Lois à densité - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Chapitre
H
Lois à densité
Contenus Capacités attendues Commentaires
Notion de loi à densité à partir
d’exemples
Loi à densité sur un intervalle.
Les exemples étudiés s’appuient sur une
expérience aléatoire et un univers asso-
cié Ω, muni d’une probabilité. On définit
alors une variable aléatoire X, fonction de
Ωdans R, qui associe à chaque issue un
nombre réel d’un intervalle Ide R. On ad-
met que Xsatisfait aux conditions qui per-
mettent de définir la probabilité de l’évé-
nement {X∈J}comme aire du domaine :
{M(x, y);x∈Jet 06y6f(x)}où f
désigne la fonction de densité de la loi et J
un intervalle inclus dans I.
Toute théorie générale des lois à densité et
des intégrales sur un intervalle non borné
est exclue.
Loi uniforme sur [a;b].
Espérance d’une variable aléatoire suivant
une loi uniforme.
•Connaître la fonction de densité de la loi
uniforme sur [a;b].
L’instruction «nombre aléatoire» d’un lo-
giciel ou d’une calculatrice permet d’intro-
duire la loi uniforme sur [0; 1]. La notion
d’espérance d’une variable aléatoire à den-
sité fsur [a;b]est introduite à cette occa-
sion par E(X) = Zb
a
tf(t)dt. On note que
cette définition constitue un prolongement
dans le cadre continu de l’espérance d’une
variable aléatoire discrète.
AP
○Méthode de Mont-Carlo.
Lois exponentielles. •Calculer une probabilité dans le cadre
d’une loi exponentielle.
On démontre qu’une variable aléatoire T
suivant une loi exponentielle vérifie la pro-
priété de durée de vie sans vieillissement :
pour tous réels tet hpositifs, PT>t(T>
t+h) = P(T>h).
Espérance d’une variable aléatoire suivant
une loi exponentielle.
Démontrer que l’espérance d’une va-
riable aléatoire suivant une loi exponen-
tielle de paramètre λest 1
λ.
L’espérance est définie comme la limite
quand xtend vers +∞de Zx
0
tf(t)dtoù
fest la fonction de densité de la loi expo-
nentielle considérée.
Cette partie du programme se prête
particulièrement à l’étude de situations
concrètes, par exemple sur la radioactivité
ou la durée de fonctionnement d’un sys-
tème non soumis à un phénomène d’usure.
1

Terminale S Chapitre H - Lois à densité
Loi normale centrée réduite N(0,1).
Théorème de Moivre Laplace (admis).
•Connaître la fonction de densité de la loi
normale N(0,1) et sa représentation gra-
phique.
Démontrer que pour α∈]0; 1[, il existe
un unique réel positif αtel que P(−uα6
X6uα) = 1 −αlorsque Xsuit la loi
normale N(0,1).
•Connaître les valeurs approchées u0,05 ≃
1,96 et u0,01 ≃2,58.
Pour introduire la loi normale N(0,1), on
s’appuie sur l’observation des représenta-
tions graphiques de la loi de la variable
aléatoire Zn=Xn−np
pnp(1 −p)où Xnsuit
la loi binomiale B(n, p), et cela pour de
grandes valeurs de net une valeur de p
fixée entre 0et 1. Le théorème de Moivre
Laplace assure que pour tous réels aet b,
P(Zn∈[a, b]) tend vers Zb
a
1
√2πe−x2
2dx
lorsque ntend vers +∞.
L’espérance d’une variable aléatoire sui-
vant la loi N(0,1) est définie par
lim
t→−∞ Z0
t
tf(t)dt+ lim
x→+∞
tf(t)dtoù fdé-
signe la densité de cette loi.
On peut établir qu’elle vaut 0.
On admet que la variance, définie par
E(X−E(X))2, vaut 1.
Loi normale N(µ, σ2)d’espérance µet
d’écart-type σ.•Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre
d’une loi normale N(µ, σ2).
Une variable aléatoire Xsuit une loi
N(µ, σ2)si X−µ
σsuit la loi normale
N(0,1).
On fait percevoir l’information apportée
par la valeur de l’écart-type.
⇆[SI et SPC] Mesures physiques sur un
système réel en essai.
•Connaître une valeur approchée de la
probabilité des événements suivants : {X∈
[µ−σ, µ +σ]},{X∈[µ−2σ, µ + 2σ]}et
{X∈[µ−3σ, µ + 3σ]}, lorsque Xsuit la
loi normale N(µ, σ2).
La connaissance d’une expression algé-
brique de la fonction de densité de la loi
N(µ, σ2)n’est pas un attendu du pro-
gramme.
On illustre ces nouvelles notions par des
exemples issus des autres disciplines.
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Table des matières
H Lois à densité 1
I - Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II- Loiuniforme ................................................ 3
III - Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
IV - Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Loi normale N(0,1) ........................................ 6
2. Loi normale N(µ, σ2)....................................... 8
3. Lien entre loi binomiale et loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
On considère une expérience aléatoire dont l’ensemble des issues ou univers est notée Ω.
I - Variables aléatoires à densité
Rappel
Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ωà valeurs dans R:X:7→ R.
Remarque : Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini et une variable alétoire X
prenait un nombre fini de valeurs. La loi de Xse définissait par la donnée des probabilités de toutes ses valeurs
(ou une formule pour la loi binomiale). Mais, il arrive aussi que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs
prises par Xpuissent-être n’importe quel nombre d’un intervalle Ide R(durée de vie d’une ampoule).
Dans ce cas, on dit que la loi de probabilité de Xest continue et elle n’est plus associée à la probabilité de chacune
de ses valeurs mais à la probabilité de tout intervalle [a;b]inclu dans I.
Définition 1
Une fonction fdéfinie sur Rest appelée densité sur Rlorsque :
•f>0sur R;
•fest continue (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs) ;
•A(D) = 1 où D={M(x;y)/x ∈Ret 06y6f(x)}.
Définition 2
Soit fune densité sur R, pour tout intervalle Iinclu dans R, on note P(X∈I) = A(DI)où DI=
{M(x;y)/x ∈Iet 06y6f(x)}.
Dans le cas où I= [a;b], on a P(X∈I) = Zb
a
f(x)dx.
Remarque : On admet que Pest une probabilité sur Ωet définie ainsi la loi de probabilité de la variable
aléatoire X.
II - Loi uniforme
aet bsont deux réels tels que a < b.
3

Terminale S Chapitre H - Lois à densité
Définition 3
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi uniforme sur [a;b]lorsque sa densité fest définie sur Rpar :
f(x) = 
1
b−asi a6x6b
0sinon.
On note X ֒→U([a;b]).
Remarque : Rappelons que si Yest une variable aléatoire discrète alors l’espérance de Yest E(Y) =
n
X
i=1
yiP(Y=yi).
Définition 4
Si Xest continue à valeurs dans [a;b]alors l’espérance de Xest E(x) = Zb
a
xf(x)dx.
Propriété 1
Si Xsuit la loi uniforme sur [a;b]alors
(1) Pour tout a6c6d6b,P(X∈[c;d]) = d−c
b−a.
(2) Pour tout a∈R,P(X=a) = 0.
(3) E(X) = a+b
2.
Démonstration
(1) P(X∈[c;d]) = Zd
c
1
b−adx=hx b−aid
c
=d−c
b−a.
(2) P(X=a) = Za
a
1
b−adx= 0.
(3) E(X) = Zb
a
x1
b−adx=ïx2 2(b−a)òb
a
=b2−a2
2(b−a)=b+a 2.
III - Loi exponentielle
Soit λun réel strictement positif, la fonction définie sur [0; +∞[par f(x) = λe−λx est positive et continue, de plus,
pour tout réel t>0, on a :
Zt
0
λe−λx dx=î−e−λxót
0=−e−λt + 1.
Par suite, puisque lim
t→+∞−λt =−∞ et lim
X→−∞
eX= 0, par composition et somme de limites, on en déduit que
lim
t→+∞Zt
0
λe−λx dx= 1 et on peut noter : Z+∞
0
λe−λx dx= 1. Ainsi fest une densité sur [0; +∞[.
Définition 5
On dit qu’une variable aléatoire Tsuit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0lorsque sa
densité fest définie sur [0; +∞[par :
f(x) = λe−λx.
On note T ֒→E(λ).
Remarques :
•pour tous réels 06a < b, on a P(T∈[a;b]) = Zb
a
λe−λx dx=î−e−λxób
a=e−λa −e−λb.
•Pour tout t>0,P(T6t) = Zt
0
f(x)dx= 1 −e−λt et P(T>t) = 1 −P(T < t) = 1 −P(T6t) = e−λt.
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Exemple 1
On considère que la durée de vie d’un élément radioactif est une variable aléatoire Tqui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
On appelle demi-vie de cet élément, le réel ttel que P(X6t) = 0,5.
1. Exprimer ten fonction de lambda.
Solution P(T6t) = Zt
0
λe−λx dx= 1 −e−λt = 0,5, d’où e−λt =1
2⇔ −λt =−ln 2 ⇔t=ln 2 λ.
2. La demi-vie du Césium 137 est de 30 ans.
Calculer la probabilité que la durée de vie du Césium 137 dépasse 50 ans.
Solution
t= 30 ⇔λ=ln 2
30 .
P(T>50) = 1 −P(T650) = 1 −1−e−λ×50=e−5
3ln 2 =1
3
√32 ≃0,315.
Remarque : La durée de vie d’un appariel est dite «sans vieillissement» lorsque la probabilité qu’il fonctionne
encore pendant une durée h(au moins) ne dépend que de het pas de la durée tde son fonctionnement passé.
Théorème 1
Soit T ֒→E(h), elle vérifie la propriété de «durée de vie sans vieillissement» :
Pour tous réels tet hpositifs : PT>t(T>t+h) = P(T>h).
Démonstration
PT>t(T>t+h) = P((T>t+h)∩(T>t))
P(T>t)=P(T>t+h) P(T>t)=e−λ(t+h) e−λt =e−λh =P(T>h).
Exemple 2
La durée de vie Ten heure, d’un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ. On a P(T>800) = 0,45 et P(T>1200) = 0,3.
Calculer P(T>2000).
Solution
PT>1200(T>2000) = P(T>800) car 2000 = 1200 + 800.
Ainsi, P(T>2000)
P(T>1200) =P(T>800) ⇔P(T>2000) = P(T>800) ×P(T>1200) = 0,45 ×0,3 = 0,135.
Propriété 2
Si T ֒→E(h)alors son espérance est :
E(T) = lim
t→+∞Zt
0
xλe−λx dx=1
λ.
Démonstration
En posant u(x) = xet v(x) = −e−λx, on a (uv)′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x) = xλe−λx −e−λx.
En inégrant entre 0et t, par linéarité de l’intégrale, on a : (uv)(t) = Zt
0
(uv)(x)dx=Zt
0
xλe−λx dx−Zt
0
e−λx dx.
Donc, Zt
0
xλe−λx dx=−te−λt +Zt
0
e−λx dx=−te−λt +h−1
λe−λxit
0
=1
λ−λte−λt−1 λe−λt +1 λ.
En posant X=−λt, on a lim
t→+∞
X=−∞.
Par composition, lim
t→+∞−λte−λt = lim X→−∞
XeX= 0 (par croissance comparée) et lim
t→+∞
e−λt = lim
X→−∞
eX= 0.
Par produit et somme, lim
t→+∞Zt
0
xλe−λx dx=1
λ, d’où E(T) = 1 λ.
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