Cours C7-1 3e année ENSTA Notes de cours

Master Modélisation et Simulation (M2)
Cours C7-1 3e année ENSTA
Notes de cours sur les équations de Maxwell
Patrick Ciarlet
Laboratoire POEMS
ENSTA ParisTech
32, boulevard Victor
75739 Paris Cedex 15
version 4.0 (2 septembre 2013)
c
Patrick
Ciarlet 2013
Table des matières
1
Champs électromagnétiques et équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . .
1.1 Equations de Maxwell sous forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Reformulation équivalente des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Formulation des équations de Maxwell à l’aide de potentiels . . . . . . . . .
1.4.1 Jauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Milieux conducteurs et isolants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
11
14
16
16
17
2
Mesure des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Solvabilité des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 A l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Classification rapide des équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Plus mathématiquement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Unicité des champs électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Résolution des problèmes du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Passage du second ordre au premier ordre en temps . . . . . . . . . . .
2.2 Considérations énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Un peu de physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Encore un peu de calculs... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
19
21
22
24
26
27
28
29
31
3
Equations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Equations de Maxwell harmoniques en temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Equations harmoniques dans R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ondes planes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Propriétés des ondes planes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Décomposition en ondes planes électromagnétiques . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Ondes planes électromagnétiques dans un conducteur et
épaisseur de peau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
39
39
40
41
44
4
c
Patrick
Ciarlet 2013
3.3 Phénomènes de résonance vs. phénomènes harmoniques en temps en
domaine borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4
Modèles approchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Modèles statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Reformulations des problèmes statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Une hiérarchie de modèles approchés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Modèles quasistatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Modèle de Darwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
52
52
53
54
57
58
5
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Conditions d’interface et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Domaine non borné et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Conditions aux limites absorbantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Précision d’une condition aux limites absorbantes . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Couches dissipatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Condition aux limites de conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Condition aux limites de Silver-Müller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Condition aux limites d’impédance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
63
65
67
68
70
70
71
72
A Compléments mathematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1 Quelques opérateurs différentiels usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Equations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Définitions et résultats mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Résultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.3 Problèmes de type Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.4 Problèmes aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.5 Problèmes hyperboliques du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
77
79
79
81
84
85
86
Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1
Champs électromagnétiques et équations de Maxwell
Nous présentons les champs électromagnétiques, en tant que solution des équations de Maxwell. Les diverses composantes des champs électriques et magnétiques
sont reliées à des termes sources par l’intermédiaire d’un ensemble d’équations écrites
sous forme intégrale, ou sous la forme d’équations aux dérivées partielles du premier
ordre. Puis, nous étudions les relations constitutives, qui fournissent des relations supplémentaires entre champs électromagnétiques. Nous proposons également une autre
formulation, appelée formulation potentielle, avec un nombre d’inconnues réduit, qui
peuvent être interprétées comme des primitives des champs électromagnétiques, en un
certain sens. Pour finir, nous concluons par une brève étude des milieux conducteur
ou isolant.
1.1 Equations de Maxwell sous forme intégrale
La propagation des champs électromagnétiques dans les milieux continus peut
être formulée à l’aide de quatre fonctionnelles, dépendant des variables spatiales et
temporelle. Dans la suite, on note respectivement (x, t) ces variables spatiales et
temporelle, parcourant R3 × R, avec x = (x1 , x2 , x3 ). Les quatre fonctionnelles à
valeurs dans R3 , dites vectorielles, décrivant les champs sont :
1. le champ électrique E,
2. l’induction magnétique B,
3. le champ magnétique H,
4. le déplacement électrique D.
Ces fonctionnelles vectorielles sont reliées entre elles par les équations de Maxwell
(intégrales) écrites ci-dessous. Ces quatre équations sont respectivement nommées loi
d’Ampère, loi de Faraday, loi de Gauss, et absence de monopoles magnétiques libres.
En système d’unité SI, elles s’écrivent “classiquement” :
6
c
Patrick
Ciarlet 2013
Z
Z
Z
d
H · dl = − J · dS,
D · dS −
dt
S
Z ∂S
Z S
d
E · dl = 0,
B · dS +
dt
∂S ′
S′
Z
Z
ρ dV,
D · dS =
V
∂V
Z
B · dS = 0.
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
∂V ′
Ci-dessus, S, S ′ sont deux surfaces quelconques de R3 , et V , V ′ sont deux volumes
quelconques de R3 . On rappelle que si V (resp. S, C) est un volume (resp. une surface,
une courbe) de R3 , alors ∂V (resp. ∂S, ∂C) est sa frontière, munie de la topologie
induite. Par ailleurs, comme par construction toute frontière ∂V d’un volume V est
fermée, on a ∂(∂V ) = ∅, et on a la même propriété ∂(∂S) = ∅ pour toute surface
S. On peut écrire les éléments d’intégration dS et dl sous la forme dS = n dS ou
dl = τ dl, où n et τ sont respectivement un vecteur unitaire, normal à la surface,
et un vecteur unitaire tangent à la courbe. Qui plus est, l’orientation des vecteurs
est prescrite par l’orientation de l’élément de surface ou de l’élément de courbe. En
particulier, lorsque S est une surface fermée entourant un volume, n est dirigé vers
l’extérieur du volume. De même, lorsque C est une courbe fermée délimitant une
surface, le vecteur tangent τ est orienté dans la direction donnée par la “règle de la
main droite”.
Figure 1.1. Volume, surface et courbe.
Dans les équations, il y a deux termes source, notés ρ et J . La fonctionnelle ρ est
dite scalaire, c’est-à-dire à valeurs dans R ; elle est appelée densité de charge électrostatique. Elle est non-nulle en présence de charges électriques. La fonctionnelle J, à
valeurs vectorielles, est appelée densité de courant . Elle est non-nulle dès lors que des
charges se déplacent ou, en d’autres termes, en présence d’un courant électrique. Si
Equations de Maxwell
7
on dérive l’Eq. (1.3) par rapport au temps t et que l’on choisit S = ∂V dans l’Eq.
(1.1), on remarque que les sources vérifient une équation de conservation de la charge
(intégrale) :
Z
Z
d
J · dS = 0 .
(1.5)
ρ dV +
dt
∂V
V
Comme précédemment, V est un volume quelconque de R3 .
Enfin, on note que ces équations peuvent être utilisées pour réaliser l’étude de phénomènes microscopique ou macroscopique.
1.2 Reformulation équivalente des équations de Maxwell
A partir des équations de Maxwell exprimées sous forme intégrale, (1.1-1.4), il
est possible d’en déduire une forme différentielle, à l’aide des formules de Stokes et
d’Ostrogradsky
Z
Z
Z
Z
F · dS,
div F dV =
F · dl et
rot F · dS =
S
∂S
V
∂V
valables pour toute surface S et tout volume V de R3 . Par exemple, si on choisit une
surface S stationnaire et un volume V de R3 , on déduit de (1.1) et de (1.3) que
Z Z
∂D
(div D − ρ) dV = 0.
− rot H + J · dS = 0 et
∂t
S
V
Ceci étant vrai pour toute surface (stationnaire) et tout volume, les intégrandes entre
parenthèses sont donc nuls presque partout. On procède de même pour les autres
équations, pour aboutir 1 aux équations de Maxwell (différentielles) (système SI) :
∂D
− rot H = −J,
∂t
∂B
+ rot E = 0,
∂t
div D = ρ,
div B = 0.
(1.6)
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Quant à l’équation de conservation de la charge (différentielle), elle s’écrit
∂ρ
+ div J = 0 .
∂t
(1.10)
1. Il est intéressant de noter que l’on raisonne sur des volumes pour les Eqs. (1.3-1.4), et sur
des surfaces pour les Eqs. (1.1-1.2). Quant aux conclusions, ici les Eqs. (1.6-1.9), elles sont valables
(presque partout) dans R3 . Il est alors pratique/tentant de considérer une approche “tout volumique”
à partir de là...
8
c
Patrick
Ciarlet 2013
En l’état, ces cinq équations sous forme différentielle ne sont pas équivalentes à leurs
contreparties intégrales. De fait, deux caractérisations des champs sont absentes pour
l’instant, caractérisations que nous détaillons ci-après.
La première omission est basée sur l’observation suivante : pour pouvoir affirmer la
nullité des intégrandes, il faut (et il suffit) qu’ils soient réguliers. En particulier, le
comportement des champs peut être modifié, à la traversée d’une interface (surfacique) entre deux milieux où ils sont réguliers.
Soit donc Σ une telle interface, située entre deux milieux M + et M − , et nΣ un champ
de vecteurs normaux à cette surface, unitaires et d’orientation2 constante. En appliquant les lois d’absence de monopoles magnétiques libres et de Gauss sur de “petits
volumes” traversant l’interface, on peut montrer que, si on appelle σΣ la densité de
charge surfacique, on a les relations :
[D · nΣ ]Σ = σΣ , [B · nΣ ]Σ = 0 .
(1.11)
Ci-dessus, [f ]Σ est égal au saut au travers de l’interface d’une fonction f régulière
de part et d’autre de celle-ci. Notons que le saut est fonction de l’orientation 2 de la
surface, elle-même définie par le choix de la direction de nΣ .
L’idée était donc de partir de (1.3-1.4) sur des volumes ad hoc pour obtenir les relations de saut sur les composantes normales des champs D et B. Remarquons que
l’on peut raisonner de façon mathématiquement plus intuitive... Pour cela, on reprend la formule d’Ostrogradski, avec F = u v. Rappelons que l’on a div (u v) =
u div v + grad u · v pour u et v suffisamment régulières. On trouve alors
Z
Z
u v · n dS.
(1.12)
(u div v + grad u · v) dV =
V
∂V
Or, la trace de u sur ∂V – u|∂V – est contrôlée par u et grad u dans V (voir par
exemple [31]). Par voie de conséquence, la trace normale de v – v · n|∂V – est contrôlée par v et div v dans V (voir encore [31]). Ainsi, le saut de la composante normale
de D dépend de la régularité de la densité de charge, cf. (1.3), alors que celui de la
composante normale de B est toujours nul, cf. (1.4).
Partant des Eqs. (1.1-1.2), le raisonnement est similaire, en considérant cette fois
des surfaces perpendiculaires à l’interface, que l’on fait tourner pour décrire toutes
les directions tangentielles à Σ. Notons (τ Σ , τ ′Σ ) un couple quelconque de champs de
2. De façon générale, pour f régulière de part et d’autre de l’interface Σ, le saut de f au travers
de l’interface Σ est égal à
[f ]Σ := fhaut − fbas ,
avec par convention un vecteur unitaire normal nΣ dirigé du bas vers le haut.
Equations de Maxwell
9
vecteurs tangents à Σ, tel que (τ Σ , τ ′Σ , nΣ ) forme une base orthonormale directe. On
arrive à des résultats sur les composantes tangentielles des champs, décrits ci-dessous :
[E · τ Σ ]Σ = 0, [H · τ Σ ]Σ = j Σ · τ ′Σ ,
(1.13)
avec j Σ la densité de courant surfacique sur Σ (j Σ étant par définition un champ de
vecteurs tangentiels à Σ). Soit encore, en balayant toutes les directions tangentielles,
on arrive aux conditions équivalentes
[E × nΣ ]Σ = 0, [H × nΣ ]Σ = −j Σ .
(1.14)
L’idée était cette fois de partir de (1.1-1.2) sur des surfaces ad hoc pour obtenir les
relations de saut sur les composantes tangentielles des champs E et H. Reprenons 3
maintenant la formule de Stokes, toujours avec F = u v ; on a rot (u v) = u rot v +
∇u · v pour u et v suffisamment régulières. On trouve cette fois
Z
Z
Z
(v · τ )u dl.
(1.16)
(u v) · τ dl =
(u rot v + ∇u · v) dS =
S
∂S
∂S
Ainsi, la trace tangentielle de v – v · τ |∂S – est contrôlée par v et rot v dans S, et
le saut de la composante tangentielle de E est donc nul, cf. (1.2), alors que celui de
la composante tangentielle de H dépend de la régularité de la densité de courant, cf.
(1.1).
Pour finir sur ces conditions d’interface, si nous notons div Σ l’opérateur surfacique
de divergence, l’équation intégrale de conservation de la charge (1.5) fournit l’équation
∂σΣ
+ div Σ j Σ + [J · nΣ ]Σ = 0 .
(1.17)
∂t
La seconde caractérisation manquante des champs est de nature topologique. Notons
Ω le domaine d’intérêt. Deux cas typiques peuvent se présenter :
(α) Ω est l’extérieur d’un fil (résistif 4 ) “épais” ;
(β) Ω est l’extérieur de conducteurs4 .
Dans les deux cas, on dit que le domaine Ω est topologiquement non-trivial 5 . On a
alors les propriétés suivantes (voir par exemple [52], pp. 18-19 et pp. 23-24) :
3. Pour la contrepartie “volumique”, reprenons maintenant la formule d’Ostrogradski, avec F =
u × v ; on a div (u × v) = rot u · v − u · rot v pour u et v suffisamment régulières. On trouve
Z
Z
Z
(rot u · v − u · rot v) dV =
(u × v) · n dS =
(v × n) · u dS.
(1.15)
V
∂V
∂V
La trace tangentielle de v – v × n|∂V – est contrôlée par v et rot v dans V . Par ailleurs, on
remarque que, dans l’intégrale sur ∂V , seule la composante tangentielle de u intervient, puisque
v × n est toujours orthogonal à n. On rappelle que la composante tangentielle de u est égale à
uT = u − (u · n)n = n × (u × n).
4. Voir §1.5.
5. Au contraire, dans un domaine topologiquement trivial , tout champ à rotationnel nul s’écrit
comme un gradient, et tout champ à divergence nulle s’écrit comme un rotationnel.
10
c
Patrick
Ciarlet 2013
Figure 1.2. Systèmes non-triviaux topologiquement.
(α) rot u = 0 dans Ω 6=⇒ ∃f continu dans Ω tel que u = grad f dans Ω ;
(β) div u = 0 dans Ω 6=⇒ ∃v continu dans Ω tel que u = rot v dans Ω.
Bref, dans le cas (α), si les champs sont à rotationnel nul, il n’est pas garanti qu’ils
dérivent d’un potentiel scalaire. Dans le cas (β), si les champs sont à divergence nulle,
il n’est pas garanti qu’ils dérivent d’un potentiel vecteur. Pour recouvrer l’existence
de potentiels, il convient d’ajouter un nombre fini de relations, dérivées de la théorie
de l’homologie.
Nous postulons par la suite que ces relations, ajoutées aux équations sous forme
différentielle (1.6-1.9) et aux relations d’interface (1.11) et (1.14) constituent une
reformulation qui est équivalente aux équations de Maxwell (intégrales) (1.1-1.4).
Pour achever ce paragraphe, disons quelques mots sur l’interprétation mathématique formelle des équations de Maxwell, au sens des distributions [23]. Un bon
exemple est obtenu à partir des choix possibles de densité de charge ρ évoqués plus
haut, choix qui ont des conséquences sur la façon dont on peut reformuler l’action de
celle-ci, en tant que distribution. Soit donc ρ = ρvol + ρsurf + ρlin + ρponc considéré
comme appartenant à D ′ (R3 ), et soit ϕ ∈ D(R3 ). Alors, si on note ϕ|Σ (resp. ϕ|Γ ,
resp. ϕ(Q)) la restriction de ϕ à la surface Σ (resp. à la courbe Γ , resp. au point Q,
c’est-à-dire la valeur au point Q), on obtient l’action suivante de ρ sur ϕ :
Z
Z
σΓ ϕ|Γ dl + σQ ϕ(Q).
σΣ ϕ|Σ dS +
hρvol , ϕi +
Σ
Γ
A partir de là, la question se pose quant à l’existence de ce type de configurations, à
savoir les charges volumique, surfacique, linéique ou ponctuelle, du point de vue de
la physique... On trouvera un exemple élémentaire concernant les charges ponctuelles
au paragraphe §2.1. Au contraire, il existe des configurations “classiques” en physique
– telle le dipôle électrique – pour lesquelles il faudrait écrire une contrepartie mathématique au sens des distributions, le passage de la physique aux mathématiques
exigeant le cas échéant un peu de travail...
Enfin, pour un résultat identique à (1.11) et (1.14), mais exprimé cette fois au sens
Equations de Maxwell
11
des distributions (et dans des espaces de Sobolev ad hoc), nous invitons le lecteur
intéressé à consulter [28].
1.3 Relations constitutives
Les équations de Maxwell sont insuffisantes pour caractériser entièrement les
champs électromagnétiques. Ce système doit être complété par l’ajout de relations,
décrivant les propriétés du milieu dans lequel les champs évoluent. Celles-ci sont appelées relations constitutives, reliant par exemple D et B à E et H, c’est-à-dire
D = D(E, H)
et
B = B(E, H) .
(1.18)
(Nous pourrions aussi choisir d’utiliser une relation telle que D = D(E, B), etc.)...
Ces relations constitutives peuvent être très complexes. De fait, nous allons faire un
certain nombre d’hypothèses sur le milieu, voir ci-dessous, ce qui va nous permettre
de déduire des expressions explicites de ces relations. En particulier, nous aboutirons
à quatre catégories de milieux qui sont, de la plus générale à la plus restrictive :
1. le milieu chiral , un milieu linéaire et bi-anisotrope ;
2. le milieu parfait , un milieu chiral, qui plus est non-dispersif et anisotrope ;
3. le milieu hétérogène, un milieu parfait, qui plus est isotrope ;
4. le milieu homogène, un milieu parfait, qui plus est isotrope et homogène.
Dans ce qui suit, E(t) (ou B(t), etc.) est la valeur du champ électrique dans R3 à
l’instant t : x 7→ E(t, x). Nous énumérons maintenant les hypothèses fondamentales
que nous ferons sur tout milieu, qui correspondent à des observations “phénoménologiques” 6, 7 .
– Le milieu est linéaire. Cela sous-entend les deux propriétés suivantes : tout
d’abord, la réponse – (D, B) – dépend linéairement de l’excitation – (E, H) – ;
de plus, si l’excitation est petite, alors la réponse l’est aussi.
– Le milieu satisfait à un principe de causalité : la valeur de (D(t), B(t)) ne
dépend que des valeurs (E(s), H(s)) pour s ≤ t.
6. La première hypothèse peut être vue comme une approximation linéaire de la relation (1.18) :
en d’autres termes, E = H = 0 entraîne D = B = 0 et, pour des champs électromagnétiques
dont l’amplitude n’est pas trop grande, on considère que l’on peut remplacer cette relation par un
développement au premier ordre. En effet, si on écrit le développement à l’ordre 1, on a :
D(E, H) ≈ D(0, 0) + dD(0, 0).(E, H) = dD(0, 0).(E, H),
avec dD(0, 0) la différentielle de D en (0, 0), qui est par définition linéaire. Par ailleurs, la condition
de petitesse correspond à une condition de stabilité (de la réponse par rapport à l’excitation, ce qui
demande de les mesurer l’une et l’autre, cf. le chapitre 2). Cette condition de stabilité signifie que
la différentielle est bornée en un certain sens.
7. Une conséquence immédiate de la deuxième hypothèse est que, si (E(s), H(s)) = 0 pour tout
s ≤ t0 , alors (D(t0 ), B(t0 )) = 0.
12
c
Patrick
Ciarlet 2013
– Le milieu satisfait à un principe d’invariance par rapport au temps. Soit τ > 0
quelconque. Si la réponse à t 7→ (E(t), H(t)) est t 7→ (D(t), B(t)), alors la
réponse à t 7→ (E(t − τ ), H(t − τ )) est t 7→ (D(t − τ ), B(t − τ )).
Après la prise en compte des hypothèses fondamentales, on arrive finalement aux
relations constitutives “générales” :
(
D = εE + ξH + εd ⋆ E + ξ ⋆ H
d
(1.19)
B = ζE + µH + ζ ⋆ E + µ ⋆ H.
d
d
Les quantités ε, ξ, ζ et µ sont des fonctions (ou plus généralement des distributions)
de la variable d’espace x, à valeurs des tenseurs réels 3×3. Parmi celles-ci, ε est appelée le tenseur diélectrique, et µ est appelée le tenseur de la perméabilité magnétique.
Les quantités εd , ξ , ζ et µ sont des fonctions des variables d’espace-temps (t, x),
d
d
d
à valeurs des tenseurs réels 3 × 3. On rappelle que, d’après le principe de causalité,
εd (t) = ξ (t) = ζ (t) = µ (t) = 0, pour tout t < 0.
d
d
d
Il est fréquent que la réponse dépende de façon très locale (en espace) du comportement de l’input. Dans ce cas, on suppose que le produit de convolution est local
en espace ou, en d’autres termes, que l’intégrale en y est prise autour d’un “petit”
volume autour de l’origine. En pratique, nous réduisons encore cette dépendance, et
considérons que l’on peut (formellement) écrire εd (s, y) = εd (s) ⊗ δ0 , etc. On aboutit
alors à l’expression simplifiée du produit de convolution ⋆
Z ∞
εd ⋆ E (t, x) =
εd (s)E(t − s, x) ds , etc.
(1.20)
0
Pour résumer ce qui précède, les quantités εd , ξ , ζ et µ sont des fonctions de la
d
d
d
variable temporelle t, à valeurs des tenseurs réels 3 × 3, qui sont nulles pour des
valeurs strictement négatives de t. Par conséquent, le produit de convolution ⋆ est
réalisé uniquement sur les temps positifs (cf. (1.20)).
Poursuivons nos commentaires sur les relations (1.19). On remarque que les seconds membres peuvent être découpés en deux parties :
(
εE + ξH
(1.21)
ζE + µH
est appelée la réponse optique. Elle est instantanée, puisque les valeurs de l’input sont
considérées uniquement au temps actuel. La deuxième partie,
(
εd ⋆ E + ξ ⋆ H
d
(1.22)
ζ ⋆E+µ ⋆H
d
d
Equations de Maxwell
13
est appelée la réponse dispersive, d’où la notation avec un indice d . Elle est dispersive
en temps, et modélise la mémoire du milieu...
Les relations (1.19), où le produit de convolution est comme dans (1.20), sont
linéaires et bi-anisotropes. Elles modélisent un milieu linéaire et bi-anisotrope, également appelé milieu chiral . A partir de là, plusieurs hypothèses simplificatrices peuvent
être faites.
– Le milieu est non-dispersif lorsque la partie dispersive (1.22) est nulle. Ou, en
termes équivalents, la réponse du milieu est uniquement optique.
– Le milieu est anisotrope lorsque ξ = ζ = 0. Un milieu anisotrope est dit isotrope
lorsque de plus les tenseurs ε et µ sont proportionnels à la matrice identité :
ε = εI3 et µ = µI3 . Les quantités ε et µ sont dans ce cas des fonctions scalaires de
x, à valeurs réelles : ε et µ sont respectivement appelées la permittivité électrique
et la permeabilité magnetique du milieu.
– Enfin, le milieu est qualifié d’homogène lorsque tous les tenseurs sont indépendants des variables d’espace-temps (t, x).
Dans ce cours, excepté le cas “général” du milieu chiral, nous nous placerons la plupart
du temps dans un milieu parfait, c’est-à-dire non-dispersif et anisotrope. Dans un
milieu parfait, les relations constitutives s’écrivent
D(t, x) = ε(x) E(t, x) et B(t, x) = µ(x) H(t, x), ∀(t, x) ∈ R × R3 .
(1.23)
Dans ce cas, les équations de Maxwell sous forme différentielle (1.6-1.9) peuvent être
formulées avec uniquement les champs E et H. Elles ont pour forme
∂E
− rot H = −J,
∂t
∂H
µ
+ rot E = 0,
∂t
div (εE) = ρ,
ε
div (µH) = 0.
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
Pour écrire les Eqs. (1.6-1.9) avec les champs E et B, on remarque que le champ de
tenseurs µ est nécessairement inversible sur R3 , si l’on se souvient que les relations
constitutives auraient pu être formulées comme H = H(E, B)... Ainsi, les Eqs.
(1.24-1.27) s’expriment de façon équivalente sous la forme
ε
∂E
− rot (µ−1 B) = −J,
∂t
∂B
+ rot E = 0,
∂t
div (εE) = ρ,
div B = 0.
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
14
c
Patrick
Ciarlet 2013
Dans un milieu hétérogène, c’est-à-dire un milieu parfait et isotrope, on remplace les
champs de tenseurs ε et µ par les champs scalaires ε et µ dans les Eqs. (1.24-1.27)
ou dans les Eqs. (1.28-1.31).
Pour finir, on parle de milieu homogène (pour faire court !), lorsque le milieu parfait
est isotrope et homogène. En outre, on peut exprimer les relations constitutives sous
la forme
D(t, x) = ε E(t, x) et B(t, x) = µ H(t, x), ∀(t, x) ∈ R × R3 .
(1.32)
Ci-dessus, ε et µ sont des nombres constants. Remarquons que le vide est un cas
particulier d’un tel milieu, que nous utiliserons fréquemment dans le cours. Dans le
vide, la permittivité électrique et la perméabilité magnétique sont notées respectivement ε0 (ε0 = (36π.109 )−1 F m−1 ) et µ0 (µ0 = 4π.10−7 H m−1 ), et on a la relation
c2 ε0 µ0 = 1, avec c = 3.108 m s−1 la vitesse de la lumière. Les équations de Maxwell
(différentielles) dans le vide se lisent
1
∂E
− c2 rot B = − J ,
∂t
ε0
∂B
+ rot E = 0,
∂t
1
div E = ρ,
ε0
div B = 0.
(1.33)
(1.34)
(1.35)
(1.36)
1.4 Formulation des équations de Maxwell à l’aide de potentiels
Nous introduisons maintenant une autre formulation des équations de Maxwell.
Par souci de simplification, nous supposons que nous sommes dans le vide, dans
l’espace “complet” R3 : les équations sont écrites sous forme différentielle comme aux
Eqs. (1.33-1.36). L’espace complet étant topologiquement trivial5 , d’après la propriété
de divergence nulle de l’induction magnétique B, il existe un potentiel vecteur A tel
que 8
B = rot A .
Si on injecte cette relation dans la loi de Faraday (1.34), on trouve que
rot (
∂A
+ E) = 0 .
∂t
8. Le potentiel vecteur A est déterminé à un gradient près, c’est-à-dire à un champ de vecteurs à
rotationnel nul dans R3 : il y a là une indétermination qui doit être levée, cf. infra. Une fois A choisi,
le potentiel scalaire φ est indéterminé à une constante près. Pour finir, pour (E, B) donnés vérifiant
les lois de Faraday et d’absence de monopoles magnétiques libres, notons que si (A, φ) conviennent,
il en est de même de (A + grad ψ, φ − ∂ψ/∂t).
Equations de Maxwell
15
Il existe alors un potentiel scalaire φ tel que8
∂A
+ E = −grad φ .
∂t
Ceci nous permet d’introduire une formulation selon les variables (A, φ) – respectivement le potentiel vecteur et le potentiel scalaire – ; en effet, on a
E = −grad φ −
∂A
,
∂t
(1.37)
(1.38)
B = rot A .
Cette nouvelle formulation ne requiert que quatre inconnues, à savoir A et φ, au
lieu de six précédemment pour la formulation en E et B. Qui plus est, tout couple
(E, B) defini par les Eqs. (1.37-1.38) vérifie automatiquement la loi de Faraday, ainsi
que l’absence de monopoles magnétiques libres. En d’autres termes, l’application
(A, φ) 7→ (E, B) est surjective dans l’ensemble des champs électromagnétiques qui
vérifient (1.34) et (1.36), mais elle n’est pas injective8 !
On peut reformuler le paragraphe précédent, en notant que les potentiels A et φ
sont “indépendants” l’un de l’autre au sens où, si l’on change le potentiel vecteur A
en A⋆ (resp. le potentiel scalaire φ en φ⋆ ), alors le couple défini par
E ⋆ = −grad φ⋆ −
∂A⋆
,
∂t
B ⋆ = rot A⋆ ,
vérifie également (1.34) et (1.36).
Maintenant, si on prend en compte les lois d’Ampère et de Gauss, des “contraintes”
apparaissent, liant les deux potentiels aux données J et ρ : voir les Eqs. (1.39-1.40)
ci-après.
Les Eqs. (1.33) et (1.35), avec le champ électromagnétique écrit comme en (1.37-1.38),
donnent, à l’aide de l’identité (A.1),
1
∂φ
∂2A
)= J ,
− c2 ∆A + grad (c2 div A +
∂t2
∂t
ε0
∂
1
− (div A) − ∆φ = ρ .
∂t
ε0
(1.39)
(1.40)
Ces équations suggèrent que l’on adjoigne l’une ou l’autre des deux conditions qui
suivent, chacune permettant de lever (pour partie) l’indétermination.
16
c
Patrick
Ciarlet 2013
1.4.1 Jauge de Lorentz
Choisissons le couple (A, φ) de sorte que le terme en gradient de l’Eq. (1.39)
disparaisse, à savoir :
∂φ
c2 div A +
=0.
(1.41)
∂t
C’est la condition de jauge dite de Lorentz.
Dans ce cas, les Eqs. (1.39-1.40) s’écrivent sous la forme
1
∂2A
− c2 ∆A = J ,
2
∂t
ε0
2
∂2φ
c
− c2 ∆φ = ρ .
∂t2
ε0
(1.42)
(1.43)
Cette condition de jauge est souvent retenue pour des considérations théoriques,
puisque les potentiels sont gouvernés par deux équations des ondes (cf. (1.42-1.43)) :
une vectorielle pour A, et l’autre scalaire pour φ. De façon équivalente, on peut écrire
que leur D’Alembertien = ∂tt2 −c2 ∆ est nul : ces équations sont donc indépendantes
du système de coordonnées. Cette dernière propriété est particulièrement intéressante
dans un certain nombre de situations, dont par exemple celles qui trouvent leur origine
en théorie de la relativité.
1.4.2 Jauge de Coulomb
Ici, on choisit d’annuler le premier terme de l’Eq. (1.40). Le potentiel vecteur A
est tel que
div A = 0 .
C’est la condition de jauge dite de Coulomb.
Les Eqs. (1.39-1.40) s’écrivent cette fois sous la forme
1
∂φ
∂2A
− c2 ∆A = J − grad ( ) ,
2
∂t
ε0
∂t
1
∆φ = − ρ .
ε0
(1.44)
(1.45)
Le choix d’une telle condition de jauge implique que le potentiel φ est lié à ρ par une
équation statique, dite équation de Laplace-Poisson (cependant, ρ et donc φ peuvent
dépendre du temps). Cette condition est souvent utilisée en l’absence de charges
(ρ = 0). Dans ce contexte, on peut choisir un potentiel scalaire nul : φ = 0. Dans ce
cas, le champ électromagnétique (E, B) vérifie
E=−
∂A
,
∂t
B = rot A,
avec
div A = 0.
Equations de Maxwell
17
Remarque 1.4.1 Les calculs – proposés ici formellement – peuvent être rigoureusement justifiés, lorsqu’on se trouve dans l’espace “complet” R3 . Par contre, des dificultés supplémentaires apparaissent dans le cas d’équations posées sur une partie (stricte)
de R3 , et en particulier en domaine borné. Les premières sont dues à la nature topologique non-triviale du domaine (voir plus haut, et [52]). Les secondes tournent autour
de la détermination de conditions aux limites adéquates pour le couple de potentiels
(A, φ), par rapport à celles de champ électromagnétique (E, B) (cf. §4.1.1-4.1.2 et
[2] pour plus de détails).
1.5 Milieux conducteurs et isolants
Si le milieu est conducteur , il faut aussi décrire ses propriétés en termes de conductivité. Ceci revient à exprimer la densité de courant J comme une réponse au champ
électrique E
J = J(E) .
Sous l’hypothèse de linéarité du milieu, J et E sont liés par la loi d’Ohm
J = σE + σ d ⋆ E ,
avec σ une fonction de la variable d’espace x, à valeurs des tenseurs réels 3 × 3 : elle
est appelée tenseur de conductivité. Quant à σ d , c’est une fonction de la variable temporelle t, à valeurs des tenseurs réels 3 × 3. Le produit de convolution est comparable
à (1.20) : il est réalisé en temps, en respectant le principe de causalité. Comme pour
l’étude des relations constitutives, nous restreignons notre étude au cas d’un milieu
hétérogène. Dans ce cas, la loi d’Ohm devient
J (t, x) = σ(x) E(t, x) .
(1.46)
Ci-dessus, σ est appelé la conductivité. Si le milieu est homogène, la conductivité est
indépendente de x. On peut préférer introduire la résistivité σ −1 du milieu, avec la
notion de milieu résistif .
Dans la plupart des situations, on peut découper la densité de courant en deux parties,
à savoir
J = J ext + J σ ,
avec J ext une densité de courant imposée par l’extérieur, et J σ la densité de courant
générée par la conductivité du milieu, cf. la loi d’Ohm (1.46). Par voie de conséquence,
il faut modifier la loi d’Ampère (1.6), qui devient dans un milieu conducteur
ε
∂E
+ σE − rot H = −J ext .
∂t
(1.47)
18
c
Patrick
Ciarlet 2013
On dit que le milieu est isolant – σ = 0 – lorsqu’il n’y a pas de courant généré électriquement dans celui-ci. Un isolant est également appelé un diélectrique. Dans ce cas,
en l’absence d’un courant externe imposé, on a J = 0.
Au contraire, nous aurons souvent à considérer un milieu parfaitement conducteur,
c’est-à-dire un conducteur parfait , dans lequel la conductivité est supposée être “infinie” : tous les champs électromagnétiques (et en particulier E et B) sont uniformément égaux à zéro dans un tel milieu 9 . Discutons en quelques lignes la validité
de cette affirmation, qui est liée à la notion d’épaisseur de peau δ dans un milieu
conducteur. Cette épaisseur est telle que les champs électromagnétiques disparaissent
dans le conducteur, sous réserve que sa profondeur soit localement beaucoup plus
grande que δ : les champs “décroissent” lorsqu’on pénètre dans le milieu pour une
distance comprise entre 0 et δ, et ils disparaissent complètement dès que la distance
est plus grande que δ (voir sur la figure 1.3). En outre, cette épaisseur δ dépend de
Figure 1.3. Epaisseur de peau.
la fréquence ν des inputs, ainsi que de la conductivité du milieu : on a la relation de
proportionnalité δ ∼ (σ ν)−1/2 (voir le §3.2.4 pour une justification). Typiquement,
dans du cuivre, pour des signaux radio dans la bande de fréquence 1-100Mhz, δ varie
entre 7 et 70 10−6 m. Dans le cas d’un conducteur parfait, nous supposons simplement
que l’épaisseur de peau est égale à zéro, quels que soient les inputs.
Notons pour finir que ce comportement est compatible avec les phénomènes d’accumulation de charges et/ou de courants à la surface du conducteur, appelés effet de
peau. Ainsi, on peut avoir des densité de charge et/ou de courant non-nulles à la
surface d’un conducteur parfait : c’est l’effet de peau infini .
9. Cette situation idélisée est souvent utilisée pour modéliser les métaux.
2
Mesure des champs
A partir de l’ensemble d’équations constitué par les équations de Maxwell et les
relations constitutives, nous voudrions énoncer qu’à partir d’un état initial, les champs
électromagnétiques (existent et) évoluent en temps de façon unique 1 . En des termes
plus mathématiques, nous devons vérifier que ce problème, composé d’équations et de
relations est bien posé. Ceci dépend de façon cruciale dont on mesure les champs, etc.
Nous pourrons alors rappeler les notions basiques liées à l’énergie, dans le contexte des
équations de Maxwell, en adoptant cette fois une approche plus physique. Néanmoins,
c’est toujours la mesure des champs électromagnétiques qui joue un rôle central.
2.1 Solvabilité des équations de Maxwell
En termes plus appropriés, on sait qu’il existe de nombreuses “preuves expérimentales” de l’existence de champs électromagnétiques ! Les conséquences de ces expériences, et des observations qui en ont découlé, ont conduit à la définition 2 des
équations qui gouvernent les phénomènes électromagnétiques. En ce sens, des solutions aux équations de Maxwell additionnées des relations constitutives existent
bien... Le défi actuel est plutôt de nature mathématique et/ou numérique.
2.1.1 A l’origine
Quelles sont les origines de la théorie ? Donnons un très bref aperçu de l’un des
résultats les plus élémentaires (au sens des mathématiques actuelles), qui porte sur
des particules chargées au repos. D’autres résultats fameux ont également été obtenus
pour des courants dans des circuits (voir par exemple Jackson [56], Chapitre 5).
1. L’hypothèse de linéarité du milieu joue un rôle primordial dans l’obtention de ce type de
résultats.
2. Par Maxwell et bien d’autres, au cours des XIXe et XXe siècles.
20
c
Patrick
Ciarlet 2013
Les résultats expérimentaux fondamentaux que nous rapportons ici sont dus à Charles
Augustin de Coulomb. Il les a obtenu en 1785, lorsqu’il a étudié les forces répulsive
ou attractive entre des corps chargés : des petites boules de sureau. Dans l’air – un
milieu homogène (ε = εa ) – nous considérons deux particules, part0 et part, au repos.
Elles sont positionnées respectivement en y 0 et y, de charges électriques respectives
q0 et q. En résumé, les résultats de Coulomb (maintenant connus sous le nom de loi
de Coulomb) stipulent que ces deux particules interagissent l’une avec l’autre, de la
manière suivante. La force F qui agit sur la particule part – créée par la particule
part0 – est telle que :
– Elle est répulsive si q0 q > 0, et attractive si q0 q < 0 ;
– Sa direction est parallèle à la droite joignant les deux particules ;
– Son module est proportionnel à |y − y 0 |−2 ;
– Son module est également proportionnel à q0 , et à q .
Si l’on fixe le coefficient de proportionalité à la valeur (moderne) de 1/4πεa , on trouve
que
q q0 (y − y 0 )
.
F (y) =
4 π εa |y − y 0 |3
Si maintenant on définit le champ électrique comme étant la force par unité de charge,
on en conclut que
q0 (y − y 0 )
E(y) =
.
4 π εa |y − y 0 |3
Après quelques calculs élémentaires en coordonnées sphériques 3 , on arrive à la définition équivalente
E(y) = −grad y φ0 (y), avec φ0 (y) =
q0
1
.
4 π εa |y − y 0 |
(2.1)
En particulier, on a rot E = 0, ce qui correspond à la loi de Faraday (1.34) pour
un système au repos. Qui plus est, après quelques calculs élémentaires au sens des
distributions, on trouve que div E = ρ0 /εa , où ρ0 est égale à 4 ρ0 (y) = q0 δy 0 (y). En
effet, on remarque que div y E = −∆y φ0 . Or, exprimée en coordonnées sphériques,
la solution élémentaire, également appelée fonction de Green, G de ∆G = δ dans R3
est égale à (cf. [23])
1
G(x) = −
, avec r = |x|.
4 πr
Ainsi −∆y φ0 (y) = q0 /εa ∆y G(y − y 0 ) = 1/εa δy 0 (y) comme annoncé.
En d’autres termes, ρ0 est la densité de charge créée par la particule part0 agissant
3. On a y 6= y 0 dans la définition F (y), puisque F est la force qui agit sur la particule part,
créée par la particule part0 . Ainsi, le rayon r = |y − y 0 | est toujours strictement
positif.
R
4. Par définition, δy0 est la masse de Dirac en y 0 , de sorte que ρ0 v = q0 v(y 0 ) pour toute
fonction v régulière et à support compact.
Equations de Maxwell
21
sur une autre particule, et la loi de Gauss (1.35) est donc également vérifiée. Les résultats énoncés ici ne sont pas contradictoires avec ceux obtenus pour les conditions à
l’interface entre deux milieux, et pour lesquels on avait exclu les charges linéiques et
ponctuelles... En effet, le champ électrique défini par (2.1) n’est pas du tout régulier
au voisinage de y 0 !
Coulomb a également vérifié expérimentalement que la force totale produite par N
particules chargées sur une (N + 1)ème particule (toutes les particules étant au repos)
est égale à la somme des forces individuelles exercées par chacune des N particules
sur la (N + 1)ème . Ainsi, on peut tirer les mêmes conclusions que précédemment pour
tout système discret (et fini) de particules chargées au repos ! La formule ci-dessous
exprime l’action des N particules sur la (N + 1)ème :
E(y) =
X
(y − y i )
1
, soit
qi
4 π εa
|y − y i |3
1≤i≤N
E(y) = −grad y φ(y), avec φ(y) =
X
qi
1
.
4 π εa
|y − y i |
(2.2)
1≤i≤N
Cette formule peut être encore généralisée au cas d’une distribution volumique (de
support borné) de particules chargées, de densité ρ. On aboutit alors à
Z
(x − x′ )
1
dx′ .
ρ(x′ )
E(x) =
4 π εa
|x − x′ |3
Cette expression correspond à un produit de convolution en espace :
E=
1
1 x
ρ ⋆ G, avec G(x) =
.
εa
4 π r3
Une propriété classique du produit de convolution est que grad (ρ ⋆ G) = ρ ⋆ grad G.
Mais on vérifie facilement que G = grad G, et on conclut que
E = −grad φ, avec φ = −
1
ρ ⋆ G,
εa
(2.3)
φ étant le potentiel créé par la distribution volumique, de densité ρ.
2.1.2 Classification rapide des équations de Maxwell
Etudions maintenant la nature mathématique des équations de Maxwell dans
l’espace libre, c’est-à-dire dans l’espace “complet” R3 considéré comme un milieu homogène. L’idée est assez simple. En effet, on construit ∂t (Eq. (1.33)) + c2 rot (Eq.
(1.34)) − c2 grad (Eq. (1.35)) pour trouver
22
c
Patrick
Ciarlet 2013
∂2E
1
− c2 ∆E = −
∂t2
ε0
∂J
2
+ c grad ρ .
∂t
Dans le même ordre d’idée, ∂t (Eq. (1.34)) − rot (Eq. (1.33)) − c2 grad (Eq. (1.36))
donne cette fois
1
∂2B
− c2 ∆B = rot J.
2
∂t
ε0
Les Eqs. ci-dessus sont des équations des ondes vectorielles. D’après la classification
des EDP (cf. la section A.2), les EDP vectorielles qui décrivent les comportements
respectifs de E et B sont hyperboliques. En particulier, le champ électromagnétique se
propage à vitesse finie, égale à c (voir [10], ou §3.2.1 ci-après pour un calcul explicite).
Alternativement, on peut choisir de ne pas ajouter les contributions provenant des
divergences du champ, pour aboutir à un deuxième ensemble d’équations des ondes
vectorielles
1 ∂J
∂2E
+ c2 rot rot E = −
,
2
∂t
ε0 ∂t
∂2B
1
+ c2 rot rot B = rot J .
2
∂t
ε0
(2.4)
(2.5)
Dans la suite, nous nous concentrons sur ce deuxième ensemble d’EDP.
Par ailleurs, on doit a priori conserver les lois de Gauss et d’absence de monopoles
magnétiques libres (1.35-1.36), qui apparaissent ici comme des contraintes sur les
solutions des Eqs. des ondes.
Classiquement, on doit aussi ajouter des conditions initiales du premier ordre. En
effet, pour obtenir les Eqs. du second ordre précédentes, on a dérivé en temps les lois
d’Ampère et de Faraday. Or, de manière abstraite, on peut réécrire ces deux lois sous
la forme Expr(t, x) = 0. Ainsi, si on ne conserve que des Eqs. du second ordre en
temps, les valeurs indépendantes par rapport au temps de Expr(t, x) pour ces deux
lois sont “négligées”. C’est pourquoi on ajoute les relations :

∂E
1

2

− c rot B + J |t=0 = 0

ε0
∂t
.
(2.6)
∂B


+ rot E |t=0 = 0

∂t
2.1.3 Plus mathématiquement
Maintenant, nous examinons l’existence et l’unicité des champs électromagnétiques, d’un point de vue mathématique. Bien sûr, on peut construire des solutions
aux équations de Maxwell pour des données (seconds membres) bien choisies (en
utilisant par exemple la transformée de Fourier, cf. Chapitre 6 de [56], ou des fonctions de Green comme précédemment). Ceci étant dit, il est possible de résoudre plus
Equations de Maxwell
23
systématiquement l’ensemble constitué des équations de Maxwell et des relations
constitutives. Dans un domaine Ω ⊂ Rd , on adoptera les notations 5
1/2
Z
Z
2
v w dx, ||v|| :=
(v|w) :=
.
|v| dx
Ω
Ω
L2 (Ω)
On appellera
l’espace vectoriel des fonctions (Lebesgue-)mesurables v sur Ω, et
telles que ||v|| < ∞. Muni du produit scalaire (·|·), on peut montrer que L2 (Ω) est un
espace de Hilbert [23]. De la même façon, on peut définir l’espace L2 (Ω)d de fonctions
vectorielles, dont chaque composante appartient à L2 (Ω). On notera également
1/2
Z
Z
2
v w dx, ||v|| :=
(v|w) :=
.
|v| dx
Ω
Ω
Dans la suite, on se concentre sur l’existence et l’unicité mathématique des champs
dans l’espace libre.
Remarque 2.1.1 Dans un domaine borné, on peut retrouver les mêmes résultats,
sous réserve de prescrire des conditions aux limites ad hoc pour les champs électromagnétiques (voir §5.3). Plus généralement, on peut également démontrer des résultats
similaires dans un domaine borné ou non, constitué d’un milieu parfait.
Plus précisément, on ajoute des conditions initiales aux Eqs. (1.33-1.36), qui s’écrivent
E(0) = E 0 ,
B(0) = B 0 .
(2.7)
(Dans ce cas, nous supposons que le problème en temps débute à t = 0.)
Le couple (E 0 , B 0 ) constitue alors une partie des données, le reste étant composé de
t 7→ (J (t), ρ(t)), pour t ≥ 0. L’ensemble des équations (1.33-1.36), avec les conditions
initiales (2.7), est appelé un problème de Cauchy. A l’aide de la théorie des semigroupes, on peut prouver qu’il existe une, et une seule, solution – t 7→ (E(t), B(t)),
pour t ≥ 0 – à ce problème de Cauchy 6 . De plus, cette solution dépend continûment
des données : c’est ce qu’on appelle la condition de stabilité. De façon plus lapidaire,
lorsqu’on a un résultat d’existence, d’unicité et de stabilité par rapport aux données,
on dit que le problème est bien posé. Dans notre cas donc, le problème de Cauchy
dans l’espace libre est bien posé. Bien sûr, une fois ce résultat établi sur le couple
(E, B), la même conclusion suit pour le couple (D, H) = (ε0 E, µ−1
0 B).
Qui plus est on peut établir le résultat d’appartenance
E, B ∈ C 1 R+ ; L2 (R3 )3 .
Nous proposons ci-après une autre démonstration du caractère bien posé, qui repose
sur la résolution des problèmes du second ordre (2.4-2.5).
5. La notation ci-dessous couvre le cas de fonctions scalaires à valeurs complexes. Pour des fonctions à valeurs réelles, il suffit d’enlever la conjugaison sur w...
6. Pour la démonstration de ce résultat d’existence et d’unicité, voir Cessenat [28] pp. 254-255.
24
c
Patrick
Ciarlet 2013
2.1.4 Unicité des champs électromagnétiques
Une propriété fondamentale des équations de Maxwell est la conservation d’énergie, qui permet en outre d’établir l’unicité des champs. Pour établir cette relation,
aussi appelée identité d’énergie, on a besoin de la formule d’Ostrogradski (1.15) dans
V = R3 , à savoir
Z
R3
(rot u · v − u · rot v) dx = 0,
pour des champs de vecteurs u et v décroissant “suffisamment vite” à l’infini (voir
aussi §2.2.2 pour une discussion “calculatoire”/“informelle” de cette notion de décroissance). Mathématiquement, on prouve que
Z
Z
u · rot v dx, ∀u, v ∈ H(rot , R3 ),
(2.8)
rot u · v dx =
R3
R3
avec par définition H(rot , R3 ) := {v ∈ L2 (R3 )3 : rot v ∈ L2 (R3 )3 }, où la dérivation spatiale (l’action de l’opérateur rot ) est comprise au sens des distributions.
Pour établir la formule d’intégration par parties (2.8), on utilise le fait que l’espace des
fonctions vectorielles de classe C ∞ sur R3 , et à support compact dans R3 , est dense
dans H(rot , R3 ) (cf. [42, Tome 2]) : on écrit que Cc∞ (R3 )3 est dense dans H(rot , R3 ).
Prenons le produit scalaire de l’Eq. (1.33) par E(t) que l’on intègre sur R3 :
Z
Z
Z
1
∂E
2
J (t) · E(t) dx.
rot B(t) · E(t) dx = −
(t) · E(t) dx − c
ε0 R3
R3
R3 ∂t
Puis, on prend le produit scalaire de l’Eq. (1.34) par B(t) que l’on intègre sur R3 :
Z
Z
∂B
rot E(t) · B(t) dx = 0.
(t) · B(t) dx +
R3
R3 ∂t
On additionne ces deux équations, la première étant multipliée par ε0 , et la seconde
par µ−1
0 , pour trouver
Z
∂E
1 ∂B
{ε0
(t) · E(t) +
(t) · B(t)}dx
∂t
µ0 ∂t
R3
Z
Z
1
J (t) · E(t) dx.
{rot E(t) · B(t) − E(t) · rot B(t)} dx = −
+
µ 0 R3
R3
Sous réserve donc que E et B décroissent “suffisamment vite” à l’infini ou, mathématiquement, que E(t), B(t) ∈ H(rot , R3 ), on en déduit que
Z
Z
∂E
1 ∂B
J(t) · E(t) dx.
(2.9)
{ε0
(t) · E(t) +
(t) · B(t)}dx = −
∂t
µ0 ∂t
R3
R3
Equations de Maxwell
25
D’après la loi d’Ampère (1.33), si ∂t E(t), J(t) appartiennent à L2 (R3 )3 , alors on a
également rot B(t) ∈ L2 (R3 )3 . De même, d’après la loi de Faraday (1.34), si ∂t B(t)
appartient à L2 (R3 )3 , alors on a également rot E(t) ∈ L2 (R3 )3 . Ainsi, on supposera a
priori 7 qu’à (presque) tout instant t, E(t), B(t), ∂t E(t), ∂t B(t) et J (t) appartiennent
à L2 (R3 )3 , par exemple
E, B,
∂E ∂B
,
et J ∈ L2 (R+ ; L2 (R3 )3 ),
∂t ∂t
(2.10)
ce qui permet de justifier tous les calculs précédents.
On peut réécrire l’égalité (2.9) sous la forme d’une identité d’énergie, également appelée relation de conservation de l’énergie (intégrale) :
Z
Z
1
1
d
2
2
J(t) · E(t) dx.
(2.11)
{ε0 |E(t)| + |B(t)| }dx = −
dt R3 2
µ0
R3
L’unicité de la solution est une conséquence simple de (2.11). En effet, si on dispose
de deux solutions (E (1) , B (1) ) et (E (2) , B (2) ), alors la différence (δE, δB) = (E (1) −
E (2) , B (1) − B (2) ) vérifie le système d’équations de Maxwell (1.33-1.36) avec seconds
membres nuls. En reproduisant les calculs précédents (on prend respectivement le
produit scalaire par δE(t) et δB(t)), on arrive facilement à
Z
1
1
d
2
2
{ε0 |δE(t)| + |δB(t)| }dx = 0.
dt R3 2
µ0
La quantité entre crochets est donc indépendante du temps. Or, d’après (2.7), cette
quantité est nulle à t = 0 : elle est donc nulle à tout instant, ie. (E (1) , B (1) ) =
(E (2) , B (2) ) et l’unicité suit...
Il convient d’être précis, car l’obtention de l’unicité de la solution requiert une mesure
(mathématique) “fine” des champs et des données. Pour obtenir le résultat souhaité,
on a utilisé a fonctionnelle Wvac ci-dessous pour mesurer les champs :
Wvac (t) =
ε0
1
||E(t)||2 +
||B(t)||2 ,
2
2µ0
(2.12)
avec Wvac ∈ L1 (R+ ) d’après (2.10). La quantité Wvac (t) est l’énergie électromagnétique de l’espace libre à l’instant t. Pour des compléments sur ces questions énergétiques, voir la section 2.2.
7. Ces hypothèses sont celles utlisées pour la résolution des équations de Maxwell du premier
ordre, par la théorie des semi-groupes.
26
c
Patrick
Ciarlet 2013
2.1.5 Résolution des problèmes du second ordre
Si l’on reprend les résultats du §2.1.2, on a vu que E et B sont également gouvernés par des équations des ondes vectorielles, cf. (2.4-2.5).
Pour résoudre ces équations du second ordre en temps, il faut disposer de deux conditions initiales : on connaît déjà E(0) et B(0), cf. (2.7). En outre, en partant de (2.6),
on en déduit que
∂E
1
(0) = E 1 := c2 rot B 0 − J (0),
∂t
ε0
∂B
(0) = B 1 := −rot E 0 .
∂t
(2.13)
Supposons maintenant que l’on parte des Eqs. (2.4-2.5) additionnées des conditions
initiales (2.7) et (2.13). Pour w ∈ H(rot , R3 ), effectuons le produit scalaire de l’Eq.
(2.4) par w que l’on intègre sur R3 puis l’intégration par parties (2.8), pour trouver :
Z
Z
Z
∂J (t)
1
∂2E
2
rot E(t) · rot w dx = −
(t) · w dx + c
· w dx.
2
ε0 R3 ∂t
R3
R3 ∂t
Ainsi, le champ électrique E est gouverné par

Trouver E tel que


Z


d2

3


 ∀w ∈ H(rot , R ), dt2 3 E(t) · w dx
R
Z
Z
1
∂J (t)
2

rot E(t) · rot w dx = −
+c
· w dx,


ε0 R3 ∂t

R3



 E(0) = E 0 , dE (0) = E 1 .
dt
t > 0;
(2.14)
On vérifie facilement que toutes les hypothèses du théorème de Lions-Magenes A.3.23
sont satisfaites, avec pour espaces de Hilbert H = L2 (R3 )3 et V = H(rot , R3 ). Ainsi,
pour T > 0, il existe un unique champ électrique E solution de (2.14) dès lors que
(∂t J, E 0 , E 1 ) ∈ L2 (0, T ; H) × V × H. En d’autres termes,
∂t J ∈ L2 (0, T ; L2 (R3 )3 ), J (0) ∈ L2 (R3 )3 , E 0 , B 0 ∈ H(rot , R3 ).
Qui plus est, ce champ électrique a pour régularité :
E ∈ C 0 ([0, T ]; H (rot , R3 )), E ∈ C 1 ([0, T ]; L2 (R3 )3 ),
et il est stable par rapport aux données.
On peut également établir que le champ magnétique B est gouverné par
(2.15)
Equations de Maxwell

Trouver B tel que


Z


d2

3


 ∀w ∈ H(rot , R ), dt2 3 B(t) · w dx
R
Z
Z
1
2

+c
rot B(t) · rot w dx =
J (t) · rot w dx,


ε0 R3

R3



 B(0) = B 0 , dB (0) = B 1 .
dt
t > 0;
27
(2.16)
Dans ce cas, on ne peut pas appliquer directement le théorème de Lions-Magenes,
à cause de la forme du second membre. En effet, celui-ci ne s’écrit pas comme le
produit scalaire – dans H = L2 (R3 )3 – du champ-test w par une donnée ; dans
(2.16), c’est le produit scalaire par rot w. Ceci étant dit, comme mentionné à la suite
de ce théorème, on peut démontrer une inégalité d’énergie (A.22) avec la donnée
f = ∂t J , ce qui permet d’obtenir des estimations uniformes par rapport à celle-ci, et
de conclure à l’existence et l’unicité de l’induction magnétique B. Sous réserve que les
données sont telles que les conditions (2.15) sont satisfaites, l’induction magnétique
gouvernée par (2.16) existe et et unique, et elle a pour régularité :
B ∈ C 0 ([0, T ]; H (rot , R3 )), B ∈ C 1 ([0, T ]; L2 (R3 )3 ),
en étant stable par rapport aux données.
2.1.6 Passage du second ordre au premier ordre en temps
Précédemment (cf. §2.1.5), nous avons résolu des équations des ondes vectorielles
e B
e leur solution. Examinons ensuite comment on peut établir
découplées : notons E,
e B)
e est gouverné par les équations de Maxwell (1.33-1.36), et qu’il
que ce champ (E,
est donc bien égal au champ électromagnétique d’après le résultat d’unicité du §2.1.4.
On part des équations du second ordre (2.4-2.5), additionnées des conditions initiales (2.7) et (2.13). Pour retrouver les lois d’Ampère et de Faraday, introduisons les
quantités :
e
e
∂B
∂E
e + 1 J,
e
− c2 rot B
V :=
+ rot E.
U :=
∂t
ε0
∂t
D’après les conditions initiales (2.7) et (2.13), on déduit que U (0) = V (0) = 0.
Réalisons quelques manipulations élémentaires :
!
e
e
e
∂J
∂
B
∂2E
∂
B
1
∂U
(2.4)
e+
= −c2 rot V ;
= −c2 rot rot E
=
− c2 rot
+
∂t
∂t2
∂t
ε0 ∂t
∂t
!
e
e (2.5)
e
∂V
1
∂2B
∂E
∂
E
2
e +
= rot
= rot U .
=
+ rot
J − c rot B
∂t
∂t2
∂t
ε0
∂t
Ainsi, on arrive à
28
c
Patrick
Ciarlet 2013
∂U
+ c2 rot V = 0,
∂t
∂V
− rot U = 0.
∂t
En d’autres termes, nous avons établi que le couple (V , c−2 U ) est gouverné par les
Eqs. (1.33-1.34) avec seconds membres nuls, et qui plus est la condition initiale est
également nulle. Pour que le résultat d’unicité 8 de la solution des Eqs. (1.33-1.34)
établi au §2.1.3 à l’aide de l’identité d’énergie s’applique, il faut que U et V soient
“suffisamment réguliers”, typiquement au sens de (2.10). Ceci sera le cas si
e B
e ∈ C 1 ([0, T ]; H (rot , R3 )), E,
e B
e ∈ C 2 ([0, T ]; L2 (R3 )3 ).
E,
Pour cela, il est suffisant, qu’en plus de (2.15), que les données vérifient
∂tt J ∈ L2 (0, T ; L2 (R3 )3 ), ∂t J (0) ∈ L2 (R3 )3 , rot E 0 , rot B 0 ∈ H(rot , R3 ). (2.17)
e B)
e
Si ces conditions sont satisfaites, on a (V , c−2 U ) = (0, 0). On en déduit que (E,
vérifie les lois d’Ampère et de Faraday
e
∂E
e = − 1 J,
− c2 rot B
∂t
ε0
e
∂B
e = 0.
+ rot E
∂t
e = ∂tt (div B),
e la loi d’absence de monopoles magnétiques
Puisque 0 = div (∂tt B)
e
libres div B = 0 est vraie à tout instant, si div B 0 = div B 1 = 0. La loi de Gauss
e = ρ/ε0 est également vraie à tout instant, si div E 0 = ρ(0)/ε0 et div E 1 =
div E
∂t ρ(0)/ε0 , dès lors que l’équation de conservation de la charge (1.10) est vérifiée,
e + ∂t J/ε0 ) = ∂tt (div E)
e + ∂t (div J )/ε0 = ∂tt (div E
e − ρ/ε0 ). En
puisque 0 = div (∂tt E
conclusion, on demande que
Eq. (1.10) vraie, div E 0 = ρ(0)/ε0 et div B 0 = 0.
(2.18)
A l’aide une dernière fois du résultat d’unicité de la solution des Eqs. (1.33-1.34),
e B)
e est bien le champ électromagnétique
on en conclut finalement que le champ (E,
cherché.
Remarque 2.1.2 Comme dans l’approche du §2.1.3, les Eqs. (1.35-1.36) sont des
contraintes, ici des équations du second ordre en temps.
2.2 Considérations énergétiques
Nous proposons ici des approches quelque peu différentes qui permettent de
(re)définir l’énergie électromagnétique.
8. On n’utilise pas ici l’existence de la solution des équations de Maxwell.
Equations de Maxwell
29
2.2.1 Un peu de physique
Débutons par le cas de l’espace libre. Notre point de départ est constitué de la
loi de Faraday (1.34) et de l’absence de monopoles magnétiques libres (1.36). Nous
avons vu qu’il existe deux potentiels indépendants – A et φ – qui permettent de
reformuler ces deux relations en définissant les champs électromagnétiques comme
aux Eqs. (1.37-1.38). Dans la suite, nous disons que (A(t, x))t,x et (φ(t, x))t,x sont
les coordonnées généralisées de notre système. A partir de là, introduisons la densité
Lagrangienne
L(t, x) = L(A(t, x), φ(t, x))
ε0
1
2
2
:=
|E| −
|B| + A · J − φ ρ (t, x) ,
2
2µ0
(2.19)
ainsi que le Lagrangien associé sur un volume stationnaire V ⊂ R3
Z
L dV.
V
L’idée est de trouver un principe de moindre action, c’est-à-dire la détermination
d’extrema 9 de l’action
Z t2 Z
L dV dt
S :=
t1
V
le long de trajectoires t 7→ (A(t), φ(t)), où les configurations initiale et finale à t1 < t2
sont fixées. En d’autres termes, on choisit des variations infinitésimales δA et δφ telles
que (δA, δφ)(t1 ) = (δA, δφ)(t2 ) = 0 sur le volume V . Une condition nécessaire pour
l’existence d’un extrémum de S est que δS = 0 pour toutes les variations admissibles
(δA, δφ). Rappelons que par définition
Z t2 Z
δL(A, φ) dV dt, ∀δA, ∀δφ, avec
δS :=
t1
V
δL(A, φ) := ε0 E · δE −
1
B · δB + δA · J − δφ ρ.
µ0
Dans un premier temps, on ajoute également une nouvelle contrainte sur les variations, à savoir (δA, δφ)(t) = 0 pour tout t ∈]t1 , t2 [, sur la surface ∂V . On peut alors
établir que
Z t2 Z 1
∂E
− rot B + J + δφ (ε0 div E − ρ) dV dt.
δA · ε0
δS =
∂t
µ0
V
t1
De la relation δS = 0 (valable pour toutes les variations admissibles), on en déduit
que les champs électromagnétiques sont gouvernés par les lois d’Ampère et de Gauss,
9. Pour de plus amples détails sur les formulations et principes variationnels en physique, nous
renvoyons à [70].
30
c
Patrick
Ciarlet 2013
qui apparaissent donc (dans ce formalisme) comme les équations du mouvement de
champs.
Dans un second temps, si l’on supprime les contraintes sur les variations, le principe
de moindre
R t2 R action ne tient plus ! Néanmoins, il est toujours vrai que l’on a la relation
δS = t1 V δL dV dt pour cet ensemble plus grand de variations... On aboutit alors
à une autre condition nécessaire, si on choisit (δA, δφ) = (−δT E, 0) avec δT une
variation “infinitésimale” du temps. Cette condition s’écrit, tous calculs faits,
Z
Z
Z t2
1
ε0
1
d
2
2
{ |E| +
|B| } dV +
(E × B) · dS
δT
dt
2µ0
∂V µ0
V 2
t1
Z
E · J dV dt = 0.
(2.20)
+
V
C’est une relation de conservation de l’énergie (intégrale). En effet, soient
w0 =
1
1
{ε0 |E|2 + |B|2 }
2
µ0
(2.21)
la densité d’énergie électromagnétique, et
S0 =
1
E×B,
µ0
(2.22)
le flux d’énergie électromagnétique, appelé le vecteur de Poynting, alors la loi de
conservation se réécrit
Z
Z
Z
d
E · J dV = 0.
S 0 · dS +
w0 dV +
dt
V
∂V
V
D’un point de vue physique, le troisième terme est interprété comme l’énergie dissipée
par effet Joule, et le deuxième comme le flux d’énergie électromagnétique entrant ou
quittant le volume V .
Sous forme différentielle, ce qui précède devient
∂w0
+ div S 0 + E · J = 0.
∂t
On peut définir l’énergie électromagnétique totale par
Z
w0 dV .
Wtot =
(2.23)
(2.24)
R3
Comme originellement exprimé par Feynman [46], sans aucun doute mieux qu’ici,
nous ne pouvons être certains que ces définitions soient les “définitions correctes”.
Néanmoins, si on examine les possibilités alternatives de définition de la densité Lagrangienne (2.19), on aboutit toujours à des termes non-linéaires dans les équations
Equations de Maxwell
31
du mouvement de champs électromagnétiques. Ainsi, il peut sembler “naturel” de
conserver les expressions les plus simples, ici (2.20-2.21). Il n’en reste pas moins que
ces définitions doivent être considérées comme des hypothèses de modélisation.
Poursuivons par le cas d’un milieu parfait, avec les relations constitutives (1.23) et
des relations de symétrie sur les tenseurs diélectrique et de perméabilité magnétique,
à savoir εt = ε, µt = µ. Classiquement, on introduit la densité d’énergie électromagnétique ci-dessous :
1
(2.25)
w = {D · E + B · H} .
2
Puisque ε et µ sont tous deux indépendants de t, on en déduit que ∂t w = ∂t D · E +
∂t B · H. On introduit également le vecteur de Poynting S, défini par
S =E×H .
(2.26)
div S = H · rot E − E · rot H .
(2.27)
Prenant la divergence de S, on a
Dans l’expression précédente, on peut substituer −∂t B à rot E, et ∂t D + J à rot H
(en utilisant les lois de Faraday et d’Ampère), pour trouver
∂w
+ div S + E · J = 0.
∂t
(2.28)
Cette équation est la conservation de l’énergie électromagnétique (différentielle) pour
un milieu parfait. Exprimée sous forme intégrale dans un volume stationnaire V , elle
se lit
Z
Z
Z
d
E · J dV = 0.
(2.29)
S · dS +
w dV +
dt
V
∂V
V
Dans le cas plus général d’un milieu chiral, les notions précédentes (densité, conservation de l’énergie) sont beaucoup plus complexes à construire.
2.2.2 Encore un peu de calculs...
Examinons maintenant le cas d’un champ électromagnétique statique dans le vide
(d’où la notation stat dans la suite). Par statique, nous entendons que les champs
sont indépendants du temps t. Nous nous concentrons d’abord sur l’énergie électrostatique totale. Dans le cas statique, les termes ∂t · sont nuls, et (1.37) se simplifie
alors en E stat = −grad φstat , avec un potentiel scalaire φstat gouverné par l’équation
de Laplace-Poisson (1.45). Grâce à la formule d’Ostrogradsky, on trouve
32
c
Patrick
Ciarlet 2013
E,stat
Wtot
Z
Z
ε0
ε0
stat
stat
=
E
·E
dV = −
grad φstat · E stat dV
2 R3
2 R3
Z
ε0
grad φstat · E stat dV
lim
=−
2 R→+∞ B(0,R)
)
(Z
Z
ε0
=
φstat (E stat · dS)
φstat div E stat dV −
lim
2 R→+∞
∂B(0,R)
B(0,R)
)
(Z
Z
1
stat
stat
stat
=
φ (E
· dS)
φ ρ dV − ε0
lim
2 R→+∞
∂B(0,R)
B(0,R)
Z
1
=
φstat ρ dV .
2 R3
Il reste à expliquer pourquoi le terme le plus à droite disparaît lorsque R tend vers
l’infini. Pour cela, reprenons la formule (2.3), qui exprime le champ électrique créé
par une distribution volumique (de support borné) de particules chargées au repos,
de densité ρ. Cette formule s’applique en particulier dans le cas statique que nous
étudions ici. Puisque le support de ρ est borné dans R3 – physiquement, on dit qu’il
n’y a pas de charges à l’infini – on vérifie facilement que
|φstat (x)| ≤
Cρ
Cρ
et |E stat (x)| ≤
,
|x|
|x|2
où Cρ est une constante qui dépend de ρ. Donc, on a
Z
4π C 2
ρ
stat
stat
φ
(E
·
dS)
,
≤
∂B(0,R)
R
et la conclusion suit... Donc, pour une distribution volumique de charges – sans
charges à l’infini – l’énergie électrostatique totale est égale à
Z
1
E,stat
Wtot
=
φstat ρ dV .
(2.30)
2 R3
Remarque 2.2.1 L’expression (2.30) dépend du potentiel φstat et de la densité de
charges ρ, qui sont toutes deux liées par l’équation de Laplace-Poisson. On peut ainsi
considérer cette expression comme l’énergie potentielle du système de charges.
De façon remarquable, et pour une distribution volumique de particules chargées,
l’expression (2.30) inclut l’auto-énergie de la distribution : en d’autres termes, si V0
est le support de la densité de charges ρ, l’expression
Z
1
E,stat
φstat ρ dV
(2.31)
WV0
=
2 V0
a un sens ! Ceci peut être prouvé mathématiquement, grâce aux propriétés du noyau
de Green G. Au contraire, le potentiel φstat n’a pas de sens pour les systèmes discrets
Equations de Maxwell
33
(voir l’Eq. (2.2) à droite) aux positions (y P
i )1≤i≤N des charges, alors que la densité
de charge ρ est précisément égale à ρ(y) = 1≤i≤N qi δy i (y) dans ce cas. On ne peut
donc pas définir l’auto-énergie d’un système discret 10 . Pour l’instant, nous avons
considéré les distributions de charges de support 3D et 0D. Entre ses deux configurations, il existe des distributions de support 1D et 2D, telles que les fils idéalisés
(charges linéiques) et les charges surfaciques sur les conducteurs parfaits (cf. l’effet
de peau infini dans le dernier cas). Pour un support 2D, on peut prouver qu’on peut
effectivement définir l’auto-énergie des densités de charges surfaciques :
Z
1
WΣE,stat =
φstat σΣ dS .
(2.32)
2 Σ
Par contre, pour un support 1D, on ne peut pas définir cette auto-énergie.
La discussion concernant l’énergie magnétostatique totale suit les mêmes lignes,
puisqu’on a B stat = rot Astat (cf. (1.38)), où Astat est gouverné par une équation de
Laplace-Poisson vectorielle (voir (1.42) ou (1.44) en se souvenant que ∂t · ≡ 0 dans le
cas statique), et est à divergence nulle. En utilisant cette fois la formule de Stokes, et
sous réserve qu’il n’y ait pas de courants à l’infini, on conclut que
Z
Z
1
1
B,stat
B stat · B stat dV =
Astat · J dV .
(2.33)
Wtot
=
2µ0 R3
2 R3
Pour conclure cette courte étude de l’énergie dans le vide, et sous réserve cette fois que
les champs électromagnétiques décroissent “suffisamment vite” à l’infini (cf. §2.1.3)
– |E(t, x)| ≤ Cρ (t) |x|−2 et |H(t, x)| ≤ CJ (t) |x|−2 – rappelons que l’on a trouvé
l’identié d’énergie (2.11), à savoir
Z
dWtot
E · J dV = 0 .
+
dt
R3
10. Ceci est consistant avec le fait que |E stat |2 n’est pas intégrable dans un volume incluant une,
ou plusieurs charges ponctuelles.
3
Equations stationnaires
Dans un certain nombre de situations, on étudie des champs et des sources pour lesquels le comportement en temps est explicitement connu. Par exemple, des solutions
périodiques en temps des équations de Maxwell. Les solutions (et les équations) sont
alors qualifiées d’harmoniques en temps. Nous commençons par une étude élémentaire
de tels champs et équations. Puis, nous considérons les ondes planes électromagnétiques, qui forment une classe de solutions particulières très utilisées en physique
théorique et pour les applications, par exemple pour évaluer la qualité de méthodes
numériques, ou pour construire des conditions aux limites. Enfin, nous comparons les
phénomènes de résonance aux phénomènes harmoniques en temps, en nous concentrant ici sur les équations de Maxwell.
3.1 Equations de Maxwell harmoniques en temps
Nous traitons donc de solutions périodiques, ou harmoniques, en temps, solutions
des équations de Maxwell dans un milieu parfait occupant R3 , pour lesquelles la
dépendance est de la forme cos(ωt) ou sin(ωt), avec ω ∈ R. De façon équivalente,
on parle de solutions stationnaires. En d’autres termes, après complexification des
champs, nous supposons que la Transformée de Fourier temporelle (cf. [23]), par
exemple pour le champ électrique
Z
Ê(ω ′ , x) = (2π)−1
E c (s, x) exp(ıω ′ s) ds ,
s∈R
est de la forme Ê(ω ′ , x) = δ(ω ′ − ω) ⊗ e(x). Ainsi, en appliquant la Transformée de
Fourier inverse, on trouve
Z
c
Ê(η, x) exp(−ıηt) dη = e(x) exp(−ıωt).
E (t, x) =
η∈R
Ci-dessus, e est un champ vectoriel à valeurs dans C3 .
Les solutions à valeurs réelles – les solutions physiques ! – s’écrivent sous la forme
36
c
Patrick
Ciarlet 2013
E(t, x) = Re(e(x) exp(−ıωt)) ,
(3.1)
H(t, x) = Re(h(x) exp(−ıωt)) ,
(3.2)
D(t, x) = Re(d(x) exp(−ıωt)) ,
(3.3)
B(t, x) = Re(b(x) exp(−ıωt)) .
(3.4)
De manière équivalente, on peut écrire
1
E(t, x) = {e(x) exp(−ıωt) + e(x) exp(ıωt))}, ou
2
= Re(e(x)) cos(ωt) + Im(e(x)) sin(ωt), etc.
En particulier, on peut restreindre la dépendance temporelle des champs harmoniques
en temps à des valeurs positives de ω, appelé la pulsation : ω ≥ 0 dans la suite. La
pulsation est reliée à la fréquence ν par la formule ω = 2πν.
Remarque 3.1.1 Si la pulsation ω est égale à zéro, les champs sont statiques, au
sens où ils sont indépendants du temps. De cette façon, on peut considérer que les
champs statiques sont une “instance particulière” des champs stationnaires.
Si les champs sont harmoniques en temps, alors ρ(t, x) et J (t, x) sont également harmoniques en temps. Bien sûr, la dépendance en temps est identique, car la dérivation
spatiale ou temporelle 1 des champs conserve celle-ci :
ρ(t, x) = Re(r(x) exp(−ıωt)) ,
(3.5)
J (t, x) = Re(j(x) exp(−ıωt)) .
(3.6)
Au contraire, que se passe-t-il si l’on sait uniquement que les termes sources ρ(t, x) et
J(t, x) sont harmoniques en temps (sans information sur les champs) ? En d’autres
termes, comment les champs, vus comme solutions des équations de Maxwell, se
comportent-ils ? La réponse, beaucoup plus subtile que les calculs précédents, est
connue sous le vocable principe d’amplitude limite... Il est important de noter que ce
principe peut-être justifié rigoureusement/mathématiquement, cf. [75, 58]. Lorsque
les données ρ et J sont à support compact en espace, on peut prouver que la solution
adopte un comportement harmonique en temps lorsque t tend vers l’infini, dans des
régions bornées de R3 . Le “bon sens physique” est donc correct dans cette situation :
1. Par exemple :
∂t Di (x, t) = ∂t (Re(di (x) exp(−ıωt))) =
1
∂t (Re(di (x)) cos(ωt) + Im(di (x)) sin(ωt))
2
1
(−Re(di (x))ω sin(ωt) + Im(di (x))ω cos(ωt))
2
1
= (Im(−ıω di (x)) sin(ωt) + Re(−ıω di (x)) cos(ωt)) = Re(−ıωdi (x) exp(−ıωt)) ;
2
∂xj Di (x, t) = Re((∂xj di (x)) exp(−ıωt)).
=
Equations de Maxwell
37
sous réserve que ρ et J se comportent comme aux Eqs. (3.5-3.6), les champs électromagnétiques se comportent comme aux Eqs. (3.1-3.4) lorsque t → +∞, avec une
pulsation ω identique.
En égalant les facteurs spatiaux en cos(ωt) et en sin(ωt), on constate que les équations
de Maxwell harmoniques en temps s’écrivent
ıωd + rot h = j,
(3.7)
−ıωb + rot e = 0,
(3.8)
div d = r,
(3.9)
div b = 0,
(3.10)
alors que l’équation de conservation de la charge (1.10) devient
−ıωr + div j = 0 .
(3.11)
Comme le milieu est parfait, on a
d(x) = ε(x)e(x)
et
b(x) = µ(x)h(x) .
Il est possible d’exprimer les équations de Maxwell harmoniques en temps en fonction
des champs e et b :
ıωεe + rot (µ−1 b) = j,
(3.12)
−ıωb + rot e = 0,
(3.13)
div εe = r,
(3.14)
div b = 0.
(3.15)
Poursuivons en éliminant l’un des champs dans les Eqs. (3.12) et (3.13), ce qui donne
−ω 2 εe + rot (µ−1 rot e) = ıωj,
−ω 2 b + rot (ε−1 rot (µ−1 b)) = rot (ε−1 j).
(3.16)
(3.17)
Le système d’Eqs. (3.16-3.17) est souvent qualifié de problème de type Helmholtz :
pour 2 ω 6= 0, des sources non nulles (j, r) étant données, on doit déterminer la solution (e, b). On parle alors de vibrations “entretenues” du champ électromagnétique :
en effet, les vibrations sont générées et entretenues par l’excitation périodique que
représentent les sources. Il est important de noter que les conditions (3.14) et (3.15)
sur la divergence des champs électromagnétiques sont contenues dans les Eqs. (3.163.17). Il suffit en effet pour cela d’appliquer la divergence de part et d’autre du signe
2. Pour avoir un problème de type Helmholtz, on suppose toujours que la pulsation est non-nulle.
Sinon, on résout un problème statique, cf. §4.1.
38
c
Patrick
Ciarlet 2013
égal et, dans le cas du champ électrique, d’utiliser l’équation de conservation de la
charge (3.11), en se souvenant que ω 6= 0.
Au contraire, on peut supposer que les densités de charge et de courant disparaissent.
Les équations s’écrivent alors
−ω 2 εe + rot (µ−1 rot e) = 0,
(3.18)
−ω 2 b + rot (ε−1 (rot (µ−1 b)) = 0,
(3.19)
div (εe) = 0,
(3.20)
div b = 0.
(3.21)
On parle alors de vibrations “libres” du champ électromagnétique, puisqu’il n’y a plus
d’excitation dans ce cas. Comme on l’a vu plus haut, la condition sur la divergence
des champs électromagnétiques serait implicite dans les Eqs. (3.18-3.19), sous réserve
que ω 6= 0. Mais on ne fait pas cette hypothèse ici. L’ensemble des Eqs. (3.18-3.21) est
appelé un problème aux valeurs propres. Il s’agit de déterminer les triplets (ω, e, b)
avec (e, b) 6= (0, 0) vérifiant le système (3.18-3.21).
Ici, la pulsation ω n’est pas à proprement parler la valeur propre. Plus précisément,
c’est son carré ω 2 qui est lié à la valeur propre.
Supposons maintenant que le milieu soit homogène, de sorte que ε = εI3 et µ = µI3 ,
avec ε et µ des nombres constants (comme par exemple dans le cas du vide). On peut
éliminer comme précédemment le champ e ou le champ b des Eqs. (3.12-3.13) pour
trouver, avec f e := ıωµj et f b := µ rot j pour seconds membres (qui sont nuls dans
le cas de vibrations libres) :
rot rot e − λe = f e ,
(3.22)
2
(3.24)
rot rot b − λb = f b ,
λ = (εµ)ω .
(3.23)
A l’aide de l’identité (A.1), on trouve (ci-dessous, f ′e := −f e + ε−1 ∇r)
λe + ∆e = f ′e ,
(3.25)
λb + ∆b = −f b .
(3.26)
Lorsque (f ′e , f b ) 6= (0, 0) (vibrations entretenues, avec λ = (εµ)ω 2 6= 0), on en déduit
finalement que chaque composante des champs de vecteurs e ou b (on la note u
ci-dessous) est solution de l’équation de Helmholtz :
∆u + λ u = f .
(3.27)
Si l’on reprend le cas des vibrations libres, (u, λ) est un couple fonction propre-valeur
propre de l’équation de Laplace-Poisson :
Equations de Maxwell
−∆u = λ u .
39
(3.28)
La pulsation ω est liée à la valeur propre λ par la relation (3.24).
Remarque 3.1.2 Dans ce dernier cas (les vibrations libres), il faut se souvenir qu’a
priori, les composantes des champs ne sont pas indépendantes les unes des autres. En
effet, les composantes de chaque champ sont liées entre elles par les conditions sur la
divergence, à savoir div e = 0 et div b = 0.
Pour conclure cette section, écrivons le flux d’énergie pour un champ harmonique en
temps. Comme les champs sont de la forme (3.1-3.2), on peut substituer ces expressions dans celle du vecteur de Poynting (2.26) pour obtenir le vecteur de Poynting
complexe S c
1
Sc = Ec × H c .
2
C’est ce vecteur de Poynting qui est généralement utilisé pour évaluer le flux pour les
champs électromagnétiques à valeurs complexes (S = Re(S c )).
3.2 Equations harmoniques dans R3
Nous étudions maintenant une classe spécifique de solutions périodiques des équations de Maxwell, à savoir les ondes planes électromagnétiques, dans un milieu homogène occupant R3 . Puis nous prouvons que tout champ électromagnétique peut être
écrit comme superposition d’ondes planes électromagnétiques dans ce même milieu.
Enfin, nous considérons le cas d’un milieu conducteur, ce qui permet entre autres de
préciser la notion d’épaisseur de peau.
3.2.1 Ondes planes électromagnétiques
Nous considérons ici la Transformée de Fourier spatio-temporelle de champs complexes, à savoir
Z
Z
′
′
−4
E c (s, y) exp(−ı(k′ · y − ω ′ s)) ds dy .
Ẽ(ω , k ) = (2π)
y∈R3
s∈R
Les ondes planes peuvent être vues comme la Transformée de Fourier inverse de
champs, dont l’expression dans l’espace des phases (k′ , ω ′ ) est la suivante :
Ẽ(ω ′ , k′ ) = E 0 δ(ω ′ − ω) ⊗ δ(k ′ − k),
B̃(ω ′ , k′ ) = B 0 δ(ω ′ − ω) ⊗ δ(k′ − k) .
(E 0 et B 0 appartiennent à C3 , et k est un vecteur de R3 , appelé le vecteur d’onde).
Nous déduisons d’après ce qui précède que les ondes planes (à valeurs complexes)
sont de la forme
40
c
Patrick
Ciarlet 2013
E c (t, x) = E 0 exp(ı(k · x − ωt)) ,
c
B (t, x) = B 0 exp(ı(k · x − ωt)) .
(3.29)
(3.30)
Nous conservons la convention, selon laquelle les champs électromagnétiques physiques sont obtenus en prenant la partie réelle :
1
E(t, x) = {E 0 exp(ı(k · x − ωt)) + E 0 exp(−ı(k · x − ωt))}, ou
2
= Re(E 0 ) cos(k · x − ωt) − Im(E 0 ) sin(k · x − ωt), etc.
Comme précédemment, la pulsation ω est positive.
Remarque 3.2.1 Nous examinerons par la suite comment les ondes planes sont utilisées pour obtenir des conditions aux limites absorbantes (cf. chapitre 5).
3.2.2 Propriétés des ondes planes électromagnétiques
Une onde plane propagative est telle que la vitesse à laquelle une phase 3 constante
se déplace, est non-nulle. On appelle cette vitesse la vitesse de phase et, d’après les
expressions (3.29-3.30), elle est égale à
vp (ω, |k|) =
ω
.
|k|
(3.31)
En particulier, k 6= 0. La quantité |k| est appelée le nombre d’onde, et λ = 2π/|k| est
la longueur d’onde associée. Et, si on introduit d ∈ S2 la direction de k, i. e. k = |k|d,
on peut définir le vecteur vitesse de propagation, vp = vp d 4 . Enfin, pour avoir une
vitesse de phase non-nulle, on doit supposer que ω 6= 0.
Considérons qu’il n’y a pas de sources (densités de charge et de courant nulles) dans
le milieu, de sorte que les amplitudes E 0 , B 0 , le vecteur d’onde k et la pulsation ω
sont solutions du problème (3.12-3.15) avec j = 0 et r = 0. Par ailleurs, comme la
dépendance spatiale est de la forme exp(ık · x), on a les relations 5 rot E = ık × E
et div E = ık · E. Les équations deviennent alors (ε, µ sont des nombres constants)
3. La phase est la valeur de (E c , B c ) en un point, à un instant donné.
4. Pour calculer cette vitesse de phase, on remarque pour commencer que la phase reste inchangée,
dès lors que le déplacement est orthogonal à k. On choisit donc un déplacement δx parallèle à k, sur
une durée δt. Or, par définition, on a v p = limδx→0, δt→0 δx/δt, sous la condition E(t + δt, x + δx) =
E(t, x). La vitesse de phase est donc parallèle à k, et on peut écrire v p = vp d. Par ailleurs, la
condition de phase constante s’écrit exp(ı(k · δx − ωδt)) = 1. Pour δx et δt “petits’, ceci signifie que
k · δx − ωδt = 0, soit k · (δx/δt) = ω. En passant à la limite, on en conclut que k · v p = ω, soit
finalement v p = (ω/|k|) d comme annoncé.
5. Puisque k est à composantes réelles, on a k × E = k × Re(E) + ık × Im(E) et k · E =
k · Re(E) + ık · Im(E).
Equations de Maxwell
εµωE 0 + k × B 0 = 0 ,
−ωB 0 + k × E 0 = 0 ,
k · E0 = 0 ,
k · B0 = 0 .
41
(3.32)
(3.33)
(3.34)
(3.35)
D’après (3.32-3.33), on a E 0 = 0 si, et seulement si, B 0 = 0. Dans la suite, on
considère donc que E 0 6= 0 et B 0 6= 0. Si on élimine B 0 des deux premières équations,
on en déduit
k × (k × E 0 ) = −εµω 2 E 0 .
Pour que cette dernière équation soit vérifiée, il est nécessaire que k × (k × E 0 ) soit
parallèle à E 0 , ce qui est vrai si, et seulement si, k · E 0 = 0, c’est-à-dire précisément
l’Eq. (3.34). On en déduit que |k|2 = εµω 2 , et alors k × (k × E 0 ) = −|k|2 E 0 .
Finalement, on peut caractériser une onde plane à l’aide des trois quantités k ∈
R3 \ {0}, E 0 ∈ C3 \ {0} et B 0 ∈ C3 \ {0}, solutions de
|k| =
√
εµ ω ,
k · E0 = 0 ,
1
B0 = k × E0 .
ω
(3.36)
(3.37)
(3.38)
L’expression (3.36) qui lie k à ω est appelée la relation de dispersion (voir par exemple
√
[62]). Partant de (3.31) et (3.36), on en déduit que vp = c, où c = 1/ εµ. Comme
le milieu est homogène, vp est indépendant de ω et |k|, et par conséquent toutes les
ondes planes électromagnétiques se propagent avec la même vitesse de phase : on dit
qu’elles sont non-dispersives. Enfin, les relations (3.37-3.38) prouvent que E 0 et B 0
sont orthogonales à la direction de propagation des ondes planes, orthogonales entre
elles, et le trièdre (E 0 , B 0 , k) est direct.
Pour résumer cette série de calculs élémentaires, nous avons établi que, pour tout
vecteur d’onde k ∈ R3 \ {0}, il existe une onde plane électromagnétique propagative
à valeurs complexes qui s’écrit
E c (t, x) = E 0 exp(ı(k · x − c|k|t)) ,
c
B (t, x) = B 0 exp(ı(k · x − c|k|t)) ,
(3.39)
(3.40)
avec E 0 vérifiant (3.37) et liée à B 0 selon (3.38).
3.2.3 Décomposition en ondes planes électromagnétiques
Nous prouvons ici que tout champ électromagnétique peut être vu comme la superposition d’ondes planes électromagnétiques. Soit
42
c
Patrick
Ciarlet 2013
′
−3
Ĕ(t, k ) = (2π)
Z
y∈R3
E(t, y) exp(−ık′ · y) dy
la Transformée de Fourier spatiale (cf. [23]) du champ électrique. Ici, k′ parcourt R3 .
De même, soit B̆(t, ·) la Transformée de Fourier spatiale de l’induction magnétique.
On vérifie facilement que [rot˘ E](t, k′ ) = ık′ × Ĕ(t, k′ ) et [div˘ E](t, k′ ) = ık′ · Ĕ(t, k′ ).
Si on applique la Transformée de Fourier spatiale aux équations de Maxwell homogènes, on trouve
1 ∂ Ĕ
(t, k ′ ) − ık′ × B̆(t, k′ ) = 0,
c2 ∂t
∂ B̆
(t, k′ ) + ık′ × Ĕ(t, k′ ) = 0,
∂t
k′ · Ĕ(t, k′ ) = 0,
′
′
k · B̆(t, k ) = 0.
(3.41)
(3.42)
(3.43)
(3.44)
Si k′ = 0, alors les fonctions du temps t 7→ Ĕ(t, 0) et t 7→ B̆(t, 0) sont constantes.
Examinons ensuite le cas k′ 6= 0. Des Eqs. (3.41-3.42), on tire facilement
1 ∂ 2 Ĕ
(t, k′ ) − k′ × (k′ × Ĕ)(t, k ′ ) = 0,
c2 ∂t2
1 ∂ 2 B̆
(t, k′ ) − k′ × (k′ × B̆)(t, k ′ ) = 0.
c2 ∂t2
Notons w l’une des deux fonctions t 7→ Ĕ(t, k′ ) ou t 7→ B̆(t, k′ ). Elle est gouvernée
par
1 d2 w
(t) − k′ × (k′ × w(t)) = 0, k′ · w = 0.
c2 dt2
En particulier, w est orthogonal à k′ , et il suit −k′ × (k′ × w(t)) = |k′ |2 w(t). Si on
choisit (k1 , k2 , k′ /|k′ |) une base orthonormale, on peut donc écrire w(t) = w1 (t)k 1 +
w2 (t)k2 . Les deux composantes (wi )i=1,2 sont gouvernées par les équations des ondes
1 d2 wi
(t) + |k′ |2 wi (t) = 0, i = 1, 2 .
c2 dt2
On en déduit que wi (t) = ai,− exp(−ıω ′ t) + ai,+ exp(ıω ′ t) pour i = 1, 2, avec ω ′ =
c|k′ | =
6 0, où (ai,j )i,j=−,+ sont des nombres complexes (dépendant de k′ ). Concernant
la Transformée de Fourier spatiale du champ électromagnétique, on a donc
Ĕ(t, k′ ) = E − exp(−ıω ′ t) + E + exp(ıω ′ t), avec k′ · E ± = 0 ,
B̆(t, k ′ ) = B − exp(−ıω ′ t) + B + exp(ıω ′ t), avec k′ · B ± = 0.
Ci-dessus, E ± et B ± sont des vecteurs de C3 (dépendant de k′ ) : on écrit E ± (k′ )
et B ± (k′ ) dans la suite. En outre, si l’on revient à (3.41) (ou de façon équivalente à
(3.42)), on en déduit que
Equations de Maxwell
B∓ = ±
43
k′
× E ∓ avec ω ′ = c|k′ |.
ω′
Or, on sait que E et B sont des champs de vecteurs réels, d’où :
Z
−3
′
E(t, y) exp(ık′ · y) dy = Ĕ(t, −k′ ) ,
Ĕ(t, k ) = (2π)
3
y∈R
Z
B̆(t, k′ ) = (2π)−3
B(t, y) exp(ık′ · y) dy = B̆(t, −k′ ).
y∈R3
Ainsi, Ĕ(t, 0) et B̆(t, 0) sont des vecteurs réels et on a en outre, pour k′ 6= 0,
E − (k′ ) = E + (−k′ ) et B − (k′ ) = B + (−k′ ).
En considérant la Transformée de Fourier spatiale inverse, on en déduit finalement
que :
Z
o
n
E − (k) exp(−ıc|k|t) + E − (−k) exp(ıc|k|t) exp(ık · x) dk ,
E(t, x) =
3
Zk∈R n
o
B − (k) exp(−ıc|k|t) + B − (−k) exp(ıc|k|t) exp(ık · x) dk.
B(t, x) =
k∈R3
De façon équivalente 6 :
Z
n
o
E − (k) exp(ı(k · x − c|k|t)) + E − (k) exp(−ı(k · x − c|k|t)) dk ,
E(t, x) =
3
Zk∈R n
o
B − (k) exp(ı(k · x − c|k|t)) + B − (k) exp(−ı(k · x − c|k|t)) dk.
B(t, x) =
k∈R3
Ci-dessus, on a bien retrouvé une superposition d’ondes planes électromagnétiques
(propagatives pour k 6= 0), cf. (3.39-3.40), si l’on souvient qu’en plus on a les relations
d’orthogonalité k · E − (k) = 0 et k · B − (k) = 0, ainsi que B − (k) = (k/ω) × E − (k)
(toujours pour k 6= 0), à comparer cette fois à (3.37-3.38).
Remarque 3.2.2 Dans l’espace libre, tout couple (k, ω) tel que c |k| = ω(6= 0) peut
être associé à une onde plane propagative gouvernée par les équations de Maxwell
(avec comme choix de direction de propagation un élément quelconque de S2 ). En
particulier, toute valeur strictement positive de ω est admissible, et de même pour
toutes les valeurs de λ (cf. (3.24)). Si l’on adopte le point de vue du problème aux
valeurs propres (3.18-3.21), le “vecteur propre” correspondant n’est pas d’énergie finie
d’après l’expression (2.12) : on l’appelle un vecteur propre généralisé. Si l’on ajoute
les vecteurs constants (les vecteurs propres généralisés liés à λ = 0), l’ensemble des
6. Les deux formules sont bien équivalentes. En effet,
on effectue Rd’abord le changement de
R
variables k′ = −k dans la seconde partie de l’intégrale ( k∈R3 (· · · ) dk = k′ ∈R3 (· · · ) dk′ ), puis k′ est
remplacé par k et on retrouve l’autre formule.
44
c
Patrick
Ciarlet 2013
valeurs λ possibles est R+ : c’est le spectre essentiel. Dans un domaine borné, au
contraire, la situation est complètement différente : un phénomène de quantification
se produit, et les pulsations ω ne sont plus toutes admissibles... Qui plus est, des
vecteurs propres classiques existent, et l’ensemble des valeurs propres est discret et
dénombrable. Voir §3.3 pour une étude plus détaillée.
Enfin, à l’aide de la formule de Parseval, on remarque que l’énergie électromagnétique
totale s’écrit
Z
1
2
2
dk.
Wtot =
ε0 |E 0 (k)| + |B 0 (k)|
µ0
k∈R3
3.2.4 Ondes planes électromagnétiques dans un conducteur et épaisseur
de peau
Supposons maintenant que le milieu soit un conducteur. En l’absence de courant
externe imposé, on a j(x) = σ(x)e(x), auquel cas les équations de Maxwell harmoniques en temps (3.12-3.15) deviennent 7 :
ıωεσ e + rot (µ−1 b) = 0,
(3.45)
−ıωb + rot e = 0,
(3.46)
div εσ e = 0,
(3.47)
div b = 0,
(3.48)
avec une permittivité εσ = ε + ıσω −1 à valeurs complexes. A partir de maintenant,
on suppose le milieu homogène. Soit donc une onde plane électromagnétique telle que
définie en (3.29-3.30), c’est-à-dire que e(x) = E 0 exp(ık · x) et b(x) = B 0 exp(ık · x),
où k ∈ C3 est de la forme k = k d avec d un vecteur réel unitaire et k = k+ +ık− ∈ C.
On peut écrire
exp(ı(k · x − ωt)) = exp(−k− d · x) exp(ı(k+ d · x − ωt)),
de sorte que d peut être considéré comme la direction de propagation, sous réserve
que k+ > 0 (si k+ < 0, la direction de propagation est −d). C’est la convention que
nous adoptons ci-dessous.
On aboutit aux Eqs. (3.32-3.35), où ε est maintenant remplacé par εσ . Si on élimine
B 0 , on en déduit la relation k × (k × E 0 ) = −εσ µω 2 E 0 . Il s’ensuit 8 que k2 = εσ µω 2 ,
et l’on trouve
!1/2
(1 + σ 2 ω −2 ε−2 )1/2 ± 1
√
,
k± = s εµω
2
avec s = ±1. D’après la convention retenue, k+ > 0 et on a donc s = +1. On trouve
en particulier que k− > 0, et l’on peut écrire
7. Pour obtenir (3.47), on utilise la loi de conservation de charge (3.11).
8. Attention, on a ici k2 = · · · , pas |k|2 = · · · !
Equations de Maxwell
45
exp(ı(k · x − ωt)) = exp(−k− d · x) exp(ı(k+ d · x − ωt)),
avec un facteur d’atténuation exp(−k− d · x). Ainsi, l’onde plane électromagnétique
est absorbée lorsqu’elle se propage dans un conducteur. En d’autres termes, le conducteur est un milieu dissipatif .
La relation de dispersion n’est plus linéaire : les ondes électromagnétiques sont dispersives dans un conducteur. Pour caractériser leur comportement, on peut introduire
la vitesse de groupe, définie par
0
vg (k+
)=
dω 0
(k ),
dk+ +
0.
qui mesure la vitesse de propagation des ondes, avec des valeurs de k+ proches de k+
Notons que la notion d’épaisseur de peau est une conséquence de cette discussion. On
définit celle-ci comme étant la distance δ parcourue parallèlement à d pour réduire
le facteur d’atténuation par un facteur e = exp(1) : k− δ = 1. Sous l’hypothèse 9
η = σ(ωε)−1 >> 1, on trouve
1
1
δ=
=√
k−
εµω
(1 + η 2 )1/2 − 1
2
!−1/2
≈√
√
2
1
= √ (σν)−1/2 ,
εµωη
πµ
c’est-à-dire le résultat annoncé au §1.5.
3.3 Phénomènes de résonance vs. phénomènes harmoniques en
temps en domaine borné
Nous nous intéressons aux équations de Maxwell dans un milieu homogène 10 , posées
dans un domaine borné Ω (notre système). Les équations sont écrites comme des
équations du second ordre en temps (voir les Eqs. (2.4-2.5)). Pour simplifier, on
suppose qu’il n’y a pas de charges (ρ = 0), et donc div J = 0 d’après l’équation de
conservation de la charge (1.10). Dans ce cas les champs électrique et magnétique sont
tous deux à divergence nulle. Les équations des ondes en E et B étant semblables,
nous nous concentrons sur l’une des deux, par exemple celle en E. Les équations
gouvernant le champ électrique s’écrivent
1 ∂J
∂2E
+ c2 rot rot E = −
,
2
∂t
ε0 ∂t
div E = 0 ,
9. Cette hypothèse est tout à fait raisonnable. En effet, dans le cas du cuivre (cf. [52]), ε ≈
8.8 10−12 F m−1 et σ ≈ 5.6 107 Ω m−1 , on trouve η = σ(ωε)−1 ≈ 6.3 1018 s−1 /ω ! Par contre, elle n’est
pas vraie uniformément pour toutes les pulsations (ou toutes les fréquences...).
10. Le cas d’un milieu hétérogène est traité de façon très similaire.
46
c
Patrick
Ciarlet 2013
avec les conditions initiales dans Ω
E(0) = E 0 ,
dE
(0) = E 1 .
dt
(3.49)
Puisque le domaine est borné, on doit ajouter une condition aux limites. Nous considérons la condition de conducteur parfait (5.2), à savoir E × n = 0 sur ∂Ω. Comme
pour le problème posé dans tout R3 (cf. (2.14)), on arrive à

Trouver E à divergence nulle tel que


Z


d2


E(t) · w dx
∀w
∈
H
(rot
,
Ω),

0

2
Z dt Ω
Z
(3.50)
1
∂J (t)
2

+c
rot
E(t)
·
rot
w
dx
=
−
·
w
dx,
t
>
0
;


ε0 Ω ∂t

Ω



 E(0) = E 0 , dE (0) = E 1 .
dt
A l’aide d’une décomposition de Helmholtz du champ électrique, on peut prouver que
cette formulation variationnelle est équivalente à

Trouver E à divergence nulle tel que



2 Z

d


E(t) · w dx

 ∀w ∈ V, dt2
ΩZ
Z
(3.51)
∂J (t)
1
2

·
w
dx,
t
>
0
;
+c
rot
E(t)
·
rot
w
dx
=
−


ε0 Ω ∂t

Ω


dE

 E(0) = E 0 ,
(0) = E 1 ,
dt
où l’on a introduit le sous-espace vectoriel V (fermé) de H 0 (rot , Ω) défini par
V := {v ∈ H 0 (rot , Ω) : div v = 0 dans Ω}.
Notons maintenant
– a(·, )˙ la forme hermitienne a(v, w) = c2 (rot v|rot w), définie sur V × V ;
– f le second membre, ici −ε−1
0 ∂t J ;
– u l’inconnue, ici le champ électrique.
Ainsi, le problème posé dans l’espace fonctionnel de champs à divergence nulle V ,
peut être reformulé sous la forme (A.17). Pour simplifier, nous supposons que le seul
élément à rotationnel nul de V est 0 (dans le cas général, ces éléments forment un
sous-espace vectoriel de dimension finie de V , cf. [2]). Pour l’espace H, on peut choisir l’espace L2 (Ω)3 , ou bien {v ∈ L2 (Ω)3 : div v = 0 dans Ω} puisque J et f sont
à divergence nulle, tous deux munis du produit scalaire (·, ·)H = (·|·). Nous allons
affiner ce choix plus bas.
On peut prouver que l’espace fonctionnel de champs à divergence nulle V possède une
caractéristique fondamentale 11 , à savoir que son injection dans L2 (Ω)3 est compacte
11. Cette propriété n’est pas vraie lorsque Ω = R3 , cf. remarque 3.2.2.
Equations de Maxwell
47
(cf. [80, 10]). En outre, l’espace V est dense dans {v ∈ L2 (Ω)3 : div v = 0 dans Ω},
cf. [30]. Par contre, l’espace V n’est pas dense dans L2 (Ω)3 : en effet, la limite de
toute suite d’éléments de V est nécessairement à divergence nulle ! C’est pourquoi on
choisit H := {v ∈ L2 (Ω)3 : div v = 0 dans Ω}.
Dans ce cas, on peut appliquer le théorème spectral A.3.18 et son corollaire A.3.19
avec la forme a(·, ·) + (·, ·)H , qui est hermitienne et coercive. On déduit de ces résultats qu’il existe une base Hilbertienne de H formées de modes propres (ek )k≥0 ,
ainsi qu’un ensemble de valeurs propres correspondantes (λk )k≥0 (comptées selon leur
multiplicité), tels que 12
Pour tout k ≥ 0
∀v ∈ V, a(ek , v) + (ek , v)H = (λk + 1)(ek |v).
Enfin, ((λk + 1)−1/2 ek )k est une base Hilbertienne de V , et les multiplicités de toutes
les valeurs propres sont finies, avec limk→+∞ λk = +∞. Notons aussi que λk = 0
impliquerait que a(ek , ek ) = 0, c’est-à-dire que ||rot ek || = 0, ce qui est exclu par
hypothèse : λk > 0 pour tout k.
Commençons par résoudre le problème homogène, i.e. nous posons f = 0. En décomposant la solution u ainsi que les conditions initiales sur la base, on trouve
u(t) =
∞
X
uk (t) ek ,
k=0
u0 =
∞
X
uk0 ek ,
u1 =
k=0
∞
X
uk1 ek .
k=0
D’après ce qui précède, le problème (3.51) homogène est équivalent à,
 ′′
 uk + λk uk = 0
u (t = 0) = uk0 , ∀k ≥ 0 .
 ′k
uk (t = 0) = uk1
(3.52)
La solution générale de (3.52) est, sachant que λk > 0,
uk (t) = αk sin(ωk t) + βk cos(ωk t) ,
∀k ≥ 0 ,
où ωk2 = λk et ωk > 0. A l’aide des conditions initiales, on peut déterminer les
constantes (αk , βk ) ∈ R2 :
uk (t) =
uk1
sin(ωk t) + uk0 cos(ωk t),
ωk
∀k ≥ 0 .
Ainsi, la solution générale pour le problème (3.51) homogène s’écrit
12. On peut choisir de raisonner en termes d’opérateurs (cf. [22]) : l’opérateur est A = c2 rot rot
et il est défini sur H, de domaine D(A) := {v ∈ V : rot rot v ∈ L2 (Ω)3 }. On peut montrer que
cet opérateur A est compact, auto-adjoint et défini-positif. En outre, il est à domaine dense dans
H. On en conclut comme ici à l’existence d’une base Hilbertienne de H formée modes propres, et
l’ensemble {λk , k ≥ 0} est appelé le spectre de l’opérateur A : Aek = λk ek pour tout k ≥ 0.
48
c
Patrick
Ciarlet 2013
u(t) =
∞
X
uk
( 1 sin(ωk t) + uk0 cos(ωk t))ek .
ωk
(3.53)
k=0
Considérons maintenant le cas avec second membre non-nul f. On écrit
f=
∞
X
f k ek ,
k=0
de sorte que
 ′′
 uk + ωk2 uk = fk
u (t = 0) = uk0 ,
 ′k
uk (t = 0) = uk1
∀k ≥ 0 .
(3.54)
Pour déterminer une solution particulière, on peut utiliser la méthode de variation
des constantes, pour trouver
Z t
∞
X
1
sin(ωk (t − s)) fk (s) ds ek .
up (t) =
ωk
0
(3.55)
k=0
A l’aide du principe de superposition, on en déduit la solution générale de (3.51), à
savoir
∞ k
X
u1
u(t) =
sin(ωk t) + uk0 cos(ωk t)
ωk
k=0
Z t
1
sin(ωk (t − s)) fk (s) ds
ek .
(3.56)
+
ωk
0
Si l’on examine la formule (3.56), on remarque que les valeurs ωk jouent un rôle
particulier pour l’interprétation physique. En effet, supposons que l’apport en énergie
au système puisse être exprimé par un second membre f(t) tel que
f(t) = gk cos(ωt) ek
(3.57)
avec une valeur (positive) de ω donnée. Dans ce cas, on peut vérifier que, pour la
solution particulière (3.55), on a les expressions suivantes du coefficient devant ek :
1. si ω 6= ωk ,
2. si ω = ωk ,
gk
1
1
{
+
}(cos(ωk t) − cos(ωt)) ;
2ωk ω − ωk ω + ωk
gk
t sin(ωt) .
2ω
Equations de Maxwell
49
Dans le cas 1, tous les termes apparaissant dans (3.56) sont d’amplitude bornée, le
terme principal étant proportionnel à gk (ω − ωk )−1 ωk−1 . Par contre, dans le cas 2, il
existe un ou plusieurs termes dans (3.56), ceux qui s’écrivent (2ω)−1 gk t sin(ωt) pour
les k tels que ωk = ω, d’amplitude non-bornée et égale à (2ω)−1 gk t. C’est ce que l’on
appelle une résonance. Ce phénomène se produit uniquement lorsque le paramètre
d’excitation ω appartient à l’ensemble des ωk . Pour cette raison, les quantités (ωk )k
sont appelées les fréquences propres, à une constante multiplicative près 13 , ou les
fréquences de résonance du système.
On peut également interpréter ce résultat en termes d’énergie. Classiquement (cf.
[10]), on choisit pour fonction-test w = ∂t u dans (3.51), pour trouver formellement
2 ∂ u ∂u
∂u
∂u
2
+
c
= f
.
rot
rot
u
∂t2 ∂t
∂t
∂t
Ceci s’écrit aussi
d
dt
( ) du 2 c2
∂u
1
2
+ ||rot u||
= f
,
2 ∂t 2
∂t
où le premier terme entre accolades représente une énergie “cinétique”, et le second une
énergie “potentielle” du système. Enfin, le terme de droite est la puissance apportée
au système à un instant donné... Si l’on intègre cette dernière équation en temps, on
obtient une relation de conservation de l’énergie (sous forme intégrale)
2
Z t
∂u 2
c
∂u
1
1
2
+ ||rot u|| =
f(s) (s) ds +
ku1 k2 + c2 ||rot u0 ||2 .
2 ∂t
2
∂t
2
0
Z t
(f(s)|∂t u(s)) ds, est d’amplitude bornée
L’énergie apportée au système, à savoir
0
dès que ω 6∈ {ωk , k ≥ 0}, en supposant toujours que f(t) est de la forme (3.57). Au
contraire, l’amplitude est non-bornée si ω = ωk .
Du point de vue de la physique, la résonance correspond à l’excitation d’un mode
propre du système, avec pour résultat une croissance non-bornée de son énergie, ce
qui peut – en théorie – détruire le dispositif dans lequel le système se trouve.
Remarque 3.3.1 Cependant, en pratique, l’excitation exacte d’une fréquence propre
n’est pas possible ; en d’autres termes, on ne peut pas utiliser un input dont la transformée de Fourier comprend une fonction delta de la pulsation ω centrée sur un ωk ,
à savoir δ(ω − ωk ). De fait, les fréquences de l’input décrivent en pratique une bande
étroite autour de la fréquence propre. Enfin, dans tout dispositif réel, il y a toujours
un peu de dissipation. Dans tous les cas pratiques, l’énergie restera finie.
13. On rappelle qu’ω est la pulsation, et que la fréquence correspondante est ω/(2π).
50
c
Patrick
Ciarlet 2013
Construisons pour finir une solution du problème harmonique en temps. Introduisons
pour cela un second membre f périodique en temps, à savoir
f(t, x) = Re(f (x) exp(−ıωt)) ,
avec une fonction f à valeurs complexes et ω > 0. Examinons ce qui se passe si la
solution u de (3.51) adopte la même dépendance en temps pour t suffisamment grand,
de sorte que l’on peut écrire
u(t, x) = Re(u(x) exp(−ıωt)) ,
avec une fonction u à valeurs complexes. Si on injecte l’expression de u dans (3.51)
et que l’on utilise comme précédemment des décompositions sur la base (ek )k≥0 pour
les fonctions spatiales u et f , on aboutit à (avec des notations évidentes),
!
!
X
X
gk ek exp(−ıωt) .
(ωk2 − ω 2 )uk ek exp(−ıωt) = Re
Re
k
k
Or, la relation précédente est équivalente à
(ωk2 − ω 2 ) uk = gk
∀k ≥ 0 .
Plaçons-nous dans le cas où ω appartient à l’ensemble {ωk , k ≥ 0}. Pour qu’une
solution existe, il faut que gk = 0 pour tous les indices k tels que ω = ωk . On en
conclut que, puisque l’on a nécessairement gk = 0 pour ω = ωk , il ne peut pas y avoir
de résonance dans le cas harmonique en temps.
Enfin, d’un point de vue mathématique, on peut aussi conclure à l’aide de l’alternative
de Fredholm, voir le théorème A.3.14.
(i) la valeur ω 2 n’appartient pas à {ωk2 , k ≥ 0} :
il existe une solution et une seule.
(ii) la valeur ω 2 appartient à {ωk2 , k ≥ 0} :
soit Kω l’ensemble (fini) d’indices tels que ωk = ω. Dans ce cas
1. Si gk = 0, ∀k ∈ Kω , alors il existe un espace affine de solutions.
2. Si gk 6= 0, pour au moins un k ∈ Kω , il n’y a pas de solution.
Encore une fois, le cas (ii.2) explique pourquoi d’une part résonance et d’autre part
dépendance en temps périodique sont exclusifs.
4
Modèles approchés
Nous avons précédemment introduit les équations de Maxwell avec soit les champs,
soit les potentiels, pour inconnues. Adoptons maintenant un point de vue différent,
partant de la constatation suivante : un certain nombre de problèmes en électromagnétisme peuvent être résolus numériquement en utilisant des modèles approchés. En
particulier, le coût de la résolution numérique se trouve réduit, pour une précision
des résultats satisfaisante. Les modèles statiques sont des approximations “évidentes”,
qui correspondent à des problèmes pour lesquels les variations temporelles sont “très
lentes”, ou à “fréquence nulle” (avec une pulsation ω = 0). Dans ce cas, on peut négliger toutes les dérivées par rapport au temps. Puis, nous présentons un cadre qui
permet de définir plus systématiquement les modèles approchés (en suivant [40, 73]),
avant d’en étudier trois plus précisément.
4.1 Modèles statiques
Nous considérons ici des problèmes (ainsi que des solutions) indépendants du
temps, c’est-à-dire des équations statiques, dans un milieu hétérogène occupant R3 .
En d’autres termes, nous supposons que ∂t · = 0 dans les équations de Maxwell (1.281.31), avec des densités de charge et de courant non-nulles :
rot E stat = 0,
rot (µ−1 B stat ) = J,
(4.1)
stat
div (ε E ) = ρ, div B stat = 0.
Ci-dessus, la mention stat rappelle que l’on traite d’inconnues statiques. Dans les
deux sous-sections qui suivent, nous allons traiter séparément les cas électrique et
magnétique de façon “classique”. Puis, nous présentons brièvement quelques méthodes
alternatives, moins usitées. Typiquement, ces problèmes peuvent être résolus à l’aide
du théorème de Lax-Milgram A.3.6, dans un cadre fonctionnel approprié...
Remarque 4.1.1 Si l’on se replace dans le cadre des équations harmoniques en
temps (voir §3), les équations statiques peuvent être vues comme des équations avec
ω = 0. Cette interprétation peut s’avérer utile pour réaliser une analyse asymptotique.
52
c
Patrick
Ciarlet 2013
4.1.1 Electrostatique
L’espace R3 étant topologiquement trivial, l’Eq. rot E stat = 0 entraîne que E stat =
−grad φstat , où φstat est le potentiel électrostatique, déterminé à une constante près.
Comme par ailleurs div (εE stat ) = ρ, le potentiel φstat est solution du problème
électrostatique
−div (ε grad φstat ) = ρ .
En particulier, si l’on est dans l’espace libre (R3 considéré comme un milieu homogène), la permittivité électrique ε ne dépend pas de la variable d’espace x, et l’on
aboutit au problème électrostatique classique d’inconnue φstat (voir par exemple le
Chapitre 3 de [44, Volume II])
−∆φstat =
ρ
.
ε0
(4.2)
On reconnaît l’équation de Laplace-Poisson. C’est donc un problème de nature elliptique (et statique), bien plus simple et bien moins coûteux à résoudre (d’un point de
vue numérique) que l’ensemble constitué par les équations de Maxwell. Si on note
pour recoul’approximation numérique calculée, on pose E stat
= −grad φstat
φstat
h
h
h
vrer l’approximation numérique du champ électrostatique.
On peut également résoudre l’équation de Laplace-Poisson dans un domaine de calcul
strictement inclus dans R3 , qu’il soit borné ou pas. Il faut dans ce cas déterminer des
conditions aux limites ad hoc pour le champ électrostatique, puis pour le potentiel
électrostatique, ces conditions devant être compatibles entre elles. Le cas classique est
celui de la condition de conducteur parfait (5.2) sur la frontière du domaine, à savoir
E stat × n = 0, où n est un champ de vecteurs unitaires, normaux à la frontière. On
peut prouver que cette condition est équivalente à φstat = cste sur chaque composante
connexe de la frontière.
4.1.2 Magnétostatique
Si on exploite encore une fois le caractère topologiquement trivial de R3 , on écrit
cette fois B stat = rot Astat , où Astat est le potentiel magnétostatique, déterminé à un
gradient près. Pour lever l’indétermination, on fixe la divergence du potentiel Astat :
div Astat = g, avec une fonction g donnée (dans le cas de la jauge de Coulomb du
§1.4.2, g = 0). En effet, on retrouve une équation de Laplace-Poisson pour la partie
en gradient de Astat . Ainsi, Astat est solution du problème magnétostatique
rot (µ−1 rot Astat ) = J ,
div Astat = g .
Ce problème est plus ardu à résoudre que le problème électrostatique... D’une part
il met en jeu une solution à valeurs vectorielles, et d’autre part l’équation sur la
Equations de Maxwell
53
divergence peut-être vue comme une contrainte sur la solution de l’équation en birotationnel. Comme précédemment, si on note Astat
l’approximation numérique calh
stat
culée, on pose B stat
=
rot
A
pour
obtenir
l’approximation
numérique du champ
h
h
magnétostatique.
Dans un domaine de calcul strictement inclus dans R3 , borné ou pas, il faut déterminer des conditions aux limites pour le champ et pour le potentiel magnétostatiques,
compatibles entre elles. A nouveau, le cas classique est celui de la condition de conducteur parfait sur la frontière du domaine, à savoir (5.1) : B stat ·n = 0. On peut prouver
que cette condition est équivalente à div Γ (Astat × n) = 0 sur la frontière. En pratique, on peut même choisir un potentiel magnétostatique Astat tel que Astat × n = 0
sur la frontière (cf. [49]), ce qui est bien sûr suffisant pour recouvrer la condition aux
limites sur B stat .
4.1.3 Reformulations des problèmes statiques
On peut raisonner différemment ! Nous présentons ci-après deux aternatives possibles. Des liens existent entre ces deux approches. Nous renvoyons à [10] pour plus
de détails.
Problèmes en div-rot
La première approche alternative revient à considérer le problème (4.1) d’inconnues E stat et B stat tel quel. En effet, si on suppose le milieu homogène pour fixer
les idées, on remarque que, pour chaque champ statique, on connaît sa divergence
et son rotationnel. A partir de cette observation, il est suffisant de savoir résoudre
de tels problèmes, parfois appelés problèmes en div-rot , problèmes dont la résolution
numérique fournit alors directement une approximation des champs.
Dans un domaine de calcul strictement inclus dans R3 , borné ou pas, il faut ajouter
des conditions aux limites. Par exemple, les conditions de conducteur parfait sur la
frontière du domaine, à savoir (5.1) et (5.2). Aux équations du problème (4.1), on
ajoute donc les deux conditions E stat × n = 0 et B stat · n = 0 sur la frontière.
Problèmes du second ordre
Formellement, on peut reprendre l’approche du cas harmonique en temps, avec
ω = 0, pour retrouver un résultat comparable à celui du §3.1.
Appliquons l’opérateur rotationnel à l’équation rot (µ−1 B stat ) = J, pour trouver
rot rot (µ−1 B stat ) = rot J. Au contraire du cas des vibrations “entretenues”, on a
54
c
Patrick
Ciarlet 2013
automatiquement ω = 0, ce qui implique de conserver la condition sur la divergence
du champ, à savoir que B stat est solution de
rot rot (µ−1 B stat ) = rot J et div B stat = 0.
Lorsque µ est constante, ce problème en B stat présente quelques similitudes avec le
problème en Astat avec g = 0 du §4.1.2.
Appliquons maintenant l’opérateur rotationnel à l’équation rot E stat = 0, pour trouver rot rot E stat = 0. On en déduit que E stat est solution de
rot rot E stat = 0 et div ε E stat = ρ.
Si on suppose que le milieu est homogène (ε et µ constantes), les trois problèmes
du second ordre (resp. en Astat , B stat , E stat ) peuvent être reformulés une nouvelle
fois. En effet, on peut choisir de retrancher resp. grad div Astat , grad div B stat ,
grad div E stat à chacun des bi-rotationnels. A l’aide de l’identité (A.1), on retrouve
des équations de Laplace-Poisson vectorielles 1 : dans ce cas, on parle habituellement
d’approche régularisée.
4.2 Une hiérarchie de modèles approchés
Afin de définir un modèle approché, on doit négliger un ou plusieurs termes dans
les équations de Maxwell. L’idée sous-jacente est d’identifier des grandeurs caractéristiques et, si leur valeur est petite, de supprimer les termes dont ils font partie dans
les équations. Pour construire une hiérarchie de modèles approchés, on peut réaliser
une analyse asymptotique de ces équations par rapport à une ou plusieurs combinaisons de ces grandeurs caractéristiques, considérées comme des “petits” paramètres :
la suite de modèles est hiérarchique, au sens où l’ajout d’un terme supplémentaire
dans le développement en puissances successives des “petits” paramètres peut fournir
un nouveau modèle (a priori plus proche des équations de Maxwell). Ce principe
général, à savoir l’identification de grandeurs caractéristiques, puis le développement
en puissances successives du/des “petit(s)” paramètre(s) et construction de modèles,
est très fréquemment utilisé en physique. D’un point de vue numérique, les modèles
approchés sont surtout utiles s’ils coïncident avec une configuration ayant une signification précise en physique. Ils sont également retenus s’ils permettent une résolution
numérique plus rapide. Voir les travaux de Barthelmé [9] pour des exemples sur le
sujet. Nous montrons maintenant comment construire formellement de tels modèles
approchés, et nous retrouvons parmi d’autres les modèles statiques au cours du processus.
1. Avec une contrainte sur la divergence du champ.
Equations de Maxwell
55
Nous nous intéressons aux équations de Maxwell dans le vide (1.33-1.36). Dans une
première étape, introduisons une mise à l’échelle de ces équations, basée sur les grandeurs caractéristiques ci-dessous :
ℓ : longueur caractéristique,
t : temps caractéristique,
v : vitesse caractéristique, où v = ℓ/t,
E, B : champs caractéristiques,
ρ, J : densités caractéristiques .
Dans une deuxième étape, on “adimensionalise” les équations de Maxwell, en explicitant les dépendances par rapport aux grandeurs caractéristiques. Pour cela, posons :
∂
1 ∂
=
∂xi
ℓ ∂x′i
1 ∂
∂
=
t = t t′ ⇒
∂t
t ∂t′
′ ′
E(t, x) = E E (t , x′ ) etc.
x = ℓ x′ ⇒
Nous expliquons maintenant comment adimensionaliser la loi d’Ampère (1.33).
1
∂E
− rot B = −J
∂t
µ0
′
ε0 E ∂E
B
⇐⇒
−
rot ′ B ′ = −JJ ′
t ∂t′
µ0 ℓ
ε0
µ0 ℓ J ′
ε0 µ0 ℓ E ∂E ′
− rot ′ B ′ = −
J
′
∂t
tB
B
µ0 ℓ J ′
v E ∂E ′
− rot ′ B ′ = −
⇐⇒
J .
′
c cB ∂t
B
⇐⇒
On procède de même pour les équations (1.34-1.36), pour arriver à
∂E ′
µ0 ℓ J ′
J,
− rot ′ B ′ = −
′
∂t
B
∂B ′
+ rot ′ E ′ = 0,
∂t′
ℓρ ′
ρ,
div ′ E ′ =
ε0 E
div ′ B ′ = 0.
v
c
v
c
E
cB
cB
E
En outre, l’équation de conservation de la charge (1.10) donne :
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
56
c
Patrick
Ciarlet 2013
ρ v ∂ρ′
+ div ′ J ′ = 0 .
′
∂t
J
(4.7)
Nous introduisons le paramètre η = v/c puis, pour ℓ, t et ρ données, nous choisissons
E, B et J tels que
ρℓ
E
B
.
, B = , J = cρ =
E=
ε0
c
ℓµ0
A l’aide des champs adimensionalisés E ′ et B ′ , on peut finalement réécrire les équations de Maxwell sous la forme
∂E ′
− rot ′ B ′ = −J ′ ,
∂t′
∂B ′
η ′ + rot ′ E ′ = 0,
∂t
div ′ E ′ = ρ′ ,
η
div ′ B ′ = 0 .
L’équation de conservation de la charge devient :
η
∂ρ′
+ div ′ J ′ = 0 .
∂t′
Si on suppose que la vitesse caractéristique v est “petite” par rapport à la vitesse de
la lumière c, le paramètre η est tel que
η=
v
<< 1 .
c
(4.8)
Cette hypothèse est habituellement appelée l’approximation basse fréquence, puisqu’elle correspond à des variations “lentes” par rapport au temps, soit après une
Transformation de Fourier en temps à des “petites” pulsations/fréquences.
Evidemment, les modèles statiques correspondent à η = 0 dans les équations cidessus. En ce sens, ce sont des approximations d’ordre 0 des équations de Maxwell. Si
on note (E ex , B ex ) le champ électromagnétique exact, on peut prouver que, cf. [40]
≤ CT η,
||E ex − E stat || + ||B ex − B stat || 0
C (0,T )
où CT est une constante qui dépend des données de l’instant initial jusqu’à l’instant
T . Si η est “petit”, le champ électromagnétique évoluera “lentement” en temps. Dans
la suite, nous proposons quelques modèles plus précis.
Equations de Maxwell
57
4.3 Modèles quasistatiques
Pour disposer de modèles approchés plus généraux, on peut choisir de différencier les variations temporelles respectives des champs électrique et magnétique. Par
exemple, après avoir adimensionalisé les équations de Maxwell, c’est-à-dire après (4.34.6), nous choisissons 2
v cB
v E
<< 1 et
≈ 1.
c E
c cB
Selon le principe de construction des modèles approchés (cf. §4.2), on néglige formellement dans les équations (4.3-4.6) le terme avec (v/c)(cB/E) en facteur, c’est-à-dire
qu’on néglige le terme ∂t′ B ′ dans (4.4). On obtient alors le modèle quasi-statique électrique, qui revient à négliger le terme d’induction ∂t B. Formulé à l’aide des champs
physiques (non adimensionnés) E qse et B qse , il s’écrit sous la forme
rot E qse = 0,
1
div E qse = ρ,
ε0
(4.9)
(4.10)
rot B qse = µ0 J +
div B qse = 0.
1 ∂E qse
,
c2 ∂t
(4.11)
(4.12)
On peut prouver (voir [40, 73]) que ce modèle est une approximation d’ordre un pour
le champ magnétique et d’ordre 0 pour le champ électrique des équations de Maxwell :
≤ CT η, ||B ex − B qse || 0
≤ CT η 2
||E ex − E qse || 0
C (0,T )
C (0,T )
où CT est comme précédemment. Alternativement, on peut choisir 3
v E
<< 1
c cB
v cB
≈ 1,
c E
et
ce qui conduit cette fois à négliger ∂t′ E ′ dans (4.3). C’est le modèle quasi-statique
magnétique, qui revient à négliger le courant de déplacement ε0 ∂t E et qui s’écrit
avec les champs physiques
rot B qsm = µ0 J ,
div B
qsm
(4.14)
= 0,
rot E qsm = −
div E qsm =
(4.13)
∂B qsm
,
∂t
1
ρ.
ε0
2. Par rapport au paramètre η, ceci est équivalent à η ≈ (cB)/E et η 2 << 1.
3. Par rapport au paramètre η, ceci est équivalent à η ≈ E/(cB) et η 2 << 1.
(4.15)
(4.16)
58
c
Patrick
Ciarlet 2013
Ce modèle est une approximation d’ordre 0 pour le champ magnétique et d’ordre un
pour le champ électrique des équations de Maxwell. On a cette fois
≤ CT η 2 , ||B ex − B qsm || 0
≤ CT η
||E ex − E qsm || 0
C (0,T )
C (0,T )
où CT est comme précédemment.
Apparemment, il n’y a pas de différence entre les équations quasi-statiques électriques
(4.9-4.10) complétées des équations quasi-statiques magnétiques (4.13-4.14) d’une
part, et les équations statiques (4.1) d’autre part. Néanmoins, on remarque que les
seconds membres peuvent dépendre du temps dans le cas quasi-statique, alors qu’ils
sont toujours indépendants du temps dans le cas statique. Par exemple, dans le cas
quasi-statique électrique, ρ peut dépendre du temps dans (4.10). Ainsi, la différence
entre "quasi-statique" et "statique" n’est pas qu’une subtilité de terminologie : d’un
point de vue numérique, résoudre un problème quasi-statique (avec un second membre
dépendant du temps !) revient à résoudre une suite de problèmes statiques, une fois
la discrétisation en temps réalisée.
4.4 Modèle de Darwin
Nous introduisons pour finir un dernier modèle, connu sous le nom de modèle de
Darwin [38]. Pour cela, on réalise une décomposition de Helmholtz du champ électrique, de la forme
E = EL + ET .
(4.17)
Ci-dessus, E L , appelé la partie longitudinale du champ, est caractérisé par rot E L =
0. Quant à E T , appelé la partie transverse du champ, il est caractérisé par div E T = 0.
Pour définir le modèle, on choisit de négliger le courant de déplacement de la partie
transverse – ε ∂t E T – dans la loi d’Ampère. En ce sens, ce modèle est plus sophistiqué
que le modèle quasi-statique magnétique 4 ! D’ailleurs, on peut établir [40, 72] que le
modèle de Darwin est une approximation d’ordre deux pour le champ électrique,
respectivement d’ordre un pour le champ magnétique, par comparaison à la solution
des équations de Maxwell. Si on note (E D , B D ) les champs physiques solution du
modèle de Darwin, on a cette fois
ex
D 3
ex
D ≤ CT η , ||B − B || 0
≤ CT η 2
||E − E || 0
C (0,T )
C (0,T )
où CT est comme précédemment.
4. Pour construire le modèle quasi-statique magnétique, tout le déplacement électrique ε(∂t E L +
∂t E T ) est négligé.
Equations de Maxwell
59
On posant E D = E L,D + E T,D , le modèle de Darwin s’écrit
−∆φD =
ρ
,
ε0
E L,D = −grad φD ,
rot rot B D = µ0 rot J ,
rot E T,D = −
∂ D
B ,
∂t
div B D = 0 ,
div E T,D = 0 .
(4.18)
(4.19)
(4.20)
On doit résoudre trois problèmes elliptiques, à comparer aux problèmes hyperboliques
(les équations de Maxwell). Ces problèmes font intervenir des opérateurs indépendants
du temps. En conclusion, notons que la difficulté principale lorsqu’on choisit le modèle
de Darwin, dans un domaine borné, consiste en la définition de conditions aux limites
convenables pour les deux parties du champ E D . Plus précisément, il faut pouvoir
“répartir” la condition aux limites en E D sur deux conditions aux limites sur E L,D
et E T,D . Nous renvoyons à [40, 32] pour plus de détails.
5
Conditions aux limites
Lorsque le domaine d’intérêt n’est pas R3 tout entier, mais plutôt un volume
strictement inclus dans R3 , on doit ajouter des conditions aux équations de Maxwell
différentielles (1.6-1.9), pour “fermer” celles-ci. Ces conditions sont habituellement
imposées sur la frontière du domaine, et elles sont donc appelées des condition aux
limites. Dans le même ordre idée, lorsque le domaine est non-borné dans au moins
une direction, il est indiqué – d’un point de vue numérique – de le borner. Pour
définir le domaine de calcul, on tronque alors le domaine original. Se faisant, on introduit une frontière artificielle. En complément, on impose une condition aux limites
absorbante sur cette frontière, de sorte que les ondes planes propagatives puissent
sortir du domaine de calcul sans réflexion (significative). Dans le même ordre d’idée,
une autre possibilité consiste en l’introduction – non plus d’une frontière complétée
d’une condition aux limites – d’une couche mince dissipative, dans laquelle les ondes
planes peuvent se propager tout en étant amorties. On nomme cette technique les
couches parfaitement adaptées. Dans les configurations mentionnées ci-dessus, il sera
intéressant d’obtenir des identités d’énergie, pour déterminer l’évolution de l’énergie
électromagnétique.
5.1 Conditions d’interface et conditions aux limites
Comme on l’a remarqué ci-dessus, les équations de Maxwell différentielles sont
insuffisantes pour caractériser complètement les champs dans un volume strictement
inclus dans R3 . D’un autre côté, nous avons vu que les équations de Maxwell intégrales
donnent des conditions d’interface, respectivement décrites par l’Eq. (1.11) et l’Eq.
(1.14). Comment utiliser ces conditions ? Appelons O le (volume ou) domaine d’intérêt, et notons ∂O sa frontière. Bien sûr, on peut aussi voir ∂O comme l’interface entre
O et R3 \ O, et par conséquent les champs électromagnétiques vérifient les conditions
(1.11) et (1.14) sur ∂O. Par ailleurs, on connaît le comportement des champs dans
R3 \ O (sinon, on devrait les calculer !) ou, de façon plus réaliste, dans un domaine
′
extérieur O′ inclus dans R3 \ O et tel que O ∩ O = ∂O. Par conséquent, on récolte
62
c
Patrick
Ciarlet 2013
des informations utiles concernant le comportement des champs sur la frontière ∂O.
Par exemple, supposons que le domaine O soit borné, voire partiellement borné (typiquement dans un direction, comme le “tuyau” de la figure 5.1) et qu’il soit inclus
au moins localement dans un conducteur parfait. Alors, comme on l’a vu au cha1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
O’
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
n
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
1111111
0000000
1111111
0000000
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
O
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
0000000000000000000000000
1111111111111111111111111
Figure 5.1. Un domaine “tuyau”.
pitre 1, les champs électromagnétiques disparaissent hors de O (cf. notre discussion
sur l’épaisseur de peau et sur le concept de conducteur parfait). On déduit alors de
la condition (1.11b) que
B · n = 0 sur ∂O ,
(5.1)
où n est un vecteur unitaire, normal à ∂O, et dirigé de O vers O′ . On parle habituellement de normale unitaire à ∂O, extérieure (par rapport à O). Par contre, on
ne peut tirer aucune conclusion a priori de la condition (1.11a), puisqu’il est possible
que la densité de charge surfacique σ∂O sur ∂O soit non-nulle (l’effet de peau infini).
A partir de la condition (1.14a), on obtient cette fois
E × n = 0 sur ∂O ,
(5.2)
alors qu’aucune relation ne découle de la condition (1.14b).
On en conclut d’une part que la composante normale Bn = B · n|∂O du champ
B disparaît sur ∂O, et d’autre part que les composantes tangentielles E T = n ×
(E × n)|∂O ) du champ E disparaissent également sur ∂O. On appelle les conditions
précédentes des condition aux limites de conducteur parfait.
Remarque 5.1.1 D’un point de vue mathématique, ces conditions sont suffisantes
pour assurer l’unicité du champ électromagnétique : voir §5.3. Il est à noter que la
condition (5.1) peut être déduite de la condition (5.2), alors que la réciproque n’est
pas vraie.
Du point de vue de la propagation d’onde, la condition aux limites de conducteur
parfait est une condition de réflexion totale. En effet, comme les champs électromagnétiques disparaissent totalement dans le conducteur parfait, on peut dire que la
Equations de Maxwell
63
frontière réfléchit complètement toute onde plane incidente à celle-ci (ie. la vitesse
de phase v de l’onde est telle que v · n > 0, au moins localement). Par conséquent,
le coefficient de réflexion, égal au rapport entre l’amplitude de l’onde réfléchie sur
celle de l’onde incidente, vaut toujours un. En termes énergétiques, aucune énergie
n’est transmise au domaine extérieur O′ . Ainsi, le flux d’énergie électromagnétique
au travers de la frontière est nul, et l’énergie reste contante dans le domaine O en
l’absence de sources (§5.3).
Plus généralement, il existe des milieux plus ou moins absorbants. Ceci se produit
par exemple lorsque le milieu extérieur (celui constituant O′ ) est un conducteur, mais
pas un conducteur parfait. Dans ce cas, les champs ne disparaissent pas totalement à
l’intérieur de O′ : ainsi, une onde provenant du domaine O pénètre dans le domaine
extérieur O′ . Plus précisément, considérons une onde plane dans le domaine O, que
l’on suppose constitué d’un milieu homogène, incidente à la frontière ∂O. Elle va pénétrer – au moins partiellement – dans O′ , où elle sera amortie. Dans le cas particulier
√
où ∂O est plane et que la vitesse de phase de l’onde plane est égale à c = 1/ εµ n,
on vérifie facilement par un calcul direct que l’on a la relation
r
µ
E×n+
n × (H × n) = 0 .
(5.3)
ε
En extrapolant, pour pouvoir prendre en compte ce phénomène dans le cas général,
on peut introduire une nouvelle condition aux limites, appelée condition aux limites
d’impédance :
E × n + Zn × (H × n) = 0 sur ∂O .
(5.4)
Dans sa forme la plus simple,
p l’impédance Z est un nombre caractérisant le milieu.
L’exemple trivial est Z = µ/ε : en effet, ce choix permet par construction à une
√
onde plane de vitesse de phase c = 1/ εµ n de sortir du domaine O sans être
réfléchie (lorsque ∂O est plane). Plus généralement, Z peut être un opérateur (local
en espace), et dans ce cas la condition aux limites d’impédance généralisée est E ×
n|∂O + Z(n × (H × n)|∂O ) = 0. En termes d’énergie, ce choix de condition aux limites
– avec un choix ad hoc de Z ou de l’opérateur Z – doit entraîner la décroissance de
l’énergie dans le domaine O en l’absence de sources (cf. §5.3). Cette condition (5.4)
est habituellement utilisée pour des champs harmoniques en temps (voir toutefois [8]
pour un exemple avec des champs dépendants du temps de façon quelconque), et Z
ou Z sont alors des fonctions de la pulsation ω.
5.2 Domaine non borné et conditions aux limites
Ces conditions aux limites sont souvent insuffisantes pour modéliser efficacemment
des problèmes issus de situations pratiques. Considérons ci-dessous les équations de
Maxwell, à résoudre dans un domaine O. Si le domaine n’est pas borné, il est préférable de l’ajuster avant de réaliser des calculs. Cette difficulté se présente pour
64
c
Patrick
Ciarlet 2013
des problèmes extérieurs (diffraction, etc.), ainsi que pour des problèmes intérieurs
(guides d’onde, etc.), voir les figures 5.2 (gauche) et 5.3 (gauche). On introduit le
ΓA
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
00
11
000
111
00
11
00000
11111
000
111
00
11
00
11
00000
11111
000
111
00
11
00
11
00000
11111
00
11
00
11
00000
11111
00
11
00000
11111
00
11
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
Γ
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
Figure 5.2. Ajustement d’un problème de diffraction.
1111111111111
0000000000000
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
00
11
0000000000000
1111111111111
00
11
0000000000000
1111111111111
00
11
0000000000000
1111111111111
00
11
0000000000000
1111111111111
00
11
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
0000000000000
1111111111111
ΓA
Γ
Γ
ΓA
Figure 5.3. Ajustement d’un problème intérieur.
domaine de calcul Ω, égal 1 à O ∩ B(O, R), avec R > 0 bien choisi. Dans ce cas, la
frontière du domaine de calcul, ∂Ω, est décomposée en deux parties :
– une partie “réelle”, au sens où elle est incluse 2 dans ∂O : Γ = int∂Ω (∂Ω ∩ ∂O).
– l’autre partie de la frontière2 , notée ΓA , qui est purement “artificielle”.
Pour un problème de diffraction autour d’un objet borné, le rayon R est choisi de
sorte que ΓA ait une intersection vide avec la frontière “réelle” ∂O, comme à la figure
5.2 (droite). En d’autres termes, on fait en sorte que ∂Γ ∩ ∂ΓA = ∅, avec Γ = ∂O,
ΓA = ∂B(O, R).
Au contraire, pour un problème intérieur, R est habituellement choisi de sorte que ΓA
1. Au lieu de la boule B(O, R), on peut choisir tout volume raisonnable dans lequel on doit
réaliser les calculs, tel qu’un cube comme à la figure 5.3 (droite), etc.
2. Les frontières Γ et ΓA sont par convention des sous-ensembles ouverts de ∂Ω.
Equations de Maxwell
65
ait une intersection avec la frontière “réelle” : ∂O ∩∂ΓA 6= ∅, voir la figure 5.3 (droite).
Dans le dernier cas, il convient d’être prudent, et d’éviter une frontière artificielle ΓA
dont l’intersection avec ∂O comprenne des points ou des arêtes autour desquels les
champs électromagnétiques peuvent être “intenses”, typiquement les coins et/ou les
arêtes rentrants de ∂O (cf. [37]).
Notons (E ex , B ex ) la solution (exacte) du problème posé dans O, et notons (E, B)
la solution (qui peut être différente de la restriction de (E ex , B ex ) à Ω) du problème
posé dans Ω. Ici, le terme “problème” englobe d’une part les équations de Maxwell
dans le domaine, et d’autre part les conditions aux limites sur la frontière du domaine
sus-mentionné.
On impose comme précédemment sur Γ une condition aux limites qui modélise le
comportement du milieu extérieur. Par ailleurs, on a aussi besoin d’une condition
aux limites sur la frontière artificielle ΓA . Revenons au cas d’une onde plane avec une
vitesse de phase v : lorsque v · n > 0, on dit que l’onde est sortante, alors qu’on dit
que l’onde est entrante si au contraire v · n < 0. Physiquement, on doit modéliser le
comportement suivant : les ondes électromagnétiques sortantes devraient sortir librement du domaine de calcul Ω, c’est-à-dire sans être réfléchies sur la frontière. De façon
équivalente, les ondes sortantes sont absorbées au passage de la frontière artificielle,
et la condition correspondante est appelée une condition aux limites absorbante.
5.2.1 Conditions aux limites absorbantes
Il est possible de construire une condition aux limites absorbante exacte, que l’on
appelle habituellement une condition aux limites transparente : dans ce cas, la propagation des ondes n’est pas perturbée au franchissement de la frontière artificielle.
On peut l’écrire sous la forme E ex × n|ΓA + T(n × (B ex × n)|ΓA ) = 0, où T est
un opérateur pseudo-différentiel (noter les similitudes avec la condition aux limites
d’impédance généralisée).
L’action de l’opérateur T peut être exprimée de deux façon équivalentes. Soit T est vu
comme un opérateur de transfert qui relie la trace tangentielle de l’induction magnétique à sa contrepartie électrique, et son action est décrite à l’aide d’un développement
en série d’harmoniques sphériques. Soit, on utilise une représentation intégrale des
champs (dans Ω et dans R3 \ B(O, R)), qui est complètement déterminée par les
valeurs des traces tangentielles de ceux-ci sur ΓA .
Mathématiquement, si on impose la condition aux limites transparente sur ΓA , on
peut prouver que la restriction des champs exacts (E ex , B ex ) au domaine de calcul
Ω est égale à (E, B). De façon équivalente, on peut construire un prolongement des
champs (E, B) au domaine O qui coïncide avec la solution exacte.
Cependant, la condition aux limites transparente est non-locale à la fois en espace et
en temps : pour les mises en œuvre pratiques, il est donc impossible d’utiliser l’opéra-
66
c
Patrick
Ciarlet 2013
teur T tel que... Par conséquent, pour des applications numériques, on doit approcher
son action. Par exemple, on peut choisir un développement avec un nombre fini de
termes lorsque T est vu comme un opérateur de transfert (voir ci-dessous). Ou bien,
on peut approcher les représentations intégrales à l’aide d’une Méthode d’Eléments
Finis Frontière.
Il est aussi possible de construire des conditions aux limites approchées, que l’on
regroupe sous le vocable de condition aux limites absorbante, par analogie avec ce
que l’on a expliqué plus haut. Dans le même ordre d’idées, il est souvent nécessaire
de modéliser des ondes entrantes, provenant de l’infini : plus précisément, ces ondes
entrantes devraient pouvoir entrer dans le domaine de calcul Ω. Pour décrire ces
ondes, on peut utiliser des fonctions (dénotées e⋆ et b⋆ dans la suite) définies sur la
√
frontière artificielle ΓA . Dans un milieu homogène, on a c = 1/ εµ, et on peut écrire
un jeu de conditions aux limites pour les équations de Maxwell comme ci-dessous :
(E − cB × n) × n = e⋆ × n sur ΓA ,
e⋆ étant une donnée,
(5.5)
ou, de façon équivalente,
(cB + E × n) × n = c b⋆ × n sur ΓA ,
b⋆ étant une donnée.
(5.6)
On peut construire ces conditions en approchant localement la frontière ΓA par son
plan tangent. Qui plus est, on remarque que toute onde plane qui se propage normalement à la frontière, n’est pas réfléchie si on a e⋆ = 0 ou b⋆ = 0 (on retrouve la
relation (5.3)). Par ailleurs, lorsqu’on choisit e⋆ 6= 0 ou b⋆ 6= 0, les conditions (5.5-5.6)
permettent à une onde plane entrante particulière se propageant normalement à la
frontière d’entrer librement dans le domaine : cette onde plane entrante particulière,
qui dépend du choix de e⋆ ou b⋆ , n’est pas réfléchie. Les conditions (5.5-5.6) sont
appelées les condition aux limites de Silver-Müller [68].
Il est clair dans ce cas que l’on choisit des conditions aux limites qui sont des approximations de la condition aux limites transparente : par conséquent, le champ électromagnétique (E, B) est différent de la restriction à Ω des champs exacts (E ex , B ex ).
Si on dérive l’Eq. (5.6) par rapport au temps et qu’on utilise la trace de la loi de
Faraday sur la frontière, on aboutit à une autre condition aux limites de Silver-Müller,
à savoir
∂b⋆
∂
[(E × n) × n] − c(rot E) × n = c
× n sur ΓA .
(5.7)
∂t
∂t
Le principal attrait de cette condition est que seul le champ électrique apparaît,
comme pour la condition (5.2). On peut facilement obtenir une condition aux limites
de Silver-Müller qui ne fait intervenir que l’induction magnétique en utilisant cette
fois la trace de la loi d’Ampère.
Equations de Maxwell
67
Il est également possible, comme on l’a déjà mentionné, d’approcher directement
la condition aux limites transparente. Ceci peut notamment être réalisé lorsque la
frontière artificielle est “régulière”, à l’aide d’un développement de Taylor ou rationnel
(de Padé) de l’opérateur T par rapport à un petit paramètre. A la limite des hautes
\
fréquences, le (petit) paramètre est égal à l’angle d’incidence (d,
n) des ondes sur
ΓA . Si on ne conserve que le terme d’ordre 0, on retrouve l’Eq. (5.6) avec second
membre b⋆ = 0. Si l’on conserve les termes d’ordre 0 et 1, on construit a priori une
nouvelle condition aux limites absorbante 3 . Cependant, dans le cas particulier où la
frontière artificielle est une sphère ΓA = ∂B(O, R), la “nouvelle” condition est en
fait toujours identique à (5.6). En d’autres termes, la condition aux limites “basique”
de Silver-Müller, obtenue en assimilant ΓA à son plan tangent, est toujours valable
jusqu’à l’ordre 1 inclus, dans cette géométrie particulière.
5.2.2 Précision d’une condition aux limites absorbantes
Dans un milieu homogène, on peut mesurer la précision d’une condition aux limites
absorbante à l’aide d’une analyse par ondes planes : une onde plane de vitesse c = c d
√
(c = 1 εµ), incidente à ΓA , est partiellement réfléchie (et partiellement réfractée).
Le coefficient de réflexion (le rapport de l’amplitude de l’onde réfléchie sur celle de
\
l’onde incidente) dépend de l’angle d’incidence θ = (d,
n) ∈] − π/2, π/2[. Lorsque le
coefficient de réflexion se comporte selon
1 − cos θ α
= O(θ 2α ),
1 + cos θ
on dit que la condition aux limites absorbante est d’ordre α. A l’aide de cette échelle,
si l’on suppose que ΓA est plane, on trouve que la condition de Silver-Müller (5.7) est
d’ordre 1, alors que la condition aux limites de conducteur parfait est, par construction, d’ordre 0. On peut aussi construire des conditions aux limites absorbantes
d’ordre plus élevé [59].
Remarque 5.2.1 Les conditions aux limites ne sont pas équivalentes les unes aux
autres. En d’autres termes, l’imposition de deux conditions aux limites différentes sur
ΓA donne deux champs électromagnétiques différents.
Comme déjà mentionné, les conditions aux limites approchées, telles que celles de
Silver-Müller, apparaissent comme des alternatives à l’approximation numérique directe de la condition transparente. En particulier, les conditions (5.5-5.6) ou (5.7),
utilisées en complément des équations de Maxwell différentielles (et par exemple d’une
3. Par exemple (voir [76]), si la frontière artificielle ΓA est un cylindre de rayon R et d’axe Oz,
on trouve
c
c
∂
+
[(E × n) × n] + Eθ eθ − c(rot E) × n = 0 sur ΓA ,
∂t
2R
R
où le champ électrique est exprimé en coordonnées cylindriques E = Er er + Eθ eθ + Ez ez .
68
c
Patrick
Ciarlet 2013
condition de conducteur parfait sur Γ ), conduisent à un problème bien posé (cf. [76] ;
voir aussi §5.3.2). En pratique, la condition aux limites de Silver-Müller est suffisamment précise pour bien approcher numériquement la plupart des problèmes intérieurs
et, qui plus est, elle est très simple à mettre en œuvre. Au contraire, pour des problèmes extérieurs, l’utilisation d’une approximation d’ordre plus élevé de la condition
transparente est recommandée. Mais l’utilisation d’une condition aux limites plus
précise peut conduire à des problèmes mal posés. Voir §5.2.3 pour une alternative.
Pour finir, notons que l’on peut utiliser ces conditions aux limites absorbantes pour
des problèmes harmoniques en temps.
5.2.3 Couches dissipatives
La dernière technique que nous développons a été initialement proposée par JeanPierre Bérenger [15, 16]. Pour ajuster le domaine, on utilise non pas une frontière
artificielle, mais une, ou un ensemble de, couches artificielles, faites de milieux artificiels. En outre, ces couches artificielles, et les milieux les constituant, sont conçues
de sorte à satisfaire certains critères :
(i) Les interfaces entre le domaine de calcul “réel” et une couche artificielle ou
entre deux couches artificielles sont planes.
(ii) Les ondes planes électromagnétiques qui se propagent dans les milieux artificiels sont atténuées : ces milieux sont absorbants.
(iii) Aux interfaces entre les couches artificielles et le domaine de calcul “réel”,
les ondes planes ne sont jamais réfléchies, quel que soit l’angle d’incidence.
(iv) Aux interfaces entre deux couches artificielles, les ondes planes ne sont jamais
réfléchies, quel que soit l’angle d’incidence.
Tout d’abord, on doit concevoir plusieurs types de couches artificielles. Elles sont
respectivement désignées par Lx , Ly , Lz , selon la direction – constante (cf. (i)) – du
vecteur normal (nI = ex , ey , ez ) à l’interface entre le domaine de calcul “réel” et chacune des couches artificielles qui l’entourent (voir la figure 5.4 (gauche)). Pour remplir
les critères (ii-iii), on doit ajuster de façon précise les conductivités dans les milieux
artificiels. Qui plus est, en plus de la conductivité habituelle σ, on doit également
introduire un conductivité magnétique σ ⋆ telle que, dans le mileu artificiel, la loi de
Faraday devient ∂t B art +rot E art = σ ⋆ H art . On doit également découper l’induction
magnétique en deux parties, et dupliquer la loi de Faraday sur ces deux parties. Ce
faisant 4 , on a introduit de nouveaux degrés de liberté, et c’est ce qui permet en fait
de construire les couches, milieux (et champs) artificiels qui répondent aux critères
(i-iv).
Ensuite, pour raccorder deux couches, par exemple Lx et Ly , on introduit une autre
couche artificielle Lxy , de sorte que (iv) est vérifiée aux interfaces ∂Lx ∩ ∂Lxy et
4. Il est bien sûr possible de “manipuler” les équations de Maxwell comme cela, puisqu’on s’intéresse à des milieux artificiels dans lesquels les champs électromagnétiques sont des artefacts...
Equations de Maxwell
0
e1
y
0
1
0
1
111111111
000000000
0
1
0
1
00
11
111111111
0
1
000000000
1
00
11
0
1
00
11
0
1
00
11
0
1
00
11
111
000
0
1
00
11
0
1
00 e
11
0
1
00
11
0
1
00 x
11
0
1
00
11
000000000
111111111
0
1
00
11
000000000
111111111
000000000
111111111
(i)−(iii)
11
00
111111111
000000000
00
11
0
1
111111111
000000000
0
1
0
1
0
1
00
11
00
11
01
1
0
0 1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
01
1
0
0 1
1
0
1
01
1
0
0 1
1
0
01
1
0
0 1
1
0
01
1
0
0 1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
01
1
0
0 1
1
0
1
0
1
0 00000000
1
0
1
0
1
00
11
00
11
11111111
0
1
0
1
0
1
0
00
11
001
11
00
11
00
11
111111111
000000000
(iv)
69
0000000000
1111111111
0
1
0
1
0
1111111111
0000000000
0
1
01
1
0
1
0
1
01
1
0
0
1
01
1
0
0
1
01
1
0
0
1
0
1
0
0
1
01
1
0
1
0
1
01
1
0
0
1
01
1
0
0
1
01
1
0
0
1
0
1
0
1111111111
0000000000
0
1
01
1
0
1
0
1
01
1
0
0
1
0
1
0
1
1111111111
0000000000
p. c. b. c.
Figure 5.4. Etapes géométriques élémentaires pour la construction des PML.
∂Ly ∩ ∂Lxy (voir la figure 5.4 (centre)) à l’aide des techniques précédemment évoquées.
Encore une fois, cf. [15, 16], on peut montrer qu’il existe toujours une solution pour
construire des couches et milieux artificiels qui remplissent les critères précédents :
on peut toujours déterminer des conductivités dans les milieux artificiels de sorte que
(i-iv) soient vérifiés.
Pour finir, cet ensemble de couches artificielles est borné par une frontière, sur laquelle
on impose une condition aux limites de conducteur parfait (voir la figure 5.4 (droite)).
En pratique, on effectue les calculs dans le domaine de calcul “total”, constitué ici
de la réunion du domaine de calcul “réel” et des couches artificielles (voir la figure
5.4 (droite)). Les diverses couches artificielles sont appelées des couches parfaitement
adaptées en français, et des perfectly matched layers en anglais (d’acronymes respectifs CPA ou PML).
Des versions des CPA sans découpage de l’induction existent. Elles sont par exemple
basées sur des systèmes de coordonnées “étirées” dans les couches, voir [29, 71]. Ou
bien, on peut choisir des milieux artificiels anisotropes, voir [74]. L’avantage de ces variantes est la réduction du nombre d’inconnues à prendre en compte dans les couches
artificielles.
D’un point de vue algorithmique ou numérique, les ondes planes sortantes quittent librement le domaine de calcul “réel”. A partir de là, elles sont amorties dans les CPA,
avant d’être totalement réfléchies sur la frontière (où une condition de conducteur
parfait a été imposée). Lorsqu’elles se propagent dans les CPA, elles sont à nouveau
amorties avant de revenir dans le domaine de calcul “réel”. Ainsi, grâce à l’absorption
qui se produit dans les milieux artificiels, l’énergie des ondes planes qui reviennent
dans le domaine de calcul “réel” après un aller-retour dans les CPA est “négligeable”. Ceci permet d’obtenir des implémentations numériques qui sont très efficaces en
pratique. Enfin, mathématiquement, l’utilisation des CPA (avec ou sans découpage)
conduit à des problèmes (conditionnellement) bien posés (voir [12, 11]).
70
c
Patrick
Ciarlet 2013
5.3 Conservation de l’énergie
Lorsque le domaine de calcul n’est pas R3 tout entier, on complémente les équations de Maxwell par des conditions aux limites. Examinons dans ce cas comment on
peut obtenir des identités d’énergie. On note Ω le domaine de calcul dans la suite.
5.3.1 Condition aux limites de conducteur parfait
Dans un premier temps, on suppose que l’on a les conditions aux limites
E × n = 0 sur ∂Ω,
µH · n = 0 sur ∂Ω.
Pour arriver à une identité d’énergie, reprenons le raisonnement du §2.1.3, avec pour
inconnues les champs E et H. On prend le produit scalaire de la loi d’Ampère par
E(t), auquel on ajoute le produit scalaire de la loi de Faraday par H(t), et on intègre
le résultat sur Ω :
Z
∂H
∂E
(t) · E(t) + µ
(t) · H(t)}dx
{ε
∂t
∂t
Ω
Z
Z
J(t) · E(t) dx.
+ {rot E(t) · H(t) − E(t) · rot H(t)} dx = −
Ω
Ω
A l’aide de la formule d’Ostrogradski (1.15), on peut intégrer 5 le second terme pour
trouver
Z
{rot E(t) · H(t) − E(t) · rot H(t)} dx = −h(E(t) × n) · H T (t)i∂Ω = 0,
Ω
la dernière égalité 6 provenant de la condition aux limites sur E. On trouve donc une
nouvelle identité d’énergie :
5. Mathématiquement [27], le terme frontière est exprimé par des crochets de dualité – entre
deux espaces fonctionnels duaux définis sur ∂Ω – sous réserve que les deux champs de vecteurs
appartiennent à H(rot , Ω), avec par définition H(rot , Ω) := {v ∈ L2 (Ω)3 : rot v ∈ L2 (Ω)3 }, où
la dérivation spatiale (l’action de l’opérateur rot ) est comprise au sens des distributions :
Z
(rot u · v − u · rot v) dx = hv × n, uT i∂Ω , ∀u, v ∈ H(rot , Ω).
(5.8)
Ω
Si les deux champs sont réguliers jusqu’au bord, on a l’égalité : hv × n, uT i∂Ω =
Z
v × n · uT dS.
∂Ω
6. Plus mathématiquement, on utilise la propriété que E ∈ H 0 (rot , Ω), où H 0 (rot , Ω) est par
définition la fermeture de Cc∞ (Ω)3 dans H(rot , Ω). Lorsque Ω 6= R3 , Cc∞ (Ω)3 n’est plus dense dans
H(rot , Ω), et en outre on peut démontrer l’égalité
H 0 (rot , Ω) = {v ∈ H(rot , Ω) : v × n = 0 sur ∂Ω}.
Dans ce cas, la formule d’Ostrogradski est simplement
Z
(rot u · v − u · rot v) dx = 0, ∀u ∈ H 0 (rot , Ω), ∀v ∈ H(rot , Ω).
Ω
(5.9)
Equations de Maxwell
d
dt
Z
Ω
Z
1
J (t) · E(t) dx ,
{ε|E(t)|2 + µ|H(t)|2 }dx = −
2
Ω
71
(5.10)
dont la forme est “classique” par comparaison aux identités précédentes (voir notamment (2.11)). L’unicité de la solution des équations de Maxwell posées dans Ω, avec
condition aux limites de type conducteur parfait sur la frontière, suit. Pour établir
le caractère bien posé des équations de Maxwell dans ce cas, on peut résoudre les
problèmes du second ordre associés en E et en H, à l’aide du théorème de LionsMagenes A.3.23, comme au §2.1.
5.3.2 Condition aux limites de Silver-Müller
Dans un second temps, on découpe la frontière en ∂Ω = Γ ∪ Γ A , avec Γ ∩ ΓA = ∅
(Γ et ΓA sont ici des ouverts de ∂Ω), et on suppose que l’on a les conditions aux
limites
E × n = 0 sur Γ, µH · n = 0 sur Γ,
r
µ
H × n) × n = e⋆ × n sur ΓA .
(E −
ε
Le cas échéant, on peut avoir ΓC = ∅, c’est-à-dire une condition aux limites de
Silver-Müller sur toute la frontière ∂Ω. Pour arriver à une nouvelle identité d’énergie,
reprenons le raisonnement du §5.3.1. La formule d’Ostrogradski (1.15) donne cette
fois 7
Z
Z
(E(t) × n) · H T (t) dS.
{rot E(t) · H(t) − E(t) · rot H(t)} dx = −
ΓA
Ω
p
Or, on a −E(t) × n = µ/εH T (t) − e⋆ (t) × n sur ΓA , d’où :
r Z
Z
Z
µ
2
(e⋆ (t) × n) · H T (t) dS.
(E(t) × n) · H T (t) dS =
|H T (t)| dS −
−
ε
ΓA
ΓA
ΓA
On en déduit l’identité d’énergie :
r Z
Z
d
1
µ
2
2
|H T (t)|2 dS
{ε|E(t)| + µ|H(t)| }dx +
dt Ω 2
ε ΓA
Z
Z
(e⋆ (t) × n) · H T (t) dS . (5.12)
J(t) · E(t) dx +
=−
ΓA
Ω
7. Plus mathématiquement [17], on se place dans l’espace fonctionnel H SM (rot , Ω) := {v ∈
H(rot , Ω) : v × n ∈ L2 (∂Ω)2 } :
Z
Z
(rot u · v − u · rot v) dx =
v × n · uT dS, ∀u, v ∈ H SM (rot , Ω).
(5.11)
Ω
∂Ω
72
c
Patrick
Ciarlet 2013
La forme de cette identité est différente de celles que l’on a déjà vues (voir (2.11) et
(5.10)), notamment à cause de l’apparition d’un nouveau terme à gauche : en l’absence
de sources (J = 0 et e⋆ = 0), l’énergie électromagnétique t 7→ ε||E(t)||2 + µ||H(t)||2
est décroissante. Néanmoins, on peut à nouveau prouver l’unicité de la solution des
équations de Maxwell posées dans Ω, avec condition aux limites de type Silver-Müller
sur (un bout de) la frontière. En effet, si l’on a deux solutions, on trouve, tous calculs
faits,
Z
1
d
(1)
(2)
2
(1)
(2)
2
{ε|(E − E )(t)| + µ|(H − H )(t)| }dx
dt Ω 2
r Z
µ
(2)
(1)
|(H T − H T )(t)|2 dS = 0 ,
+
ε ΓA
c’est-à-dire que la fonction t 7→ ε||(E (1) − E (2) )(t)||2 + µ||(H (1) − H (2) )(t)||2 est
décroissante. Or, d’une part sa valeur est nulle à t = 0 d’après la condition initiale
(2.7), et d’autre part cette fonction est à valeurs positives. On en conclut qu’elle est
égale à la fonction nulle, et l’unicité de la solution est encore vraie dans le cas d’une
condition aux limites de type Silver-Müller. A nouveau, pour établir le caractère bien
posé des équations de Maxwell dans ce cas, on peut résoudre des problèmes du second
ordre à l’aide du théorème de Lions-Magenes A.3.23, comme au §2.1.
5.3.3 Condition aux limites d’impédance
Evoquons brièvement le cas d’une condition aux limites d’impédance sur la frontière
E × n + Z(n × (H × n)) = 0 sur ∂Ω.
Comme on l’a mentionné au §5.1, et comme on l’a constaté aux §5.3.1 et §5.3.2, en
l’absence de sources, l’énergie électromagnétique doit être soit conservée, soit décroissante, au cours du temps... A quelle condition cette propriété est-elle vraie lorsqu’on
a imposé une condition aux limites d’impédance ? En reprenant les calculs “usuels” 8 ,
on trouve facilement l’identité d’énergie :
Z
Z
Z
1
d
J (t)·E(t) dx .
H T (t)·Z(H T (t)) dS = −
{ε|E(t)|2 + µ|H(t)|2 }dx +
dt Ω 2
Ω
∂Ω
Pour garantir la conservation ou la décroissance de l’énergie en l’absence de sources,
il faut et il suffit que l’opérateur Z soit positif, à savoir que
8. Plus mathématiquement, il faut remplacer l’intégrale sur la frontière par des crochets de dualité :
Z
Z
d
1
{ε|E(t)|2 + µ|H(t)|2 }dx + hZ(H T (t)), H T (t)i∂Ω = −
J (t) · E(t) dx .
dt Ω 2
Ω
Equations de Maxwell
Z
∂Ω
73
Y · Z(Y ) dS ≥ 0,
pour tout champ de vecteurs Y admissible défini sur ∂Ω. Lorsque Z se réduit à la
multiplication par un nombre Z, la condition devient simplement Z ≥ 0.
A
Compléments mathematiques
Nous rappelons brièvement la définition de quelques opérateurs différentiels usuels,
ainsi qu’une classification élémentaire des équations aux dérivées partielles (EDP).
Nous énumérons pour finir les principaux résultats mathématiques permettant de
résoudre les problèmes associés à ces équations complétées de conditions aux limites,
lorsqu’ils sont écrits sous forme variationnelle [31, 10].
A.1 Quelques opérateurs différentiels usuels
Nous rappelons les définitions des quatre opérateurs différentiels grad , div , ∆ et
rot que nous utilisons tout au long de ce cours. Soit En un espace vectoriel euclidien
de dimension n, muni du produit scalaire (·|·), et soit An un espace affine sur En .
De plus, on considère U un sous-ensemble ouvert de An , et deux fonctions scalaire
f : U → R et vectorielle f : U → En .
Supposons que f soit différentiable (cf. [33]) au point M ∈ U : on note Df (M ) sa
différentielle en M . Alors, le gradient de f au point M est défini par
(grad f (M )|v) := Df (M ).v,
∀v ∈ En .
Lorsque f est différentiable sur tout U , le champ de vecteurs M 7→ grad f (M ) est
appelé le gradient de f sur U .
Supposons que f soit différentiable au point M ∈ U , la divergence de f au point M
est définie par
div f (M ) := tr(Df (M )).
Ci-dessus, tr(·) dénote la trace d’un opérateur linéaire. Lorsque f est différentiable
sur tout U , le champ de scalaires M 7→ div f (M ) est appelé la divergence de f sur U .
76
c
Patrick
Ciarlet 2013
Supposons que f soit deux fois différentiable au point M ∈ U , alors le Laplacien de
f au point M est défini par
∆f (M ) := div (grad f )(M ).
Lorsque f est deux fois différentiable sur tout U , le champ de scalaires M 7→ ∆f (M )
est appelé Laplacien de f sur U .
Pour n = 3, supposons que f soit différentiable au point M ∈ U . Alors, pour tout
v 0 ∈ E3 , l’application f × v0 : U → E3 est différentiable en M . Le rotationnel de
f au point M est défini par
(rot f (M )|v 0 ) := div (f × v 0 )(M ),
∀v0 ∈ E3 .
Lorsque f est différentiable sur tout U , le champ de vecteurs M 7→ rot f (M ) est
appelé le rotationnel de f sur U .
Pour des problèmes issus de la physique, on s’intéresse a priori aux espaces vectoriel
euclidien et affine de dimension 3, c’est-à-dire respectivement E3 et A3 . Pour obtenir
des expressions incluant des dérivées partielles, nous introduisons (e1 , e2 , e3 ) une
base orthonormale de E3 , ainsi qu’un repère (O, e1 , e2 , e3 ) de A3 , et finalement le
système de coordonnées associées
(x1 , x2 , x3 ), de sorte que l’on peut écrire,
P
P pour tout
point M ∈ A3 , M = O + i=1,2,3 xi ei . On peut également écrire f = i=1,2,3 fi ei .
Alors, on peut exprimer chacun des quatre opérateurs précédents dans le système de
coordonnées et la base introduits ci-dessus :
i=3
i=3 2
i=3
X
X
X
∂fi
∂ f
∂f
,
ei , div f =
, ∆f =
∂xi
∂xi
∂x2i
i=1
i=1
i=1
∂f3
∂f1
∂f2
∂f2
∂f3
∂f1
rot f =
−
−
−
e1 +
e2 +
e3 .
∂x2 ∂x3
∂x3 ∂x1
∂x1 ∂x2
grad f =
Supposons que f soit deux fois différentiable au point M ∈ U , alors on peut définir
un Laplacien vectoriel de f au point M par
i=3
X
(∆fi (M ))ei .
∆f (M ) :=
i=1
Ce dernier opérateur introduit, on peut prouver l’identité
(rot rot − grad div )f = −∆f .
(A.1)
Equations de Maxwell
77
A.2 Equations aux dérivées partielles
Commençons par le cas – simple – d’une équation aux dérivées partielles linéaire
du second ordre en dimension 2
A
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
∂u
+
2B
+
C
+D
+E
+ F u = G,
∂x2
∂x∂y
∂y 2
∂x
∂y
(A.2)
pour laquelle la solution u, les coefficients A, B, . . . , F et la donnée G sont fonctions
de (x, y). Il est bien connu que, selon le signe du discriminant
B 2 − AC
on peut construire une classification des équation aux dérivées partielles (A.2).
1. Si B 2 − AC < 0 dans un ensemble ouvert (un domaine) Dom de R2 , l’EDP
(A.2) est de type elliptique. Elle correspond à des problèmes d’équilibre, comme
par exemple les problèmes statiques. On peut transformer l’EDP (A.2) en une
forme canonique par changement du système de coordonnées, le prototype étant
l’équation de Laplace-Poisson (cf. §4.1).
2. Si B 2 − AC = 0 dans un domaine Dom, l’EDP (A.2) est de type parabolique. On
peut également la transformer en une forme canonique, l’exemple typique étant
l’équation de (transfert de) la chaleur. D’un point de vue physique, ceci correspond
à des problèmes de diffusion.
3. Si B 2 − AC > 0 dans un domaine Dom, l’EDP (A.2) est de type hyperbolique.
Après réécriture sous forme canonique, on obtient comme prototype l’équation
des ondes. Une propriété fondamentale de l’hyperbolicité est que les solutions se
propagent à vitesse finie.
Considérons maintenant une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre
plus générale, c’est-à-dire en dimension n. Dans le cas homogène (donnée nulle), on
peut l’écrire sous la forme
n
n X
X
i=1 j=1
n
X ∂u
∂2u
bi
+
+ cu = 0.
aij
∂xi ∂xj
∂xi
(A.3)
i=1
Ci-dessus, la solution u et les coefficients (aij )1≤i,j≤n , (bi )1≤i≤n , c, d sont fonctions des
n variables (xi )1≤i≤n . Pour classifier les EDPs (A.3), nous isolons la partie principale,
composée des termes d’ordre le plus élevé (ici, 2) :
n
n X
X
i=1 j=1
aij
∂2·
= (∂|A∂·) + t.o.i.
∂xi ∂xj
(A.4)
Ci-dessus, ∂ = ( ∂x∂ 1 , . . . , ∂x∂ n )T ∈ Rn , A est la matrice d’éléments (aij )1≤i,j≤n , et enfin
t.o.i. regroupe les termes d’ordre 0 ou 1 (ceux-ci disparaissent si, et seulement si, les
78
c
Patrick
Ciarlet 2013
coefficients (aij )1≤i,j≤n sont constants). En intervertissant l’ordre de la dérivation (ce
qui est toujours possible au sens des distributions)
∂2u
∂2u
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
on peut modifier les coefficients (aij )1≤i,j≤n (sans modifier la partie principale de l’Eq.
(A.3)), pour aboutir à une matrice A symétrique. On suppose qu’elle appartient à
Rn×n , c’est-à-dire que c’est une matrice réelle. Or, une matrice symétrique de Rn×n est
diagonalisable (et l’on peut construire une base orthonormale de vecteurs propres),
et en particulier toutes ses valeurs propres sont réelles. Notons les valeurs propres
λ1 , λ2 , . . . , λn , comptées avec leur ordre de multiplicité, et u1 , . . . , un les vecteurs
propres correspondants. On peut donc écrire


λ1 0 . . . . . . 0
 0 λ2 0 . . . 0 




(A.5)
UT A U = D =  ... . . . . . . . . . ...  ,


 0 . . . 0 λn−1 0 
0 . . . . . . 0 λn
avec U la matrice n × n ayant (ui )i=1,n pour colonnes.
Introduisons l’opérateur de dérivée directionnelle
∂
= (ui |∂),
∂ξi
1 ≤ i ≤ n,
et définissons l’opérateur différentiel vectoriel

∂ξ1


∂ ′ = UT ∂ , avec ∂ ′ =  ...  .
∂ξn

(A.6)
Si l’on reporte cette expression dans le premier terme du second membre de (A.4), et
que l’on utilise le fait que U est une matrice orthogonale (UT = U−1 ), on en déduit
que
(∂|A∂) = (UT ∂|DUT ∂)
= (∂ ′ |D∂ ′ ) .
De cette façon, on conclut que (A.4) peut être réécrit de façon équivalente
n
n X
X
i=1 j=1
n
X ∂2·
∂2·
aij
λi 2 + t.o.i.
=
∂xi ∂xj
∂ξi
i=1
Equations de Maxwell
79
où t.o.i. représente à nouveau les termes d’ordre 1 au plus. A l’aide de cette expression,
on peut finalement étendre les résultats précédents de classification obtenus pour le
cas simple (A.2). Cette classification plus générale dépend essentiellement du signe
des valeurs propres λi . Nous définissons donc par analogie trois grandes catégories
d’EDP :
1. si [λi > 0, ∀i], ou bien [λi < 0, ∀i], alors l’équation est de type elliptique ;
2. si ∃i0 tq. λi0 > 0 et [λi < 0, ∀i 6= i0 ], ou bien ∃i0 tq. λi0 < 0 et [λi > 0, ∀i 6= i0 ],
alors l’équation est de type hyperbolique ;
3. si ∃i0 tq. λi0 = 0 et que toutes les autres valeurs propres (λi )i6=i0 sont de même
signe, alors l’équation est de type parabolique.
4. D’autres situations sont possibles :
– lorsque Card{i tq. λi = 0} ≥ 2, l’équation est de type semi-parabolique ;
– lorsque [λi 6= 0, ∀i] et Card{i tq. λi > 0} ≥ 2, Card{i tq. λi < 0} ≥ 2, l’équation est de type semi-hyperbolique.
Il existe d’autres façons (cf. [42]) pour définir les types d’équations elliptique, parabolique ou hyperbolique.
Notons pour finir que lorsqu’on dispose d’un système d’équations qui peut être reformulé en une ou plusieurs EDP qui agissent sur des inconnues vectorielles, on parle
alors d’EDP vectorielle.
A.3 Définitions et résultats mathématiques
A.3.1 Espaces de Hilbert
Les espaces vectoriels sont définis sur C. Ceci étant dit, les notions ci-dessous sont
aisément transposables à des espaces vectoriels définis sur R.
Par définition, un espace topologique est séparable s’il contient un sous-ensemble
dénombrable dense ; un espace de Banach est un espace vectoriel complet muni d’une
norme ; un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire,
complet par rapport à la norme induite par le produit scalaire. Pour rappel, dans un
espace vectoriel, un produit scalaire (·, ·) possède les propriétés suivantes :
– Il est linéaire par rapport à la première variable :
∀a1 , a2 ∈ C, ∀v1 , v2 , w ∈ V, (a1 v1 + a2 v2 , w) = a1 (v1 , w) + a2 (v2 , w).
– Il est antilinéaire par rapport à la deuxème variable :
∀a1 , a2 ∈ C, ∀v, w1 , w2 ∈ V, (v, a1 w1 + a2 w2 ) = a1 (v, w1 ) + a2 (v, w2 ).
– Il est hermitien :
∀v, w ∈ V, (v, w) = (w, v).
– Il est défini-positif :
∀v ∈ V \ {0}, (v, v) > 0.
80
c
Patrick
Ciarlet 2013
Alors, kvk : V → R définie par kvk = (v, v)1/2 est une norme sur l’espace vectoriel.
De plus, on a l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ∀v, w ∈ V, |(v, w)| ≤ kvk kwk. Dans la
suite, on note (·, ·)V le produit scalaire, et k·kV la norme induite sur l’espace vectoriel
V.
Soit V un espace de Hilbert. Son espace dual 1 , noté V ′ , est l’espace vectoriel des
formes antilinéaires et continues sur V , muni de la norme
kf kV ′ =
|hf, viV |
.
v∈V \{0} kvkV
sup
De façon générique, hf, viV dénote l’action de la forme f sur l’élément v. Lorsque
l’appartenance aux espaces V et V ′ est claire, nous omettrons l’indice V pour écrire
simplement hf, vi.
Pour v ∈ V donné, fv : w 7→ (v, w)V définit un élément de V ′ . D’après le théorème
de Riesz A.3.3 ci-après, v 7→ fv est une isométrie bijective de V dans V ′ . De plus,
on peut transporter la structure d’espace de Hilbert à V ′ en définissant son produit
scalaire via (fv , fw )V ′ = (v, w)V , pour tout fv , fw ∈ V ′ .
Soit W un deuxième espace de Hilbert. Nous utilisons des formes continues et sesquilinéaires 2 dans V × W . La forme sesquilinéaire a : V × W → C, (v, w) 7→ a(v, w)
est continue si la quantité
|a(v, w)|
v∈V \{0},w∈W \{0} kvkV kwkW
sup
est bornée. Lorsque a(·, ·) est sesquilinéaire et continue dans V × W , elle définit un
unique opérateur (borné) A de V dans W ′ (on écrit A ∈ L(V, W ′ )) :
∀(v, w) ∈ V × W, hAv, wiW = a(v, w).
On peut également définir sa transposée conjuguée A† de W dans V ′ :
∀(v, w) ∈ V × W, hA† w, viV = a(v, w).
Pour une forme continue et bilinéaire 3 a sur des espaces de Hilbert V et W définis
sur R, on introduit A de V dans W ′ comme ci-dessus, respectivement sa transposée
At de W dans V ′ – sans conjugaison –.
Evidemment, à partir d’un opérateur (borné) A de V dans W ′ , on pourrait définir
une forme continue et sesquilinéaire (ou bilinéaire) sur V × W .
1. V ′ peut être appelé l’espace antidual. Nous choisissons la dénomination espace dual, car elle
s’applique également pour les espaces vectoriels définis sur R, et les formes linéaires et continues.
2. Une forme sesquilinéaire est linéaire par rapport à la première variable et antilinéaire par
rapport à la deuxième variable.
3. Une forme bilinéaire est linéaire par rapport aux première et seconde variables.
Equations de Maxwell
81
Finissons par la notion d’espace pivot, qui est une autre conséquence du théorème
de Riesz A.3.3 ci-dessous. Soit H un espace de Hilbert. Pour g ∈ H ′ , soit h ∈ H la
solution de
Trouver h ∈ H tel que
∀h′ ∈ H, (h, h′ )H = hg, h′ iH .
L’application g 7→ h est une isométrie bijective de H ′ dans H. A partir de là, on peut
choisir d’identifier H ′ à H.
Définition A.3.1 (espace pivot) Soit H un espace de Hilbert. Dès lors que H ′ est
identifié à H – par l’intermédiaire de l’application g 7→ h introduite ci-dessus – H est
appelé l’espace pivot.
Il suit la
Proposition A.3.2 Soient H et V deux espaces de Hilbert, tels que V soit un sousespace vectoriel dense de H, et tel que l’injection canonique iV →H soit continue.
Lorsque H est choisi comme espace pivot, on peut identifier H à un sous-espace
vectoriel de V ′ .
Qui plus est, lorsque les hypothèses de la proposition sont vraies, on vérifie que
l’application iH→V ′ est continue (et injective), et que iH→V ′ H est dense dans V ′ . Par
conséquent, on peut écrire
V ⊂H
(pivot) ′
= H ⊂ V ′,
avec des injections continues de sous-espaces vectoriels denses les uns dans les autres.
A.3.2 Résultats fondamentaux
Soit V un espace de Hilbert. Soit f un élément de V ′ , on introduit le problème
Trouver u ∈ V tel que
(A.7)
∀v ∈ V, (u, v)V = hf, vi.
On appelle (A.7) une formulation variationnelle.
Le premier résultat est le théorème de Riesz.
Théorème A.3.3 (Riesz) Pour tout f ∈ V ′ , le problème (A.7) possède une solution
et une seule u dans V . De plus, on a l’égalité kukV = kf kV ′ .
On a un deuxième résultat qui généralise le théorème de Riesz.
Définition A.3.4 Soit a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur V × V . La
forme a est coercive si
∃α > 0, ∀v ∈ V, |a(v, v)| ≥ α kvk2V .
82
c
Patrick
Ciarlet 2013
Soit a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur V × V . Soit f un élément de V ′ ,
nous introduisons une seconde formulation variationnelle
Trouver u ∈ V tel que
(A.8)
∀v ∈ V, a(u, v) = hf, vi.
Définition A.3.5 Lorsqu’un problème (A.8) possède une solution et une seule dans
V qui dépend continûment de la donnée f , c’est-à-dire
∃C > 0, ∀f ∈ V ′ , (A.8) a une solution et une seule u, avec kukV ≤ Ckf kV ′ ,
on dit qu’il est bien posé (au sens d’Hadamard).
Notons qu’il est possible de reformuler le problème (A.8) comme suit.
Trouver u ∈ V tel que
Au = f dans V ′ .
(A.9)
Il est important de noter que l’opérateur (borné) A−1 est bien défini (et continu)
de V ′ dans V si, et seulement si, le problème (A.8) est bien posé. Dans ce cas, les
opérateurs A et A−1 sont des isomorphismes.
Le deuxième résultat, appelé le théorème de Lax-Milgram, propose une condition
suffisante pour garantir le caractère bien posé du problème (A.8).
Théorème A.3.6 (Lax-Milgram) Supposons que la forme continue et sesquilinéaire
a soit coercive. Alors, le problème (A.8) est bien posé.
Remarque A.3.7 On pourrait également définir la coercivité des formes sesquilinéaires selon
∃α > 0, ∃θ ∈ [0, 2π[, ∀v ∈ V, Re[exp(ıθ) a(v, v)] ≥ α kvk2V .
Cette définition est équivalente à la définition A.3.4, cf. [25]. Nous utilisons la définition A.3.4 dans la suite.
De plus, pour des formes a sur un espace de Hilbert V défini sur R, les deux définitions
reviennent à
∃s ∈ {−1, +1}, ∃α > 0, ∀v ∈ V, s a(v, v) ≥ α kvk2V .
Concernant les problèmes (A.7-A.8), on constate que la solution u ∈ V possède deux
caractéristiques principales : tout d’abord, qu’elle est mesurée selon une norme donnée – k · kV – ; et ensuite qu’elle est définie par son action sur tous les champs de V ,
ou par une équation posée dans V ′ .
Equations de Maxwell
83
Plutôt que d’imposer la coercivité (condition suffisante) de la forme sesquilinéaire,
on peut considérer une condition de stabilité, également appelée une condition inf-sup.
Ce type de condition est aussi très utile lorsque les arguments de la forme sesquilinéaire n’appartiennent pas au même espace fonctionnel [49, 26, 10]. Soient donc W un
deuxième espace de Hilbert, et a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur V × W .
Soit f ∈ W ′ , nous introduisons une troisième formulation variationnelle
Trouver u ∈ V tel que
(A.10)
∀w ∈ W, a(u, w) = hf, wi.
Ces problèmes généralisent les problèmes (A.8), pour lesquels W = V .
Le caractère bien posé (au sens d’Hadamard) s’exprime cette fois par
∃C > 0, ∀f ∈ W ′ , (A.10) a une solution et une seule u, avec kukV ≤ Ckf kW ′ .
Il est possible de reformuler le problème (A.10) à l’aide de l’opérateur A ∈ L(V, W ′ )
associé à la forme a.
Trouver u ∈ V tel que
(A.11)
Au = f dans W ′ .
Comme précédemment, l’opérateur (borné) A−1 est bien défini (et continu) de W ′
dans V si, et seulement si, le problème (A.10) est bien posé.
Définition A.3.8 Soit a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur V × W .
Elle vérifie une condition de stabilité si
∃α′ > 0, ∀v ∈ V,
|a(v, w)|
≥ α′ kvkV .
w∈W \{0} kwkW
sup
(A.12)
Elle vérifie une condition de solvabilité si
{w ∈ W : ∀v ∈ V, a(v, w) = 0} = {0}.
(A.13)
Remarque A.3.9 Lorsque W = V , la coercivité d’une forme sesquilinéaire implique
condition de stabilité (avec α′ = α) et condition de solvabilité pour la même forme.
On a alors le résultat ci-dessous.
Proposition A.3.10 (Banach-Necas-Babuska) Supposons que la forme continue
et sesquilinéaire a vérifie une condition de stabilité (A.12) avec un α′ > 0. Alors,
Ker(A) = {0}, Im(A) est fermée dans W ′ , et A est une bijection de V dans Im(A).
Par conséquent, pour tout f ∈ Im(A), le problème (A.10) posséde une solution u et
une seule dans V , et de plus α′ kukV ≤ kf kW ′ . Enfin, si la forme a vérifie la condition
de solvabilité (A.13), alors Im(A) = W ′ et le problème (A.10) est bien posé.
Introduisons maintenant une condition a priori intermediaire (cf. [21]).
84
c
Patrick
Ciarlet 2013
Définition A.3.11 Soit a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur V × W . Elle
est T-coercive si
∃T ∈ L(V, W ), bijective, ∃α > 0, ∀v ∈ V, |a(v, Tv)| ≥ α kvk2V .
Proposition A.3.12 Soit a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur V × W . La
forme a est T-coercive si, et seulement si, elle vérifie une condition de stabilité et la
condition de solvabilité.
Dans le cadre de la théorie inf-sup, un operateur T réalisant la T-coercivité est parfois
appelé un opérateur inf-sup.
Remarque A.3.13 Supposons que W = V . Si la forme a est hermitienne, la stabilité
(A.12) suffit à garantir le caractère bien posé du problème (A.8). Dans le même
ordre d’idée, pour une forme a hermitienne, la définition A.3.11 de la T-coercivité se
simplifie en
∃T ∈ L(V ), ∃α > 0, ∀v ∈ V, |a(v, Tv)| ≥ α kvk2V .
En d’autres termes, le fait que T soit bijective n’est plus requis.
Pour résumer, dans le cas où W = V , pour assurer que les problèmes (A.8-A.9) sont
bien posés, et que l’opérateur correspondant A est un isomorphisme :
– une condition suffisante est que la forme a soit coercive (voir le théorème de
Lax-Milgram A.3.6) ;
– une condition nécessaire et suffisante est que la forme a vérifie une condition de
stabilité et la condition de solvabilité, ou de façon équivalente que la forme a
soit T-coercive (voir les propositions A.3.10 et A.3.12).
A.3.3 Problèmes de type Helmholtz
Soient H et V deux espaces de Hilbert, tels que V soit un sous-espace vectoriel de
H, avec une injection continue iV →H . Dans ce qui suit, on choisit H comme espace
pivot. Soit a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur V ×V , A l’opérateur (borné)
correspondant, et λ ∈ C \ {0}.
Soit f ∈ V ′ , le problème de type Helmholtz à résoudre est
Trouver u ∈ V tel que
(A.14)
∀v ∈ V, a(u, v) + λ(u, v)H = hf, viV .
Ce type de problèmes est habituellement résolu à l’aide de l’alternative de Fredholm.
Théorème A.3.14 (alternative de Fredholm) Supposons que la forme sesquilinéaire a soit telle que A est un isomorphisme de V dans V ′ , et que l’injection iV →H
soit compacte. Alors
– soit : pour tout f ∈ V ′ , le problème (A.14) a une solution u et une seule, qui dépend
continûment de f ;
Equations de Maxwell
85
– soit : le problème (A.14) a des solutions si et seulement si, f satisfait un nombre
fini nλ > 0 de conditions d’orthogonalité. Alors, l’espace des solutions est affine, et
la dimension de l’espace vectoriel sous-jacent est égale à nλ . De plus, la partie de la
solution qui est orthogonale à cet espace vectoriel dépend continûment de f .
Corollaire A.3.15 S’il existe µ ∈ C tel que la forme sesquilinéaire a(·, ·) + µ(·, ·)H
soit coercive sur V × V et si l’injection iV →H est compacte, les conclusions du théorème A.3.14 s’appliquent.
Ce résultat peut être généralisé dans le cadre dit coercif + compact. Soit c(·, ·) une
forme continue et sesquilinéaire sur H × V . Soit f ∈ V ′ , le second problème de type
Helmholtz à résoudre est
Trouver u ∈ V tel que
(A.15)
∀v ∈ V, a(u, v) + c(u, v) = hf, viV .
Remarque A.3.16 Les problèmes (A.14) et (A.15) sont dit des problèmes “perturbés”, ici avec une perturbation compacte.
On peut alors généraliser le théorème précédent.
Théorème A.3.17 (alternative de Fredholm) Supposons que la forme sesquilinéaire a soit telle que A est un isomorphisme de V dans V ′ , et que l’injection iV →H
soit compacte. Alors
– soit : pour tout f ∈ V ′ , le problème (A.15) a une solution u et une seule, qui dépend
continûment de f ;
– soit : le problème (A.15) a des solutions si et seulement si, f satisfait un nombre
fini n > 0 de conditions d’orthogonalité. Alors, l’espace des solutions est affine, et
la dimension de l’espace vectoriel sous-jacent est égale à n. De plus, la partie de la
solution qui est orthogonale à cet espace vectoriel dépend continûment de f .
Par voie de conséquence, pour les problèmes de type Helmholtz (A.14) ou (A.15), démontrer l’unicité de la solution u est équivalent à démontrer l’existence de la solution
u. Pour que ce problème de type Helmholtz soit bien posé au sens d’Hadamard, on
peut donc se contenter soit de démontrer l’existence de u soit son unicité.
A.3.4 Problèmes aux valeurs propres
Soient H et V deux espaces de Hilbert, tels que V soit un sous-espace vectoriel de
H, séparable, et dense dans H, avec une injection continue iV →H . Dans ce qui suit,
on choisit H comme espace pivot. Soit a(·, ·) une forme continue et sesquilinéaire sur
V × V . Le problème aux valeurs propres à résoudre est
Trouver (u, λ) ∈ (V \ {0}) × C tels que
(A.16)
∀v ∈ V, a(u, v) = λ(u, v)H .
Ci-dessus, u est un vecteur propre, λ est une valeur propre, et (u, λ) un mode propre.
86
c
Patrick
Ciarlet 2013
Théorème A.3.18 (spectral) Supposons que la forme sesquilinéaire a soit hermitienne et soit telle que A est un isomorphisme de V dans V ′ , et que l’injection
iV →H soit compacte. Alors, 0 n’est pas valeur propre. De plus, il existe une base hilbertienne 4 (ek )k de H composée de vecteurs propres du problème (A.16) avec des
valeurs propres correspondantes (λk )k réelles. De plus, toutes les valeurs propres sont
de multiplicité finie, et (|λk |)k peut être réordonnée en une suite croissante de réels
tendant vers +∞.
Corollaire A.3.19 (spectral) En plus des hypothèses du théorème A.3.18, supposons que la forme a soit coercive. Dans ce cas, toutes les valeurs propres (λk )k sont
−1/2
strictement positives, et (λk ek )k est une base hilbertienne de V .
A.3.5 Problèmes hyperboliques du second ordre
Soient H et V deux espaces de Hilbert, tels que V soit un sous-espace vectoriel
de H, séparable, et dense dans H, avec une injection continue iV →H . Soit a(·, ·) une
forme sesquilinéaire et continue sur V ×V . Le problème hyperbolique du second ordre
s’écrit


 Trouver u 2tel que


d
∀v ∈ V, 2 (u(t), v)H + a(u(t), v) = (f(t), v)H , t > 0 ;
(A.17)
dt


du

 u(0) = u0 ,
(0) = u1 .
dt
Ci-dessus, u(0) = u0 et u′ (0) = u1 sont les deux conditions initiales. A priori, le problème (A.17) peut aussi être exprimé sous la forme d’un problème de Cauchy, c’està-dire un ensemble constitué d’une ou plusieurs EDP (plus conditions aux limites)
dépendant du temps, et dont on recherche une solution vérifiant une ou plusieurs
conditions initiales. Pour ce type de problèmes, on peut définir des solutions fortes et
faibles.
Commençons par les solutions fortes [83, 25, 57]. On introduit l’opérateur non-borné
A de H de domaine D(A)
D(A) = {v ∈ V : ∃h ∈ H, ∀w ∈ V, a(v, w) = (h, w)H };
(A.18)
∀v ∈ D(A), ∀w ∈ V, (Av, w)H = a(v, w).
Définition A.3.20 u est une solution forte du problème (A.17) dès lors que
(i) u ∈ C 2 (R+ ; H) ∩ C 1 (R+ ; V ) ;
(ii) ∀t ≥ 0, u(t) ∈ D(A) et, de plus, u ∈ C 0 (R+ , D(A)) ;
(iii) ∀t > 0, u′′ (t) + Au(t) = f(t) dans H, u(0) = u0 et u′ (0) = u1 .
4. Une base hilbertienne de V est un ensemble dénombrable (ek )k∈N d’éléments de V tel que,
pourPtout k, ℓ, (ek , eℓ )V = δkℓ , P
et Vect(e1 , e2 , · · · ) est dense dans V . Et, pour tout v ∈ V , on a
v = k∈N (v, ek )V ek et kvk2V = k∈N (v, ek )2V (identité de Bessel-Parseval).
Equations de Maxwell
87
Théorème A.3.21 Supposons que la forme sesquilinéaire a soit hermitienne, et
qu’elle vérifie la propriété suivante :
2
2
∃ν ∈ R+ , ∃α ∈ R+
∗ , ∀v ∈ V, a(v, v) + ν kvkH ≥ α kvkV .
(A.19)
Alors, pour f ∈ C 1 (R+ ; H), u0 ∈ D(A) et u1 ∈ V donnés, le problème (A.17) a une
solution forte u et une seule au sens de la définition A.3.20. De plus,
Z t
+
′
kf(s)kH ds ,
∀t ∈ R , ku(t)kV + ku (t)kH ≤ C ku0 kV + ku1 kH +
0
Z t
df
+
′
′′
k (s)kH ds ,
∀t ∈ R , ku (t)kV + ku (t)kH ≤ C ku1 kV + kAu0 kH +
dt
0
avec C > 0 indépendante du temps et des données.
Pour une solution forte, l’équation est vérifiée à tout instant t, alors que pour une solution faible, l’équation sera vérifiée au sens des distributions (en temps). En d’autres
termes, la solution faible, toujours notée u, satisfait les conditions plus faibles 5 :
d2
(u(t), v)H + a(u(t), v) = (f(t), v)H dans D ′ (]0, T [).
(A.20)
dt2
Définition A.3.22 u est une solution faible du problème (A.17) sur l’intervalle de
temps fini ]0, T [ dès lors que
(i) u ∈ L2 (0, T ; V ) et u′∈ L2 (0, T ; H) ;
′′
(ii) ∀v ∈ V , (u(t), v)H + a(u(t), v) = (f(t), v)H dans D ′ (]0, T [), u(0) = u0 et
u′ (0) = u1 .
∀v ∈ V,
Concernant les solutions faibles, supposons en outre que H est l’espace pivot de
sorte que V ⊂ H ⊂ V ′ , et introduisons l’opérateur (borné) A de L(V, V ′ ) défini par
∀v, w ∈ V, hAv, wiV = a(v, w). Alors Au(t) appartient à V ′ et Au ∈ C 0 ([0, T ]; V ′ ).
Ainsi, lorsqu’on étudie les solutions faibles du problème du second ordre hyperbolique (A.17), l’opérateur qui agit sur la solution est A. On a le résultat ci-dessous [67].
Théorème A.3.23 (Lions-Magenes) Supposons que la forme sesquilinéaire a soit
hermitienne et vérifie la propriété (A.19). Alors, pour T > 0, f ∈ L2 (0, T ; H), u0 ∈ V
et u1 ∈ H donnés, le problème (A.17) a une solution faible u et une seule dans
l’intervalle de temps ]0, T [, au sens de la définition A.3.22. De plus,
2
L (0, T ; H) × V × H → C 0 ([0, T ]; V ) × C 0 ([0, T ]; H)
(f, u0 , u1 )
7→ (u, u′ )
est continue (avec un module de continuité qui dépend de T ).
5. Ou, de façon équivalente :

∈ D(]0, T [), ∀v ∈ V,
 ∀ϕ
Z T
Z

(u(t), v)H ϕ′′ (t) + a(u(t), v) ϕ(t) dt =
0
T
(f(t), v)H ϕ(t) dt.
0
c
Patrick
Ciarlet 2013
88
Ainsi, le caractère bien posé des problèmes hyperboliques du second ordre peut aussi
être obtenu à l’aide des solutions faibles (sous des hypothèses différentes de celles
utilisées pour les solutions fortes).
Remarque A.3.24 Si on définit l’opérateur (borné) A comme précédemment alors,
dans le cadre du théorème de Lions-Magenes A.3.23, une solution faible est telle que
Au ∈ C 0 ([0, T ]; V ′ ). Puisque f ∈ L2 (0, T ; H), il suit u′′ ∈ L2 (0, T ; V ′ ). En particulier,
′′
on peut réécrire (u(t), v)H sous la forme hu′′ (t), viV , pour tout v ∈ V .
Notons aussi que l’on peut résoudre le problème

Trouver u tel que




d2
∀v ∈ V, 2 {2 (u(t), v)H } + a(u(t), v) = (f(t), v)H ,
dt


du


(0) = u1 ,
u(0) = u0 ,
dt
t > 0;
(A.21)
dès lors que 2 (·, ·)H est un second produit scalaire sur H, tel que sa norme induite soit
équivalente à k · kH . A l’aide du théorème de Riesz A.3.3, on peut en effet remplacer
dans (A.21) le membre de droite (f(t), v)H par 2 (f2 (t), v)H où, (presque) pour tout
t, f2 (t) ∈ H est la solution de
Trouver f2 ∈ H tel que
∀h ∈ H, 2 (f2 (t), h)H = (f(t), h)H
et appliquer les théorèmes d’existence de solution forte ou faible.
Concernant enfin l’obtention de solutions faibles, pour établir le caractère bien posé,
l’outil fondamental est l’inégalité d’énergie qui revient à trouver des estimations uniformes par rapport aux données dans des normes appropriées. Grâce à celles-ci, on
peut construire des solutions approchées dans des sous-espaces vectoriels de dimension finie de V , l’ensemble de ces solutions formant des suites de Cauchy d’après ces
estimations. Utilisant enfin le caractère séparable de V , on passe à la limite pour
prouver l’existence d’une solution dans tout V .
Nous rappelons ci-dessous comment une inégalité d’énergie peut être obtenue.
Tout d’abord, on ajoute ν kvk2H aux deux côtés de la formulation variationnelle (A.21),
avec ν ≥ 0 choisi de sorte que la propriété (A.19) soit vraie : ν est tel que
v 7→ (a(v, v) + ν kvk2H )1/2 définisse une norme sur V , équivalente à k · kV . Puis, pour
construire l’inégalité d’énergie, on choisit (formellement) u′ (t) pour fonction-test v :
2 (u
′′
(t), u′ (t))H + a(u(t), u′ (t)) + ν(u(t), u′ (t))H = (f(t), u′ (t))H + ν(u(t), u′ (t))H .
Si on intègre en temps (t ∈]0, Θ[) en notant que le membre de gauche est un nombre
réel, on trouve à l’aide de l’inégalité de Young 6 (avec δ0 , δ1 > 0) :
6. Inégalité de Young : ∀x, y ∈ R, ∀η > 0, 2xy ≤ η x2 + η −1 y 2 .
Equations de Maxwell
2 ku
′
89
(Θ)k2H + a(u(Θ), u(Θ)) + νku(Θ)k2H − 2 ku1 k2H + a(u0 , u0 ) + νku0 k2H
Z Θ
Re (f(t), u′ (t))H + ν(u(t), u′ (t))H dt
=2
0
Z Θ
ν ′
1 ′
2
2
2
2
≤
δ0 kf(t)kH + ku (t)kH + νδ1 ku(t)kH + ku (t)kH dt.
δ0
δ1
0
Ainsi, on a
′
2
2
2 ku (Θ)kH + α ku(Θ)kV ≤ Cic +
Z
Θ
0
δ0 kf(t)k2H + δ2 ku(t)k2V + δ3 ku′ (t)k2H dt,
où Cic := 2 ku1 k2H + a(u0 , u0 ) + νku0 k2H dépend des conditions initiales, δ0 > 0,
δ2 := νδ1 > 0, δ3 := (δ0 )−1 + ν(δ1 )−1 > 0, et finalement α > 0 est le paramètre
de comparaison des normes dans V de la propriété (A.19). Pour aboutir à l’inégalité
d’énergie, on utilise finalement un lemme de Gronwall :
Lemme A.3.25 (Gronwall) Soient d ∈ C 0 ([0, T ]; R+ ), e ∈ C 0 ([0, T ]), C et β1 ≥ 0,
β2 ≥ 0 tels que
∀Θ ∈]0, T [, e(Θ) ≤ C + β1
Alors : kekC 0 (0,T )
Z
≤ exp(β1 T ) C + β2
0
Z
T
Θ
e(t) dt + β2
0
Z
Θ
d(t) dt.
0
d(t) dt .
Dans notre cas, on définit simplement e := ku′ k2H + kuk2V , d := kfk2H et C := Cic
pour en conclure qu’il existe une constante CT > 0 telle que l’inégalité d’énergie
“générique” ci-dessous soit vraie :
Z T
′ 2
2 2
2
2
ku
k
+
kuk
kfk
dt
.
(A.22)
ku
k
+
ku
k
+
≤
C
1 H
0 V
T
H
V 0
H
C (0,T )
0
Au passage, on a retrouvé exactement les normes utilisées dans le théorème de LionsMagenes A.3.23, pour les données et pour la solution.
Références
1. S. Abarbanel, D. Gottlieb, J. S. Hestaven, Non-linear PML equations for time-dependent
electromagnetics in three dimensions, J. Sci. Comput., 28, 125-137 (2006).
2. C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, V. Girault, Vector potentials in three-dimensional
non-smooth domains, Math. Meth. Appl. Sci., 21, 823–864 (1998).
3. X. Antoine, H. Barucq, A. Bendali, Bayliss-Turkell-like radiation conditions on surfaces
of arbitrary shape, J. Math. Anal. Appl., 229, 184–211, 1999.
4. A. A. Arseneev, Local uniqueness and existence of classical solution of Vlasov’s system of
equations, Soviet. Math, Dokl., 15, pp. 1223–1225 (1974).
5. A. A. Arseneev, Global existence of a weak solution of Vlasov’s system of equations, U.S.S.R.
Comput. Math. and Math. Phys., 15, pp. 131–143 (1975).
6. F. Assous, P. Degond, E. Heintzé, P.-A. Raviart, J. Segré, On a finite element method
for solving the three-dimensional Maxwell equations, J. Comput. Phys., 109, 222–237 (1993).
7. F. V. Atkinson, On Sommerfeld’s Radiation Condition, Philos. Mag., 40, 645–651 (1949).
8. A. Bachelot, V. Lange, Time dependent integral method for Maxwell’s equations with impedance boundary condition, In : Boundary element technology, Vol. 10, C.A. Brebbia, M.H.
Aliabadah Eds., Wessex Institute of Technology, Southampton, pp.137–144 (1995).
9. R. Barthelmé, Le problème de conservation de la charge dans le couplage des équations de
Vlasov et de Maxwell, Thèse de l’Université de Strasbourg I, France (2005).
10. E. Bécache, P. Ciarlet, C. Hazard, E. Lunéville, La méthode des éléments finis : de la
théorie à la pratique. II. Compléments, Presses de l’ENSTA, Collection les Cours (2010).
11. E. Bécache, S. Fauqueux, P. Joly, Stability of perfectly matched layers, group velocities
and anisotropic waves, J. Comput. Phys., 188, 399–433 (2003).
12. E. Bécache, P. Joly, On the analysis of Bérenger’s perfectly matched layers for Maxwell’s
equations, Math. Model. Numer. Anal., 36, 87-119 (2002).
13. A. Bendali, P. Guillaume, Non-reflecting boundary conditions for waveguides, Math. Comp.,
68, 123–144, 1999.
14. A. Bendali, L. Halpern, Conditions aux limites absorbantes pour le système de Maxwell
dans le vide en dimension 3, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série I, 1011–1013 (1988).
15. J.-P. Bérenger, A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, J.
Comput. Phys., 114, 185–200 (1994).
16. J.-P. Bérenger, Three-dimensional perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves, J. Comput. Phys., 127, 363–379 (1996).
92
Références
17. F. Ben Belgacem, C. Bernardi, M. Costabel, M. Dauge, Un résultat de densité pour
les équations de Maxwell, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Série I, 731–736 (1997).
18. F. Ben Belgacem, C. Bernardi, F. Rapetti, Numerical analysis of a model for an axisymmetric guide for electromagnetic waves. Part I : the continuous problem and its Fourier expansion, Rapport de Université Pierre et Marie Curie-CNRS, Laboratoire Jacques-Louis Lions
R04032 (2004).
19. C. K. Birdsall, A. B. Langdon, Plasmas physics via computer simulation, Mac Graw-Hill,
New-York (1985).
20. V. A. Bokil, M. W. Buksas, Comparison of a finite difference and a mixed finite element
formulation of the Uniaxial Perfectly Matched Layer, Technical Report of the Center for Research in Scientific Computation, North Carolina State University, Raleigh, NC 27695-8205,
USA, 14 Apr 2006 (2006).
21. A.-S. Bonnet-Ben Dhia, P. Ciarlet, Jr., C. M. Zwölf, Time harmonic wave diffraction
problems in materials with sign-shifting coefficients, J. Comput. Appl. Math., 234, 1912–1919
(2010). (Corrigendum J. Comput. Appl. Math., 234, 2616 (2010))
22. A.-S. Bonnet-Ben Dhia, P. Joly, Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints et application à l’étude des ondes guidées, Cours ENSTA (2005).
23. A.-S. Bonnet-Ben Dhia, M. Lenoir, MA102 : Outils élémentaires d’analyse pour les EDP,
Cours ENSTA (2007).
24. F. Bouchut, F. Golse, M. Pulvirenti, Kinetic equations and asymptotic theory, GauthierVillars, Series in Applied Mathematics (2000).
25. H. Brezis, Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson, Paris (1983). Functional
analysis, Sobolev spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer (2011).
26. F. Brezzi, M. Fortin, Mixed and hybrid finite element methods, Springer Verlag, New York
(1991).
27. A. Buffa, P. Ciarlet, Jr., On traces for functional spaces related to Maxwell’s equations.
Part I : an integration by parts formula in Lipschitz polyhedra, Math. Meth. Appl. Sci., 24,
9–30 (2001).
28. M. Cessenat, Mathematical methods in electromagnetism. Linear theory and applications,
Advances in Mathematics for Applied Sciences, 41, World Scientific, Singapore (1996).
29. W. C. Chew, W. H. Weedon, A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell’s
equations with stretched coordinates, Microwave Opt. Technol. Lett., 7, 599-604 (1994).
30. P. Ciarlet, Jr., T -coercivity : application to the discretization of Helmholtz-like problems,
Computers Math. Applic., 64, 22–34 (2012).
31. P. Ciarlet, E. Lunéville, La méthode des éléments finis : de la théorie à la pratique.
I. Concepts généraux, Presses de l’ENSTA, Collection les Cours (2009).
32. P. Ciarlet, E. Sonnendrücker, A decomposition of the electric field. Application to the
Darwin model, Math. Meth. Appl. Sci., 7, 8, 1085–1120 (1997).
33. P. Ciarlet, H. Zidani, Optimisation quadratique, Cours ENSTA (2009).
34. X. Claeys, Analyse asymptotique et numérique de la diffraction d’ondes par des fils minces,
Thèse de l’Université de Versailles - Saint-Quentin-en-Yvelines (2008).
35. X. Claeys, F. Collino, A generalized Holland model for wave diffraction by thin wires, in
Actes de la Conf. on Electromagnetics in Advanced Applications, Torino, Italie, pp. 269–272
(2007).
36. D. Colton, R. Kress, Inverse acoustic and Electromagnetic Theory, Springer-Verlag, Berlin
(1998).
Références
93
37. M. Costabel, M. Dauge, Singularities of electromagnetic fields in polyhedral domains, Arch.
Rational Mech. Anal., 151, 221-276 (2000).
38. C. G. Darwin, The dynamical motion of particles, Phil. Mag., 39, 537–551 (1920).
39. P. Degond, Local existence of the solutions of the Vlasov-Maxwell equations and convergence
to the Vlasov-Poisson equations for infinite light velocity, Math. Meth. Appl. Sci., 8, 533–558
(1986).
40. P. Degond, P.-A. Raviart, An analysis of the Darwin model of approximation to Maxwell’s
equations, Forum Math., 4, 13–44 (1992).
41. L. Desvillettes, Quelques outils d’analyse pour les équations de Vlasov et de Landau, Ecole
CEA-EDF-INRIA, Equations cinétiques et applications à la physique (2005).
42. R. Dautray, J.-L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les
techniques, Masson, Paris (1987).
43. R. DiPerna, P. L. Lions, Global weak solutions of Vlasov-Maxwell systems, Comm. Pure
Appl. Math., 42, 729-757 (1989).
44. E. Durand, Electrostatique, Masson, Paris (1964).
45. B. Engquist, A. Majda, Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic wave equations, Math. Comput., 31, 629–651 (1977).
46. R. Feynman, Leighton, Sands, The Feynman lectures on physics : electromagnetism,
Addison-Wesley, Reading, USA (1964).
47. S. D. Gedney, An anisotropic perfectly-matched layer absorbing medium for the truncation
of FT-TD lattices, IEEE Trans. Antennas Propagat., 44, 1630–1639 (1996).
48. S. D. Gedney, The perfectly matched layer absorbing medium, In Taflove, A. (ed.), Advances
in Computational Electrodynamics, Artech House, pp. 263-344 (1998).
49. V. Girault, P.-A. Raviart, Finite element methods for Navier-Stokes equations, Springer
Series in Computational Mathematics, 5, Springer Verlag, Berlin (1986).
50. D. Givoli, A spatially exact non-reflecting boundary condition for time dependent problems,
Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 95, 97–113 (1992).
51. R. Glassey, W. Strauss, Singularity formation in a colisionless plasma could only occur at
high velocities, Arch. Rat. Mech. Anal., 92, 56-90 (1986).
52. P. W. Gross, P. R. Kotiuga, Electromagnetic theory and computation : a topological approach, MSRI Publications Series, Cambridge University Press, Cambridge (2004).
53. Y. Guo, Global weak solutions of the Vlasov-Maxwell system with boundary conditions, Commun. Math. Phys., 154, 245-263 (1993).
54. C. Hazard, M. Lenoir, On the solution of time-harmonic scattering problems for Maxwell’s
equations, SIAM J. Math. Anal., 27, 1597–1630 (1996).
55. A. Ioannidis, I. Stratis, A. Yannacopoulos, Electromagnetic wave propagation in dispersive bianisotropic media, Proc. of the 6th Int. Workshop on Advances in Scattering and
Biomedical Engineering, Eds. D. Fotiadis et al, World Scientific, pp. 295–304, 2003.
56. J. D. Jackson, Classical electrodynamics, John Wiley & Sons, New-York (1975).
57. P. Joly, Analyse et approximation de modèles de propagation d’ondes. Partie I : analyse mathématique, Cours de 3e année, Editions ENSTA, Paris (2001).
58. P. Joly, Introduction à l’analyse mathématique de la propagation d’ondes en régime harmonique, Cours de Master 2 Mathématiques et Applications, Université Paris 6 (2007).
59. P. Joly, B. Mercier, Une nouvelle condition transparente d’ordre 2 pour les équations de
Maxwell en dimension 3, Rapport INRIA 1047 (1989).
60. D. S. Jones, Methods in Electromagnetic Wave Propagation, Clarendon Press, Oxford (1998).
94
Références
61. A. Karlsson, G. Kristensson, Constitutive relations, dissipation and reciprocity for the
Maxwell equations in the time domain, Technical Report (Revision No. 2 : August 1999) Lund
Institute of Technology CODEN :LUTEDX/(TEAT-7005)/1-36/(1989), Lund, Sweden
(1999).
62. N. A. Krall, A. W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, McGraw-Hill, New-York
(1973).
63. G. Laval, Matière et rayonnement, Ecole Polytechnique, Palaiseau (1986).
64. A. Lakhtakia, V. K. Varadan, V. V. Varadan, Time-harmonic electromagnetic fields in
chiral media, Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin (1989).
65. A. E. Lifschitz, Magnetohydrodynamics and spectral theory, Kluwer Academic Publishers
(1989).
66. I. Lindell, A. Shivola, S. Tertyakov, A. Viitanen, Electromagnetic waves in chiral and
bi-isotropic media, Artech House, Boston (1994).
67. J.-L. Lions, E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications, Vol. 1,
Dunod, Paris (1968).
68. C. Müller, Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves, Springer Verlag, Berlin (1969).
69. J.-C. Nédélec, Acoustic and electromagnetic equations, Applied Mathematical Sciences, 144,
Springer, New-York (2001).
70. J. Perez, Théorie des champs classiques, Presses de l’ENSTA, Collection les Cours (2008).
71. C. Rappaport, Perfectly matched absorbing boundary conditions based on anisotropic lossy
mapping of space, IEEE Microwave Guided Wave Lett., 5 90-92 (1995).
72. P.-A. Raviart, E. Sonnendrücker, Approximate models for the Maxwell equations, J. Comput. Appl. Math., 63, 69–81, (1995).
73. P.-A. Raviart, E. Sonnendrücker, A hierarchy of approximate models for the Maxwell
equations, Numer. Math., 73, 329–372 (1996).
74. Z. Sacks, D. Kinsland, R. Lee, J. F. Lee, A perfectly matched anisotropic absorber for use
as an absorbing boundary condition, IEEE Trans. Antennas Propagat., 43 1460-1463 (1995).
75. J. Sanchez Hubert, E. Sanchez Palencia, Vibration and coupling of continuous systems,
Springer Verlag, Berlin (1989).
76. M. Sesques, Conditions aux limites artificielles pour le système de Maxwell, Thèse de l’Université de Bordeaux I (1990)
77. S. Silver, Microwave Antenna Theory and Design, M.I.T. Radiation Laboratory Series, Vol.
12, McGraw-Hill, New York (1949).
78. S. Ukai, T. Okabe, On classical solution in the large in time of two dimensional Vlasov’s
equation, Osaka J. Math., 15, 245–261 (1978).
79. J. Van Bladel, Electromagnetic fields, McGraw-Hill, New York (1985).
80. C. Weber, A local compactness theorem for Maxwell’s equations, Math. Meth. Appl. Sci., 2,
12–25 (1980).
81. C. H. Wilcox, An expansion theorem for electromagnetic fields, Comm. Pure Appl. Math., 9,
115–134 (1956).
82. S. Wollman, An existence and uniqueness theorem for the Vlasov-Maxwell system, Comm.
Pure Appl. Math., 37, 457-462 (1984).
83. K. Yosida, Functional analysis, Springer-Verlag, Berlin (1980).
Index
absence de monopoles magnétiques libres, 6, 7
action, 29
alternative de Fredholm, 50, 84
approche régularisée, 54
approximation basse fréquence, 56
champ électrique, 5, 20
champ électromagnétique, 5
champ électromagnétique complexe, 35
champ électrostatique, 52
champ magnétique, 5
champ magnétostatique, 53
condition aux limites, 61
absorbante, 61, 65
conducteur parfait, 62
d’impédance, 63
de Silver-Müller, 66
transparente, 65
condition de jauge, 15
condition de stabilité, 23, 83
condition inf-sup, 83
conditions initiales, 86
conducteur, 17
conducteur parfait, 18
conductivité, 17
coordonnées généralisées, 29
couche parfaitement adaptée, 61, 69
décomposition de Helmholtz, 46, 58
densité de charge, 6
densité de courant, 6, 9
déplacement électrique, 5
diélectrique, 18
divergence, 75
domaine borné, 17, 23, 44, 45, 59
domaine de calcul, 64
EDP
classification, 77, 79
elliptique, 79
hyperbolique, 79
parabolique, 79
vectorielle, 79
EDP (Equation aux Dérivées Partielles), 75
effet de peau, 18
infini, 18
effet Joule, 30
énergie
conservation, 25, 30, 49, 70
identité, 25, 70–72
inégalité, 27, 88
énergie électromagnétique
conservation, 25, 30, 31, 70
densité, 30, 31
flux, 30
totale, 30
énergie électrostatique, 32
énergie magnétostatique, 33
épaisseur de peau, 18, 45
équation de conservation de la charge, 7
équation de Helmholtz, 38
équation de Laplace-Poisson, 16, 38, 52
équation des ondes, 16, 22
équations de Maxwell, 5, 7
classification, 21
forme différentielle, 7
forme intégrale, 5
harmoniques en temps, 37
statiques, 51
espace
Banach, 79
dual, 80
Hilbert, 79
96
Index
pivot, 81
espace fonctionnel
L2 (Ω), 23
L2 (Ω)d , 23
H(rot , R3 ), 24
H(rot , Ω), 70
H 0 (rot , Ω), 70
espace libre, 21
facteur d’atténuation, 45
fonction de Green, 20
forme
bilinéaire, 80
coercive, 81, 82
sesquilinéaire, 80
T-coercive, 84
formulation variationnelle, 81
fréquence, 18, 49
frontière, 6
gradient, 75
hypothèses de modélisation, 31
impédance, 63
induction magnétique, 5
inégalité
Cauchy-Schwarz, 80
Young, 88
isolant, 18
jauge de Coulomb, 16
jauge de Lorentz, 16
Lagrangien, 29
Laplacien, 76
vectoriel, 76
lemme
Gronwall, 89
loi d’Ampère, 6, 7
loi d’Ohm, 17
loi de Coulomb, 20
loi de Faraday, 6, 7, 20
loi de Gauss, 6, 7, 21
longueur d’onde, 40
masse de Dirac, 20
milieu
anisotrope, 13
bi-anisotrope, 13
chiral, 11, 13
conducteur, 17
dissipatif, 45
hétérogène, 11, 14
homogène, 11, 13, 14
isolant, 18
isotrope, 13
linéaire, 11, 13
non dispersif, 13
parfait, 11
résistif, 17
mise à l’échelle, 55
mode propre, 47
modèle de Darwin, 59
modèle quasi-statique
électrique, 57
magnétique, 57
modèles approchés, 54
nombre d’onde, 40
onde plane
électromagnétique, 39, 44
entrante, 65
incidente, 63
sortante, 65
opérateur
divergence, 75
gradient, 75
Laplacien, 76
rotationnel, 76
perméabilité magnétique, 13
permittivité électrique, 13
potentiel électrostatique, 52
potentiel magnétostatique, 52
potentiel scalaire, 15
potentiel vecteur, 14
principe d’amplitude limite, 36
principe d’invariance par rapport au temps, 12
principe de causalité, 11
principe de moindre action, 29
problème aux valeurs propres, 38, 85
problème bien posé, 23, 82, 83
problème de Cauchy, 23, 86
problème de type Helmholtz, 37, 84
problème électrostatique, 52
problème en div-rot, 53
problème magnétostatique, 52
problème statique, 53
produit scalaire, 79
pulsation, 36
relation de dispersion, 41
Index
relations constitutives, 11
réponse dispersive, 13
réponse optique, 12
résistivité, 17
résonance, 49
rotationnel, 76
saut, 8
solution élémentaire, 20
spectre, 47
spectre essentiel, 44
stabilité, 23, 83
théorème
alternative de Fredholm, 50, 84, 85
Lax-Milgram, 51, 82
Lions-Magenes, 26, 71, 72, 87
Riesz, 81
spectral, 47, 86
topologie non-triviale, 9
topologie triviale, 9
vecteur d’onde, 39
vecteur de Poynting, 30, 31
vecteur de Poynting complexe, 39
vecteur propre généralisé, 43
vitesse de groupe, 45
vitesse de la lumière, 14
vitesse de phase, 40
97