´Enoncés des exercices

Exercices de Math´ ematiques
Calculs avec le nombre j
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Enonc´es
´
Enonc´es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Soient a,bet ctrois nombres complexes. R´esoudre le syst`eme 
x+y+z=a
x+jy +j2z=b
x+j2y+jz =c
Comment choisir a, b, c pour que les solutions soient r´eelles ?
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Soit Z= (x+jy +j2z)3, o`u x,yet zsont trois nombres complexes donn´es.
Montrer que lorsqu’on permute x,you z, le nombre Zne peut prendre que deux valeurs.
A quelle condition ces deux valeurs sont-elles ´egales ?
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Soient x, y, z trois nombres r´eels.
Montrer que : (x+y+z)(x+jy +j2z)(x+j2y+jz) = x3+y3+z3−3xyz
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
D´eterminer une CNS pour que A(a), B(b) et C(c) forment un triangle ´equilat´eral.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur zpour que les points A(z), B(z2), C(z3)
forment un triangle ´equilat´eral.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Calculer les sommes 
S=C0
n+C3 n+C6 n+· · ·
T=C1
n+C4 n+C7 n+· · ·
U=C2
n+C5 n+C8 n+· · ·
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Calculs avec le nombre j
Indications, r´esultats
Indications ou r´esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Combiner les ´equations de mani`ere `a isoler x, ou y, ou z.
Les solutions sont r´eelles ⇔aest lui mˆeme r´eel et b, c sont conjugu´es.
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
V´erifier que Z(x, y, z) = (x+jy +j2z)3est invariant par permutation circulaire.
Les deux valeurs possibles sont ´egales ⇔x=you y=zou x=z.
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
V´erifier que (x+jy +j2z)(x+j2y+jz) = x2+y2+z2−xy −xz −yz.
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Le triangle ABC peut ˆetre ´equilat´eral direct ou indirect.
La condition cherch´ee est a2+b2+c2=ab +ac +bc.
Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Utiliser l’exercice pr´ec´edent. On trouve z∈ {0,1, j, j2}.
Indication pour l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
D´evelopper (1 + x)n, avec x= 1, x=j,x=j2.
On trouve un syst`eme semblable `a celui de l’exercice 1.
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Calculs avec le nombre j
Corrig´es
Corrig´es des exercices
Corrig´ e de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Appelons (1), (2) et (3) les trois ´equations. On va se servir de 1 + j+j2= 0.
On effectue (1) + (2) + (3) et on trouve : 3x=a+b+c.
On effectue (1) + j2(2) + j(3) et on trouve : 3y=a+bj2+cj.
On effectue (1) + j(2) + j2(3) et on trouve : 3z=a+bj +cj2.
R´eciproquement x=a+b+c
3, y =a+bj2+cj 3, z =a+bj +cj2 3sont solutions du syst`eme.
Si x, y, z sont r´eels, on constate que a=x+y+zest r´eel.
On voit aussi que c=x+j2y+jz =x+j y +j2z=x+jy +j2z=b.
R´eciproquement les conditions a∈IR et c=bimpliquent :
x=a+b+c
3=a+b+c 3=a+c+b 3=x.
y=a+bj2+cj
3=a+bj +cj2 3=a+cj +bj2 3=y.
z=a+bj +cj2
3=a+bj2+cj 3=a+cj2+bj 3=z.
Conclusion : les solutions du syst`eme sont r´eelles ⇔na∈IR
c=b
Corrig´ e de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
La quantit´e Z(x, y, z) = (x+jy +j2z)3est invariante par permutation circulaire.
En effet Z(x, y, z) = j3(x+jy +j2z)3= (jx +j2y+z)3=Z(z, x, y) = Z(y, z, x).
De la mˆeme mani`ere, on a Z(y, x, z) = Z(z, y, x) = Z(x, z, y).
Quand on permute x, y, z, le nombre Zne peut prendre que les valeurs (x+jy +j2z)3
(y+jx +j2z)3
Etudions `a quelles conditions ces deux valeurs sont ´egales.
Rappelons que pour tous complexes uet v,ona:u3=v3⇔u∈ {v, jv, j2v}. Ainsi :
(x+jy +j2z)3= (y+jx +j2z)3⇔
x+jy +j2z=y+jx +j2z
ou x+jy +j2z=jy +j2x+z
ou x+jy +j2z=j2y+x+jz
⇔
(1 −j)x= (1 −j)y
ou (1 −j2)x= (1 −j2)z
ou (j−j2)y= (j−j2)z
⇔
x=y
ou x=z
ou y=z
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Calculs avec le nombre j
Corrig´es
Corrig´ e de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Avec j3= 1
1 + j+j2= 0 on trouve : (x+jy +j2z)(x+j2y+jz) = x2+y2+z2−xy −xz −yz.
On en d´eduit : P= (x+y+z)(x2+y2+z2−xy −xz −yz) = x3+y3+z3−3xyz.
Corrig´ e de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Il y a deux cas suivant que ABC est ´equilat´eral direct ou indirect (c’est-`a-dire suivant que le
parcours dans le sens trigonom´etrique donne Apuis Bpuis C, ou Apuis Cpuis B).
ABC est ´equilat´eral direct si et seulement si le vecteur BA se d´eduit du vecteur BC par la
rotation d’angle π
3, c’est-`a-dire si et seulement si on a l’´egalit´e a−b=−j2(c−b).
Cette ´egalit´e ´equivaut `a a−(1 + j2)b+j2c= 0, c’est-`a-dire `a a+jb +j2c= 0.
Si on ´echange bet c, on voit que ABC est ´equilat´eral indirect si a+j2b+jc = 0.
Finalement, ABC est ´equilat´eral si et seulement si :
(a+jb +j2c)(a+j2b+jc) = 0 ⇔a2+b2+c2+ (j+j2)(ab +ac +bc) = 0
⇔a2+b2+c2=ab +ac +bc
Corrig´ e de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On applique le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent. La condition est :
z2+z4+z6=z3+z4+z5⇔z2(z4−z3−z+ 1) = 0 ⇔z2(z−1)(z3−1) = 0
On trouve donc z∈ {0,1, j, j2}.
Corrig´ e de l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On utilise la formule du binˆome pour d´evelopper (1 + x)n, avec x= 1, x=j,x=j2.
On obtient successivement :
(1 + 1)n=C0
n+C1
n+C2 n+C3 n+C4 n+C5 n+· · · =S+T+U
(1 + j)n=C0
n+jC1 n+j2C2 n+C3 n+jC4 n+j2C5 n+· · · =S+jT +j2U
(1 + j2)n=C0
n+j2C1 n+jC2 n+C3 n+j2C4 n+jC5 n+· · · =S+j2T+jU
Ainsi S, T, U sont solutions du syst`eme : 
S+T+U= 2n: (1)
S+jT +j2U= (−j2)n: (2)
S+j2T+jU = (−j)n: (3)
(1) + (2) + (3) ⇒S=2n+(−j2)n+(−j)n
3=2n+2Re ((−j)n) 3=2n+2 cos nπ
3
3
(1) + j2(2) + j(3) ⇒T=2n+j2(−j2)n+j(−j)n
3=2n+2Re (j(−j)n) 3=2n+2 cos(n−2)π
3
3
(1) + j(2) + j2(3) ⇒U=2n+j(−j2)n+j2(−j)n
3=2n+2Re (j2(−j)n) 3=2n+2 cos(n−4)π
3
3
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