Université de ROUEN
Département de Mathématiques
L1 M.I.E.E.A.-P.M.S.I.
Algèbre 1
Fiche de Travaux Dirigés No II
Ensembles
2016-2017
Exercice 1. Écrire de différentes manières les ensembles suivants :
(a) L’ensemble des nombres naturels non nuls et inférieurs ou égaux à 5.
(b) L’ensemble des entiers naturels plus petits que 45 et qui sont des carrés des entiers naturels.
(c) L’ensemble des entiers naturels, diviseurs de 70.
(d) L’ensembre des réels non nuls dont le carré est inférieur ou égal à 36.
Exercice 2. Comparer par l’inclusion ou l’égalité, les ensembles suivants :
A = {1, 2, 3},
B = {x / x ∈ Z, 1 ≤ x ≤ 3},
C = {x ∈ N, (2x − 1)(x2 − 5x + 6) = 0},
D = {x ∈ N, (x − 1)(x2 − 5x + 6) = 0}
E = {3, 2, 2},
F = {3, 2, 1, 2, 1, 3},
G = {3, 2, 1},
Exercice 3. Soient A =] − ∞, 3], B =] − 2, 7[ et C =] − 5, +∞[ trois parties de R. Déterminer A ∩ B, A ∪ B, B ∩ C,
B ∪ C, R \ A, A \ B, (R \ A) ∩ (R \ B), R \ (A ∪ B), (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∩ (B ∪ C).
Exercice 4. Justifier les énoncés suivants.
(a) Soient E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E. Si A est inclus dans B, alors le complémentaire de
B dans E est inclus dans le complémentaire de A dans E.
(b) Soient E un ensemble, A et B deux sous-ensembles de E. Si A et B sont disjoints, alors tout élément de E est
dans CE A ou CE B.
Exercice 5. Soient E un ensemble, A un sous-ensemble de E. Déterminer les ensembles suivants:
CE (CE A) ;
A ∩ CE A ;
A ∪ CE A ;
CE ∅ ; CE E
Exercice 6. Soit t un réel positif.
L’inclusion suivante est-elle vraie?
{(x, y) ∈ R2 tels que x + y ≥ t} ⊂ {(x, y) ∈ R2 tels que x ≥ 2t } ∪ {(x, y) ∈ R2 , tels que y ≥ 2t }
1
Exercice 7. Montrer l’équivalence des propositions suivantes :
(a) A ⊂ B
(b) A ∩ B = A
(c) A ∪ B = B
(d) A \ B = ∅.
Exercice 8. Montrer les énoncés suivants:
(a) A \ B = (A ∪ B) \ B = A \ (A ∩ B).
(b) A ∩ B = A \ (A \ B).
(c) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).
Exercice 9. Est-ce que les énoncés suivants sont corrects. Si oui donnez un argument pour les justifier, sinon
trouver des exemples qui montrent qu’ils sont faux:
(a) A \ (B \ A) = A \ B.
(b) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
(c) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) \ (A ∪ C).
(d) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).
(e) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
(f) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C).
(g) (A × B) \ (C × D) = (A \ C) × (B \ D).
Exercice 10. Est-ce que les sous-ensembles suivants de R2 peuvent s’écrire comme le produit cartésien de deux
sous-ensembles de R?
{(x, y) : x est un entier } ;
2
{(x, y) : 0 < y ≤ 1}
2
{(x, y) : x + y < 1}
Exercice 11. On considère les ensembles
(
1
x ∈ [0, 1]; ∃n ∈ N, x <
n+1
E=
(
F =
)
)
1
x ∈ [0, 1]; ∀n ∈ N, x <
.
n+1
(a) L’ensemble E a-t-il un, une infinité ou aucun élément?
(b) L’ensemble F a-t-il un, une infinité ou aucun élément?
2
