Chapitre H Lois à densité Contenus Capacités attendues Notion de loi à densité à partir d’exemples Loi à densité sur un intervalle. Loi uniforme sur [a; b]. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. • Connaître la fonction de densité de la loi uniforme sur [a; b]. Commentaires Les exemples étudiés s’appuient sur une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d’une probabilité. On définit alors une variable aléatoire X, fonction de Ω dans R, qui associe à chaque issue un nombre réel d’un intervalle I de R. On admet que X satisfait aux conditions qui permettent de définir la probabilité de l’événement {X ∈ J} comme aire du domaine : {M (x, y) ; x ∈ J et 0 6 y 6 f (x)} où f désigne la fonction de densité de la loi et J un intervalle inclus dans I. Toute théorie générale des lois à densité et des intégrales sur un intervalle non borné est exclue. L’instruction «nombre aléatoire» d’un logiciel ou d’une calculatrice permet d’introduire la loi uniforme sur [0; 1]. La notion d’espérance d’une variable aléatoire à densité f sur [a; b] est introduite à cette occasion par E(X) = Z b tf (t) dt. On note que a Lois exponentielles. • Calculer une probabilité dans le cadre d’une loi exponentielle. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Démontrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponen1 tielle de paramètre λ est . λ 1 cette définition constitue un prolongement dans le cadre continu de l’espérance d’une variable aléatoire discrète. AP ○ Méthode de Mont-Carlo. On démontre qu’une variable aléatoire T suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement : pour tous réels t et h positifs, PT >t (T > t + h) = P (T > h). L’espérance est définie comme la limite Z x quand x tend vers +∞ de tf (t) dt où 0 f est la fonction de densité de la loi exponentielle considérée. Cette partie du programme se prête particulièrement à l’étude de situations concrètes, par exemple sur la radioactivité ou la durée de fonctionnement d’un système non soumis à un phénomène d’usure. Terminale S Loi normale centrée réduite N (0, 1). Théorème de Moivre Laplace (admis). Chapitre H - Lois à densité • Connaître la fonction de densité de la loi normale N (0, 1) et sa représentation graphique. Démontrer que pour α ∈]0; 1[, il existe un unique réel positif α tel que P (−uα 6 X 6 uα ) = 1 − α lorsque X suit la loi normale N (0, 1). • Connaître les valeurs approchées u0,05 ≃ 1, 96 et u0,01 ≃ 2, 58. Pour introduire la loi normale N (0, 1), on s’appuie sur l’observation des représentations graphiques de la loi de la variable Xn − np aléatoire Zn = p où Xn suit np(1 − p) la loi binomiale B(n, p), et cela pour de grandes valeurs de n et une valeur de p fixée entre 0 et 1. Le théorème de Moivre Laplace assure que pour Ztous réels a et b, b x2 1 √ e− 2 dx P (Zn ∈ [a, b]) tend vers 2π a lorsque n tend vers +∞. L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi N (0, 1) est définie par lim t→−∞ Loi normale N (µ, σ 2 ) d’espérance µ et d’écart-type σ. • Utiliser une calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d’une loi normale N (µ, σ 2 ). • Connaître une valeur approchée de la probabilité des événements suivants : {X ∈ [µ − σ, µ + σ]}, {X ∈ [µ − 2σ, µ + 2σ]} et {X ∈ [µ − 3σ, µ + 3σ]}, lorsque X suit la loi normale N (µ, σ 2 ). 2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes Z t 0 tf (t) dt + lim tf (t) dt où f déx→+∞ signe la densité de cette loi. On peut établir qu’elle vaut 0. On admet que la variance, définie par E(X − E(X))2 , vaut 1. Une variable aléatoire X suit une loi X −µ N (µ, σ 2 ) si suit la loi normale σ N (0, 1). On fait percevoir l’information apportée par la valeur de l’écart-type. ⇆ [SI et SPC] Mesures physiques sur un système réel en essai. La connaissance d’une expression algébrique de la fonction de densité de la loi N (µ, σ 2 ) n’est pas un attendu du programme. On illustre ces nouvelles notions par des exemples issus des autres disciplines. Table des matières H Lois à densité I - Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . II - Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III - Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV - Lois normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Loi normale N (0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Loi normale N (µ, σ 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Lien entre loi binomiale et loi normale . . . . . . . On considère une expérience aléatoire dont l’ensemble des issues ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . univers est notée . . . . . . . . . . . . . . Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 4 6 6 8 9 I - Variables aléatoires à densité Rappel Une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R : X :7→ R. Remarque : Jusqu’à présent, une expérience aléatoire conduisait à un univers fini et une variable alétoire X prenait un nombre fini de valeurs. La loi de X se définissait par la donnée des probabilités de toutes ses valeurs (ou une formule pour la loi binomiale). Mais, il arrive aussi que les issues d’une expérience aléatoire ou les valeurs prises par X puissent-être n’importe quel nombre d’un intervalle I de R (durée de vie d’une ampoule). Dans ce cas, on dit que la loi de probabilité de X est continue et elle n’est plus associée à la probabilité de chacune de ses valeurs mais à la probabilité de tout intervalle [a; b] inclu dans I. Définition 1 Une fonction f définie sur R est appelée densité sur R lorsque : • f > 0 sur R ; • f est continue (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs) ; • A (D) = 1 où D = {M (x; y)/x ∈ R et 0 6 y 6 f (x)}. Définition 2 Soit f une densité sur R, pour tout intervalle I inclu dans R, on note P (X ∈ I) = A (DI ) où DI = {M (x; y)/x ∈ I et 0 6 y 6 f (x)}. Dans le cas où I = [a; b], on a P (X ∈ I) = Z b f (x) dx. a Remarque : On admet que P est une probabilité sur Ω et définie ainsi la loi de probabilité de la variable aléatoire X. II - Loi uniforme a et b sont deux réels tels que a < b. 3 Terminale S Chapitre H - Lois à densité Définition 3 On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a; b] lorsque sa densité f est définie sur R par : f (x) = 1 si a 6 x 6 b b−a 0 sinon. On note X ֒→ U ([a; b]). Remarque : Rappelons que si Y est une variable aléatoire discrète alors l’espérance de Y est E(Y ) = n X yi P (Y = yi ). i=1 Définition 4 Si X est continue à valeurs dans [a; b] alors l’espérance de X est E(x) = Z b xf (x) dx. a Propriété 1 Si X suit la loi uniforme sur [a; b] alors (1) Pour tout a 6 c 6 d 6 b, P (X ∈ [c; d]) = (2) Pour tout a ∈ R, P (X = a) = 0. a+b (3) E(X) = . 2 d−c . b−a Démonstration (1) P (X ∈ [c; d]) = (2) P (X = a) = Z Z c a a d x 1 dx = b−a b−a h id = c 1 dx = 0. b−a d−c . b−a (3) E(X) = Z b a 1 x2 dx = b−a 2(b − a) ï x òb = a b+a b2 − a2 = . 2(b − a) 2 III - Loi exponentielle Soit λ un réel strictement positif, la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = λe−λx est positive et continue, de plus, pour tout réel t > 0, on a : Z t î λe−λx dx = −e−λx 0 Par suite, puisque lim −λt = −∞ et t→+∞ lim Z t→+∞ 0 t ót 0 = −e−λt + 1. lim eX = 0, par composition et somme de limites, on en déduit que X→−∞ Z +∞ λe−λx dx = 1 et on peut noter : 0 λe−λx dx = 1. Ainsi f est une densité sur [0; +∞[. Définition 5 On dit qu’une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0 lorsque sa densité f est définie sur [0; +∞[ par : f (x) = λe−λx . On note T ֒→ E (λ). Remarques : • pour tous réels 0 6 a < b, on a P (T ∈ [a; b]) = • Pour tout t > 0, P (T 6 t) = Z 0 Z t b a −λt f (x) dx = 1 − e î λe−λx dx = −e−λx ób a = e−λa − e−λb . et P (T > t) = 1 − P (T < t) = 1 − P (T 6 t) = e−λt . 4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes Terminale S Chapitre H - Lois à densité Exemple 1 On considère que la durée de vie d’un élément radioactif est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ. On appelle demi-vie de cet élément, le réel t tel que P (X 6 t) = 0, 5. 1. Exprimer t en fonction de lambda. Solution P (T 6 t) = Z t 1 ln 2 ⇔ −λt = − ln 2 ⇔ t = . 2 λ λe−λx dx = 1 − e−λt = 0, 5, d’où e−λt = 0 2. La demi-vie du Césium 137 est de 30 ans. Calculer la probabilité que la durée de vie du Césium 137 dépasse 50 ans. ln 2 . 30 Solution 5 P (T > 50) = 1 − P (T 6 50) = 1 − 1 − e−λ×50 = e− 3 t = 30 ⇔ λ = ln 2 1 = √ ≃ 0, 315. 3 32 Remarque : La durée de vie d’un appariel est dite «sans vieillissement» lorsque la probabilité qu’il fonctionne encore pendant une durée h (au moins) ne dépend que de h et pas de la durée t de son fonctionnement passé. Théorème 1 Soit T ֒→ E (h), elle vérifie la propriété de «durée de vie sans vieillissement» : Pour tous réels t et h positifs : PT >t (T > t + h) = P (T > h). Démonstration PT >t (T > t + h) = P ((T > t + h) ∩ (T > t)) P (T > t + h) e−λ(t+h) = = = e−λh = P (T > h). P (T > t) P (T > t) e−λt Exemple 2 La durée de vie T en heure, d’un appareil suit la loi exponentielle de paramètre λ. On a P (T > 800) = 0, 45 et P (T > 1200) = 0, 3. Calculer P (T > 2000). PT >1200 (T > 2000) = P (T > 800) car 2000 = 1200 + 800. Solution Ainsi, P (T > 2000) = P (T > 800) ⇔ P (T > 2000) = P (T > 800) × P (T > 1200) = 0, 45 × 0, 3 = 0, 135. P (T > 1200) Propriété 2 Si T ֒→ E (h) alors son espérance est : E(T ) = lim Z t→+∞ 0 t xλe−λx dx = 1 . λ Démonstration En posant u(x) = x et v(x) = −e−λx , on a (uv)′ (x) = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x) = xλe−λx − e−λx . En inégrant entre 0 et t, par linéarité de l’intégrale, on a : (uv)(t) = Z t Z t 1 e−λx dx = −te−λt + − e−λx λ 0 0 En posant X = −λt, on a lim X = −∞. Donc, xλe−λx dx = −te−λt + h Z it 0 t (uv)(x) dx = 0 = Z t 0 xλe−λx dx − Z t e−λx dx. 0 1 1 1 −λte−λt − e−λt + . λ λ λ t→+∞ Par composition, lim −λte−λt = t→+∞ Par produit et somme, lim t→+∞ Z 0 lim XeX = 0 (par croissance comparée) et lim e−λt = X→−∞ t xλe−λx dx = t→+∞ 1 1 , d’où E(T ) = . λ λ 5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes lim eX = 0. X→−∞ Terminale S Chapitre H - Lois à densité IV - Lois normales 1. Loi normale N (0, 1) Définition 6 On appelle fonction de Laplace-Gauss, la fonction ϕ définie sur R par : x2 1 ϕ(x) = √ e− 2 . 2π Sa représentation graphique est la courbe de Gauss ou courbe «en cloche». Remarques : 1 • ϕ est continue, dérivable, positive sur R, paire et admet en 0 un maximum : √ . 2π • lim ϕ(x) = 0 et lim ϕ(x) = 0. x→+∞ x→−∞ Propriété 3 Admise L’aire totale sous la courbe de Gauss est égale à 1 : lim Z x→+∞ 0 x ϕ(x) dx = 1 et 2 lim Z 0 x→−∞ x 1 ϕ(x) dx = . 2 Définition 7 On dit qu’une variable aléatoire Z suit la loi normale standard ou centrée réduite lorsque sa densité est la fonction de Gauss-Laplace. On note Z ֒→ N (0, 1). Remarques : 1 • P (a 6 Z 6 b) = √ 2π Z b e− x2 2 dx. a • Les primitives de la fonction de Laplace-Gauss existent mais ne peuvent pas s’exprimer à partir d’opérations algébriques simples sur les fonctions usuelles . On utilisera la calculatrice pour déterminer les probabilités. Exemple 3 Sur TI : normalFRép(-1,2,0,1) donne P (−1 6 Z 6 2) ≃ 0, 819 ou sur Casio NormCD(-1,2,1,0). 1 • P (Z 6 0) = P (Z > 0) = . 2 Z b • P (Z 6 b) = lim a→−∞ a ϕ(x) dx : 6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes Terminale S Chapitre H - Lois à densité Exemple 4 Avec la calculatrice, il faudra écrire normalFRép(-10^99,1,0,1) pour P (Z 6 1) ≃ 0, 841. 1 Ou bien remarquer que P (Z 6 1) = P (Z 6 0) + P (0 6 Z 6 1) = + P (0 6 Z 6 1). 2 • P (Z 6 −b) = P (Z > b) = 1 − P (Z 6 b). • P (−a 6 Z 6 a) = 1 − 2P (Z > a) = 2P (Z 6 a) − 1. Propriété 4 Admise pour la variance Si Z ֒→ N (0, 1) alors son espérance est E(Z) = lim Z t→−∞ t 0 xϕ(x) dx + lim Z t→+∞ 0 t xϕ(x) dx = 0. et sa variance est î V (Z) = E (Z − E(Z)) 2 ó 2 = E(Z ) = lim Z t→−∞ t 0 2 x ϕ(x) dx + lim Z t→+∞ 0 t x2 ϕ(x) dx = 1. Démonstration En exercice. Théorème 2 Soit Z ֒→ N (0, 1). Pour tout réel α tel que 0 6 α < 1, il existe un unique nombre strictement positif uα tel que P (−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α. 7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes Terminale S Chapitre H - Lois à densité Démonstration Z x Soit Φ(x) = ϕ(t) dt = 2 −x Z x ϕ(t) dt (par parité de la fonction de Laplace-Gauss). 0 Comme ϕ est continue et positive, on en déduit que Φ est dérivable, et que sa dérivée 2ϕ est strictement positive, donc Φ est strictement croissante sur [0; +∞[. Ainsi, P (−uα 6 Z 6 uα ) = Φ(uα ). Donc P (−uα 6 Z 6 uα ) = 1 − α ⇔ Φ(uα ) = 1 − α. Puisque 0 < α < 1, on a 0 < 1 − α 6 1 et comme la fonction Φ est continue et strictement croissante sur [0; +∞[ avec Φ(0) = 0 et lim Φ(x) = 1, d’après le théorème de la bijection, l’équation Φ(x) = 1 − α possède une unique solution uα > 0. x→+∞ α avec la calculatrice. 2 Par exemple pour α = 0, 05, on trouve avec FracNormal(.05/2,0,1), u0,05 ≃ 1, 96 et pour α = 0, 01, u0,01 ≃ 2, 56. Remarque : En pratique, on cherche −uα , tel que P (Z 6 −uα ) = Exemple 5 Lors d’un concours, la moyenne des notes est de 8. On note Z la note obtenue par un candidat. En admettant que Z − 8 suit la loi normale N (0, 1). 1. À combien faut-il fixer la note de réussite pour que 60 % des candidats soient reçus ? Le seuil d’admission est le nombre a tel que P (Z > a) = 0, 6. Solution Or, P (Z > a) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 > a − 8) = 0, 6 ⇔ P (Z − 8 6 a − 8) = 0, 4. Avec la calculatrice FracNormal(0.4,0,1), on trouve a − 8 ≃ −0, 25, c’est-à-dire a ≃ 7, 75. 2. Dans quel intervalle de notes, centré en 8, se trouvent 80 % des résultats ? On cherche un nombre u tel que P (8 − u 6 Z 6 8 + u) = 0, 8 ⇔ P (−u 6 Z − 8 6 u) = 0, 8. α Or, 1 − α = 0, 8 ⇔ α = 0, 2 ⇔ = 0, 1. Solution 2 La calculatrice FracNormal(0.1,0,1) donne u ≃ 1, 28, c’est-à-dire que 80 % des notes sont dans l’intervalle [8−1, 28; 8+1, 28] = [6, 72; 9, 28]. 2. Loi normale N (µ, σ 2 ) Définition 8 Soient µ un réel et σ un réel strictement positifs. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ 2 ) lorsque la variable aléatoire la loi normale centrée réduite N (0, 1). X −µ suit σ Remarques : • µ est l’espérance de X et σ est son écart-type. • Les calculatrices permettent de calculer directement des probabilités selon la loi N (µ, σ 2 ) mais pn peut X −µ toujours se ramener à la loi normale centrée réduite pour la variable aléatoire Z = . σ 2 1 x−µ 1 • La densité de la loi normale N (µ, σ 2 ) est x 7→ √ e− 2 ( σ ) mais n’est pas à connaître. σ 2π Propriété 5 Soit une variable aléatoire X suivant la loi normal N (µ, σ 2 ) : P (µ − σ 6 X 6 µ + σ) ≃ 0, 683 P (µ − 2σ 6 X 6 µ + 2σ) ≃ 0, 954 8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes P (µ − 3σ 6 X 6 µ + 3σ) ≃ 0, 997 Terminale S Chapitre H - Lois à densité 3. Lien entre loi binomiale et loi normale Théorème 3 Moivre-Laplace (Admis) Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel de [0; 1]. On considère les variables aléatoires Xn suivants une loi binomiale B(n, p). Pour tous les réels a et b avec a < b, on a : é Ñ lim P n→+∞ Xn − np 6b a6 » np(1 − p) = P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1). Rappel de l’activité vu précédemment : En pratique On considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsqu’on a simultanément n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5. Dans ces conditions, on a donc pour tous réels a et b, Ñ P é Xn − np 6b a6 » np(1 − p) ≃ P (a 6 Z 6 b) où Z suit la loi normale centrée réduite N (0, 1). Remarque : Comme la loi binomiale est représentée par un histogramme dont les rectangles centrés en chaque valeur entière k comprise entre 0 et n ont pour largeur 1 et pour hauteur P (Xn = k), lorsqu’on approche la loi binomiale par la loi normale, il est préférable de remplacer P (k1 6 Xn 6 k2 ) par P (k1 − 0, 5 6 Xn 6 k2 + 0, 5) avant de centrer et réduire la variable aléatoire : c’est ce qu’on appelle la correction de continuité. 9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes Terminale S Chapitre H - Lois à densité Exemple 6 On lance 180 fois de suite un dé équilibré et on souhaîte estimer la probabilité d’obtenir entre 25 et 32 fois le chiffre 6. 1 Le nombre X de 6 obtenus suit la loi binomiale B(180, ). 6 1 X − 30 Les conditions n > 30, np = 180 × = 30 et np(1 − p) = 25 permettent de considérer que la variable aléatoire suit 6 5 «approximativement» une loi N (0, 1). en remplaçant P (25 6 X 6 32) par P (24, 5 6 X 6 32, 5) et P (24, 5 6 X 6 Solution On applique une correction de continuité, X − 30 6 0, 5 . 32, 5) = P −1, 1 6 5 Or, pour une variable aléatoire Z qui suit la loi normale N (0, 1), on a P (−1, 1 6 Z 6 0, 5) ≃ 0, 556, on peut donc estimer que P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 556. Si on calcule la probabilité précédente avec une loi binomiale, on trouve P (25 6 X 6 32) ≃ 0, 563. 10 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes