrer
que ces deux couples
conduisent aux mêmes
champs électrique et
magnétique.
pour l’étude de certains problèmes, il peut être utile de choisir parmi tous les potentiels
possibles ceux qui sont le plus adapté, que ce soit pour des raisons techniques ou des
raisons plus physiques comme la covariance en relativité. Ce choix se fait en imposant une
condition supplémentaire au potentiels appelée condition de jauge. Cette condition porte
en général sur la divergence du potentiel vecteur. Deux jauges sont plus particulièrement
utilisées :
La jauge de Lorentz :
div ~ A+1
c2
∂V
∂t = 0 (8.34)
La jauge de Coulomb :
div ~ A= 0 (8.35)
Un peu plus loin avec les potentiels
En mécanique classique, lorsque l’on écrit les équations du mouvement des particules,
la dynamique des particules chargées est déterminée par les champs électrique ~ Eet
magnétique ~ E. Il faut toutefois noter que dans des formulations plus avancées de la mé-
canique telle que la formulation Lagrangienne, ce sont les potentiels qui interviennent
citons comme exemple le Lagrangien Ld’une particule chargée dans un champ électro-
magnétique :
L=1
2mv2−qV−~v ·~
A(8.36)
En mécanique quantique (dont la formulation est issue du formalisme lagrangien ou
hamiltonien de la mécanique classique), les potentiels ont un rôle central. La dynamique
d’une particule, décrite ici par l’équation de Schrödinger, fait intervenir les potentiels et
non les champs :
i¯h∂ψ
∂ψ =1 2m−i¯h~
∇ − q~ A2ψ+qV ψ (8.37)
Cette intervention directe des potentiel est observable expérimentalement lorsque l’on
fait interférer des particules. Il s’agi de l’effet Aharonov-Bohm.
8.1.3. Propagation des potentiels dans le vide
Déterminons les équation d’évolution des potentiels en reportant l’expression du champ
électrique et du champ magnétique en fonction de ces grandeurs dans les équations de
Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère.
Notes de cours version 0.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Courty