Lois à densité - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Chapitre
H
Lois à densité
Contenus
Capacités attendues
Notion de loi à densité à partir
d’exemples
Loi à densité sur un intervalle.
Loi uniforme sur [a; b].
Espérance d’une variable aléatoire suivant
une loi uniforme.
• Connaître la fonction de densité de la loi
uniforme sur [a; b].
Commentaires
Les exemples étudiés s’appuient sur une
expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une probabilité. On définit
alors une variable aléatoire X, fonction de
Ω dans R, qui associe à chaque issue un
nombre réel d’un intervalle I de R. On admet que X satisfait aux conditions qui permettent de définir la probabilité de l’événement {X ∈ J} comme aire du domaine :
{M (x, y) ; x ∈ J et 0 6 y 6 f (x)} où f
désigne la fonction de densité de la loi et J
un intervalle inclus dans I.
Toute théorie générale des lois à densité et
des intégrales sur un intervalle non borné
est exclue.
L’instruction «nombre aléatoire» d’un logiciel ou d’une calculatrice permet d’introduire la loi uniforme sur [0; 1]. La notion
d’espérance d’une variable aléatoire à densité f sur [a; b] est introduite à cette occasion par E(X) =
Z
b
tf (t) dt. On note que
a
Lois exponentielles.
• Calculer une probabilité dans le cadre
d’une loi exponentielle.
Espérance d’une variable aléatoire suivant
une loi exponentielle.
Démontrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponen1
tielle de paramètre λ est .
λ
1
cette définition constitue un prolongement
dans le cadre continu de l’espérance d’une
variable aléatoire discrète.
AP
○ Méthode de Mont-Carlo.
On démontre qu’une variable aléatoire T
suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement :
pour tous réels t et h positifs, PT >t (T >
t + h) = P (T > h).
L’espérance est définie comme
la limite
Z
x
quand x tend vers +∞ de
tf (t) dt où
0
f est la fonction de densité de la loi exponentielle considérée.
Cette partie du programme se prête
particulièrement à l’étude de situations
concrètes, par exemple sur la radioactivité
ou la durée de fonctionnement d’un système non soumis à un phénomène d’usure.
Terminale S
Loi normale centrée réduite N (0, 1).
Théorème de Moivre Laplace (admis).
Chapitre H - Lois à densité
• Connaître la fonction de densité de la loi
normale N (0, 1) et sa représentation graphique.
Démontrer que pour α ∈]0; 1[, il existe
un unique réel positif α tel que P (−uα 6
X 6 uα ) = 1 − α lorsque X suit la loi
normale N (0, 1).
• Connaître les valeurs approchées u0,05 ≃
1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58.
Pour introduire la loi normale N (0, 1), on
s’appuie sur l’observation des représentations graphiques de la loi de la variable
Xn − np
aléatoire Zn = p
où Xn suit
np(1 − p)
la loi binomiale B(n, p), et cela pour de
grandes valeurs de n et une valeur de p
fixée entre 0 et 1. Le théorème de Moivre
Laplace assure que pour Ztous réels a et b,
b
x2
1
√ e− 2 dx
P (Zn ∈ [a, b]) tend vers
2π
a
lorsque n tend vers +∞.
L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1) est définie par
lim
t→−∞
Loi normale N (µ, σ 2 ) d’espérance µ et
d’écart-type σ.
• Utiliser une calculatrice ou un tableur
pour calculer une probabilité dans le cadre
d’une loi normale N (µ, σ 2 ).
• Connaître une valeur approchée de la
probabilité des événements suivants : {X ∈
[µ − σ, µ + σ]}, {X ∈ [µ − 2σ, µ + 2σ]} et
{X ∈ [µ − 3σ, µ + 3σ]}, lorsque X suit la
loi normale N (µ, σ 2 ).
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Z
t
0
tf (t) dt + lim tf (t) dt où f déx→+∞
signe la densité de cette loi.
On peut établir qu’elle vaut 0.
On admet que la variance, définie par
E(X − E(X))2 , vaut 1.
Une variable aléatoire X suit une loi
X −µ
N (µ, σ 2 ) si
suit la loi normale
σ
N (0, 1).
On fait percevoir l’information apportée
par la valeur de l’écart-type.
⇆ [SI et SPC] Mesures physiques sur un
système réel en essai.
La connaissance d’une expression algébrique de la fonction de densité de la loi
N (µ, σ 2 ) n’est pas un attendu du programme.
On illustre ces nouvelles notions par des
exemples issus des autres disciplines.
Table des matières
H Lois à densité
I - Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . .
II - Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III - Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV - Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Loi normale N (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.
Loi normale N (µ, σ 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.
Lien entre loi binomiale et loi normale . . . . . . .
On considère une expérience aléatoire dont l’ensemble des issues ou
. . . . . . . . . .
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univers est notée
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Ω.
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1
3
3
4
6
6
8
9
I - Variables aléatoires à densité
Rappel
Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R : X :7→ R.
Remarque : Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini et une variable alétoire X
prenait un nombre fini de valeurs. La loi de X se définissait par la donnée des probabilités de toutes ses valeurs
(ou une formule pour la loi binomiale). Mais, il arrive aussi que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs
prises par X puissent-être n’importe quel nombre d’un intervalle I de R (durée de vie d’une ampoule).
Dans ce cas, on dit que la loi de probabilité de X est continue et elle n’est plus associée à la probabilité de chacune
de ses valeurs mais à la probabilité de tout intervalle [a; b] inclu dans I.
Définition 1
Une fonction f définie sur R est appelée densité sur R lorsque :
• f > 0 sur R ;
• f est continue (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs) ;
• A (D) = 1 où D = {M (x; y)/x ∈ R et 0 6 y 6 f (x)}.
Définition 2
Soit f une densité sur R, pour tout intervalle I inclu dans R, on note P (X ∈ I) = A (DI ) où DI =
{M (x; y)/x ∈ I et 0 6 y 6 f (x)}.
Dans le cas où I = [a; b], on a P (X ∈ I) =
Z
b
f (x) dx.
a
Remarque : On admet que P est une probabilité sur Ω et définie ainsi la loi de probabilité de la variable
aléatoire X.
II - Loi uniforme
a et b sont deux réels tels que a < b.
3
Terminale S
Chapitre H - Lois à densité
Définition 3
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b] lorsque sa densité f est définie sur R par :
f (x) =
1
si a 6 x 6 b
b−a

0 sinon.


On note X ֒→ U ([a; b]).
Remarque : Rappelons que si Y est une variable aléatoire discrète alors l’espérance de Y est E(Y ) =
n
X
yi P (Y = yi ).
i=1
Définition 4
Si X est continue à valeurs dans [a; b] alors l’espérance de X est E(x) =
Z
b
xf (x) dx.
a
Propriété 1
Si X suit la loi uniforme sur [a; b] alors
(1) Pour tout a 6 c 6 d 6 b, P (X ∈ [c; d]) =
(2) Pour tout a ∈ R, P (X = a) = 0.
a+b
(3) E(X) =
.
2
d−c
.
b−a
Démonstration
(1) P (X ∈ [c; d]) =
(2) P (X = a) =
Z
Z
c
a
a
d
x
1
dx =
b−a
b−a
h
id
=
c
1
dx = 0.
b−a
d−c
.
b−a
(3) E(X) =
Z
b
a
1
x2
dx =
b−a
2(b − a)
ï
x
òb
=
a
b+a
b2 − a2
=
.
2(b − a)
2
III - Loi exponentielle
Soit λ un réel strictement positif, la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx est positive et continue, de plus,
pour tout réel t > 0, on a :
Z
t
î
λe−λx dx = −e−λx
0
Par suite, puisque lim −λt = −∞ et
t→+∞
lim
Z
t→+∞ 0
t
ót
0
= −e−λt + 1.
lim eX = 0, par composition et somme de limites, on en déduit que
X→−∞
Z +∞
λe−λx dx = 1 et on peut noter :
0
λe−λx dx = 1. Ainsi f est une densité sur [0; +∞[.
Définition 5
On dit qu’une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0 lorsque sa
densité f est définie sur [0; +∞[ par :
f (x) = λe−λx .
On note T ֒→ E (λ).
Remarques :
• pour tous réels 0 6 a < b, on a P (T ∈ [a; b]) =
• Pour tout t > 0, P (T 6 t) =
Z
0
Z
t
b
a
−λt
f (x) dx = 1 − e
î
λe−λx dx = −e−λx
ób
a
= e−λa − e−λb .
et P (T > t) = 1 − P (T < t) = 1 − P (T 6 t) = e−λt .
4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H - Lois à densité
Exemple 1
On considère que la durée de vie d’un élément radioactif est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
On appelle demi-vie de cet élément, le réel t tel que P (X 6 t) = 0, 5.
1. Exprimer t en fonction de lambda.
Solution P (T 6 t) =
Z
t
1
ln 2
⇔ −λt = − ln 2 ⇔ t =
.
2
λ
λe−λx dx = 1 − e−λt = 0, 5, d’où e−λt =
0
2. La demi-vie du Césium 137 est de 30 ans.
Calculer la probabilité que la durée de vie du Césium 137 dépasse 50 ans.
ln 2
.
30
Solution
5
P (T > 50) = 1 − P (T 6 50) = 1 − 1 − e−λ×50 = e− 3
t = 30 ⇔ λ =
ln 2
1
= √
≃ 0, 315.
3
32
Remarque : La durée de vie d’un appariel est dite «sans vieillissement» lorsque la probabilité qu’il fonctionne
encore pendant une durée h (au moins) ne dépend que de h et pas de la durée t de son fonctionnement passé.
Théorème 1
Soit T ֒→ E (h), elle vérifie la propriété de «durée de vie sans vieillissement» :
Pour tous réels t et h positifs : PT >t (T > t + h) = P (T > h).
Démonstration
PT >t (T > t + h) =
P ((T > t + h) ∩ (T > t))
P (T > t + h)
e−λ(t+h)
=
=
= e−λh = P (T > h).
P (T > t)
P (T > t)
e−λt
Exemple 2
La durée de vie T en heure, d’un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ. On a P (T > 800) = 0, 45 et P (T > 1200) = 0, 3.
Calculer P (T > 2000).
PT >1200 (T > 2000) = P (T > 800) car 2000 = 1200 + 800.
Solution Ainsi, P (T > 2000) = P (T > 800) ⇔ P (T > 2000) = P (T > 800) × P (T > 1200) = 0, 45 × 0, 3 = 0, 135.
P (T > 1200)
Propriété 2
Si T ֒→ E (h) alors son espérance est :
E(T ) = lim
Z
t→+∞ 0
t
xλe−λx dx =
1
.
λ
Démonstration
En posant u(x) = x et v(x) = −e−λx , on a (uv)′ (x) = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x) = xλe−λx − e−λx .
En inégrant entre 0 et t, par linéarité de l’intégrale, on a : (uv)(t) =
Z
t
Z
t
1
e−λx dx = −te−λt + − e−λx
λ
0
0
En posant X = −λt, on a lim X = −∞.
Donc,
xλe−λx dx = −te−λt +
h
Z
it
0
t
(uv)(x) dx =
0
=
Z
t
0
xλe−λx dx −
Z
t
e−λx dx.
0
1
1
1
−λte−λt − e−λt + .
λ
λ
λ
t→+∞
Par composition, lim −λte−λt =
t→+∞
Par produit et somme, lim
t→+∞
Z
0
lim XeX = 0 (par croissance comparée) et lim e−λt =
X→−∞
t
xλe−λx dx =
t→+∞
1
1
, d’où E(T ) = .
λ
λ
5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
lim eX = 0.
X→−∞
Terminale S
Chapitre H - Lois à densité
IV - Lois normales
1. Loi normale N (0, 1)
Définition 6
On appelle fonction de Laplace-Gauss, la fonction ϕ définie
sur R par :
x2
1
ϕ(x) = √ e− 2 .
2π
Sa représentation graphique est la courbe de Gauss ou courbe
«en cloche».
Remarques :
1
• ϕ est continue, dérivable, positive sur R, paire et admet en 0 un maximum : √ .
2π
• lim ϕ(x) = 0 et lim ϕ(x) = 0.
x→+∞
x→−∞
Propriété 3 Admise
L’aire totale sous la courbe de Gauss est égale à 1 :
lim
Z
x→+∞ 0
x
ϕ(x) dx =
1
et
2
lim
Z
0
x→−∞ x
1
ϕ(x) dx = .
2
Définition 7
On dit qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale standard ou centrée réduite lorsque sa densité est
la fonction de Gauss-Laplace.
On note Z ֒→ N (0, 1).
Remarques :
1
• P (a 6 Z 6 b) = √
2π
Z
b
e−
x2
2
dx.
a
• Les primitives de la fonction de Laplace-Gauss existent mais ne peuvent pas s’exprimer à partir d’opérations
algébriques simples sur les fonctions usuelles . On utilisera la calculatrice pour déterminer les probabilités.
Exemple 3
Sur TI : normalFRép(-1,2,0,1) donne P (−1 6 Z 6 2) ≃ 0, 819 ou sur Casio NormCD(-1,2,1,0).
1
• P (Z 6 0) = P (Z > 0) = .
2
Z
b
• P (Z 6 b) = lim
a→−∞ a
ϕ(x) dx :
6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H - Lois à densité
Exemple 4
Avec la calculatrice, il faudra écrire normalFRép(-10^99,1,0,1) pour P (Z 6 1) ≃ 0, 841.
1
Ou bien remarquer que P (Z 6 1) = P (Z 6 0) + P (0 6 Z 6 1) = + P (0 6 Z 6 1).
2
• P (Z 6 −b) = P (Z > b) = 1 − P (Z 6 b).
• P (−a 6 Z 6 a) = 1 − 2P (Z > a) = 2P (Z 6 a) − 1.
Propriété 4 Admise pour la variance
Si Z ֒→ N (0, 1) alors son espérance est
E(Z) = lim
Z
t→−∞ t
0
xϕ(x) dx + lim
Z
t→+∞ 0
t
xϕ(x) dx = 0.
et sa variance est
î
V (Z) = E (Z − E(Z))
2
ó
2
= E(Z ) = lim
Z
t→−∞ t
0
2
x ϕ(x) dx + lim
Z
t→+∞ 0
t
x2 ϕ(x) dx = 1.
Démonstration
En exercice.
Théorème 2
Soit Z ֒→ N (0, 1).
Pour tout réel α tel que 0 6 α < 1, il existe un unique
nombre strictement positif uα tel que
P (−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α.
7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H - Lois à densité
Démonstration
Z x
Soit Φ(x) =
ϕ(t) dt = 2
−x
Z
x
ϕ(t) dt (par parité de la fonction de Laplace-Gauss).
0
Comme ϕ est continue et positive, on en déduit que Φ est dérivable, et que sa dérivée 2ϕ est strictement positive, donc Φ est
strictement croissante sur [0; +∞[.
Ainsi, P (−uα 6 Z 6 uα ) = Φ(uα ).
Donc P (−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α ⇔ Φ(uα ) = 1 − α.
Puisque 0 < α < 1, on a 0 < 1 − α 6 1 et comme la fonction Φ est continue et strictement croissante sur [0; +∞[ avec Φ(0) = 0
et lim Φ(x) = 1, d’après le théorème de la bijection, l’équation Φ(x) = 1 − α possède une unique solution uα > 0.
x→+∞
α
avec la calculatrice.
2
Par exemple pour α = 0, 05, on trouve avec FracNormal(.05/2,0,1), u0,05 ≃ 1, 96 et pour α = 0, 01, u0,01 ≃ 2, 56.
Remarque : En pratique, on cherche −uα , tel que P (Z 6 −uα ) =
Exemple 5
Lors d’un concours, la moyenne des notes est de 8. On note Z la note obtenue par un candidat. En admettant que Z − 8 suit la
loi normale N (0, 1).
1. À combien faut-il fixer la note de réussite pour que 60 % des candidats soient reçus ?
Le seuil d’admission est le nombre a tel que P (Z > a) = 0, 6.
Solution Or, P (Z > a) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 > a − 8) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 6 a − 8) = 0, 4.
Avec la calculatrice FracNormal(0.4,0,1), on trouve a − 8 ≃ −0, 25, c’est-à-dire a ≃ 7, 75.
2. Dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des résultats ?
On cherche un nombre u tel que P (8 − u 6 Z 6 8 + u) = 0, 8 ⇔ P (−u 6 Z − 8 6 u) = 0, 8.
α
Or, 1 − α = 0, 8 ⇔ α = 0, 2 ⇔
= 0, 1.
Solution
2
La calculatrice FracNormal(0.1,0,1) donne u ≃ 1, 28, c’est-à-dire que 80 % des notes sont dans l’intervalle [8−1, 28; 8+1, 28] =
[6, 72; 9, 28].
2. Loi normale N (µ, σ 2 )
Définition 8
Soient µ un réel et σ un réel strictement positifs.
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ) lorsque la variable aléatoire
la loi normale centrée réduite N (0, 1).
X −µ
suit
σ
Remarques :
• µ est l’espérance de X et σ est son écart-type.
• Les calculatrices permettent de calculer directement des probabilités selon la loi N (µ, σ 2 ) mais pn peut
X −µ
toujours se ramener à la loi normale centrée réduite pour la variable aléatoire Z =
.
σ
2
1 x−µ
1
• La densité de la loi normale N (µ, σ 2 ) est x 7→ √ e− 2 ( σ ) mais n’est pas à connaître.
σ 2π
Propriété 5
Soit une variable aléatoire X suivant la loi normal N (µ, σ 2 ) :
P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≃ 0, 683
P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≃ 0, 954
8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
P (µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≃ 0, 997
Terminale S
Chapitre H - Lois à densité
3. Lien entre loi binomiale et loi normale
Théorème 3 Moivre-Laplace (Admis)
Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel de [0; 1]. On considère les variables aléatoires Xn suivants
une loi binomiale B(n, p). Pour tous les réels a et b avec a < b, on a :
é
Ñ
lim P
n→+∞
Xn − np
6b
a6 »
np(1 − p)
= P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1).
Rappel de l’activité vu précédemment :
En pratique
On considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsqu’on a simultanément n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5. Dans ces conditions, on a donc pour tous réels a et b,
Ñ
P
é
Xn − np
6b
a6 »
np(1 − p)
≃ P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1).
Remarque : Comme la loi binomiale est représentée par un histogramme dont les rectangles centrés en chaque
valeur entière k comprise entre 0 et n ont pour largeur 1 et pour hauteur P (Xn = k), lorsqu’on approche la loi
binomiale par la loi normale, il est préférable de remplacer P (k1 6 Xn 6 k2 ) par P (k1 − 0, 5 6 Xn 6 k2 + 0, 5)
avant de centrer et réduire la variable aléatoire : c’est ce qu’on appelle la correction de continuité.
9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre H - Lois à densité
Exemple 6
On lance 180 fois de suite un dé équilibré et on souhaîte estimer la probabilité d’obtenir entre 25 et 32 fois le chiffre 6.
1
Le nombre X de 6 obtenus suit la loi binomiale B(180, ).
6
1
X − 30
Les conditions n > 30, np = 180 × = 30 et np(1 − p) = 25 permettent de considérer que la variable aléatoire
suit
6
5
«approximativement» une loi N (0, 1).
en remplaçant P (25 6 X 6 32) par P (24, 5 6 X 6 32, 5) et P (24, 5 6 X 6
Solution On applique
une correction de continuité,
X − 30
6 0, 5 .
32, 5) = P −1, 1 6
5
Or, pour une variable aléatoire Z qui suit la loi normale N (0, 1), on a P (−1, 1 6 Z 6 0, 5) ≃ 0, 556, on peut donc estimer
que P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 556.
Si on calcule la probabilité précédente avec une loi binomiale, on trouve P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 563.
10 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes