Universit´e de ROUEN D´epartement de Math´ematiques
L1 M.I.E.E.A.-P.M.S.I.
Alg`ebre 1
Fiche de Travaux Dirig´es NoII 2016-2017
Ensembles
Exercice 1. ´
Ecrire de diff´erentes mani`eres les ensembles suivants :
(a) L’ensemble des nombres naturels non nuls et inf´erieurs ou ´egaux `a 5.
(b) L’ensemble des entiers naturels plus petits que 45 et qui sont des carr´es des entiers naturels.
(c) L’ensemble des entiers naturels, diviseurs de 70.
(d) L’ensembre des r´eels non nuls dont le carr´e est inf´erieur ou ´egal `a 36.
Exercice 2. Comparer par l’inclusion ou l’´egalit´e, les ensembles suivants :
A={1,2,3}, B ={x / x ∈Z,1≤x≤3},
C={x∈N,(2x−1)(x2−5x+ 6) = 0},
D={x∈N,(x−1)(x2−5x+ 6) = 0}
E={3,2,2}, F ={3,2,1,2,1,3}, G ={3,2,1},
Exercice 3. Soient A=] − ∞,3], B=] −2,7[ et C=] −5,+∞[ trois parties de R. D´eterminer A∩B,A∪B,B∩C,
B∪C,R\A,A\B, (R\A)∩(R\B), R\(A∪B), (A∩B)∪(A∩C) et A∩(B∪C).
Exercice 4. Justifier les ´enonc´es suivants.
(a) Soient Eun ensemble, Aet Bdeux sous-ensembles de E. Si Aest inclus dans B, alors le compl´ementaire de
Bdans Eest inclus dans le compl´ementaire de Adans E.
(b) Soient Eun ensemble, Aet Bdeux sous-ensembles de E. Si Aet Bsont disjoints, alors tout ´el´ement de Eest
dans CEAou CEB.
Exercice 5. Soient Eun ensemble, Aun sous-ensemble de E. D´eterminer les ensembles suivants:
CE(CEA) ; A∩CEA;A∪CEA;CE∅;CEE
Exercice 6. Soit tun r´eel positif.
L’inclusion suivante est-elle vraie?
{(x, y)∈R2tels que x+y≥t}⊂{(x, y)∈R2tels que x≥t
2}∪{(x, y)∈R2, tels que y≥t
2}
1
Exercice 7. Montrer l’´equivalence des propositions suivantes :
(a) A⊂B
(b) A∩B=A
(c) A∪B=B
(d) A\B=∅.
Exercice 8. Montrer les ´enonc´es suivants:
(a) A\B= (A∪B)\B=A\(A∩B).
(b) A∩B=A\(A\B).
(c) A\(B\C)=(A\B)∪(A∩C).
Exercice 9. Est-ce que les ´enonc´es suivants sont corrects. Si oui donnez un argument pour les justifier, sinon
trouver des exemples qui montrent qu’ils sont faux:
(a) A\(B\A) = A\B.
(b) A∩(B\C)=(A∩B)\(A∩C).
(c) A∪(B\C)=(A∪B)\(A∪C).
(d) (A×B)∪(C×D) = (A∪C)×(B∪D).
(e) (A×B)∩(C×D) = (A∩C)×(B∩D).
(f) A×(B\C) = (A×B)\(A×C).
(g) (A×B)\(C×D) = (A\C)×(B\D).
Exercice 10. Est-ce que les sous-ensembles suivants de R2peuvent s’´ecrire comme le produit cart´esien de deux
sous-ensembles de R?
{(x, y) : xest un entier };{(x, y):0< y ≤1}
{(x, y) : x2+y2<1}
Exercice 11. On consid`ere les ensembles
E=(x∈[0,1]; ∃n∈N, x < 1
n+ 1)
F=(x∈[0,1]; ∀n∈N, x < 1
n+ 1).
(a) L’ensemble Ea-t-il un, une infinit´e ou aucun ´el´ement?
(b) L’ensemble Fa-t-il un, une infinit´e ou aucun ´el´ement?
2
1
/
2
100%
