Algèbre Linéaire

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
FÉDÉRALE DE LAUSANNE
Algèbre Linéaire
Bachelor 1ère année
2009 - 2010
Génie Civil
&
Sciences et Ingénierie de l’Environnement
Support du cours de Dr. Lara Thomas
Polycopié initial élaboré par
Prof. Eva Bayer Fluckiger
Dr. Philippe Chabloz
Septembre 2009

2

Table des matières
1 Systèmes d’équations linéaires et matrices 7
1.1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Systèmes linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 EliminationGaussienne .................................. 12
1.3.1 Algorithme d’élimination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Méthode de résolution d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . 16
1.4 Systèmes homogènes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Eléments du calcul matriciel 19
2.1 Quelques définitions et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Leproduitmatriciel .................................... 20
2.2.1 Matriceidentité .................................. 21
2.3 Règlesducalculmatriciel ................................. 21
2.4 Ecriture matricielle des systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 L’inversiondesmatrices .................................. 23
2.5.1 Matrices 2×2................................... 24
2.5.2 Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Lesmatricesélémentaires ................................. 25
2.7 Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8 Matricestriangulaires ................................... 29
2.9 Latransposition ...................................... 30
2.10Latrace........................................... 31
2.11Matricessymétriques.................................... 32
2.12Matricesantisymétriques.................................. 32
3 Le déterminant 33
3.1 Permutations et déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Méthode pour calculer des déterminants de matrices de taille 2×2et 3×3. 36
3.2 Déterminants et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Les cofacteurs et la règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1 Calcul du déterminant par la méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Calcul de l’inverse par la méthode des cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.3 Systèmes linéaires : règle de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 49
4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Leproduitscalaire ..................................... 52
4.2.1 Projectionorthogonale............................... 54
4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Le produit mixte (triple product) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Droites et plans dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5.1 Equation du plan passant par un point P0et ayant vecteur normal n..... 61
3

4TABLE DES MATIÈRES
4.5.2 Droites dans l’espace de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Espaces euclidiens et applications linéaires 65
5.1 Espaces de dimension n.................................. 65
5.1.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2 Produitscalaire................................... 66
5.1.3 Norme et distance dans Rn............................ 67
5.1.4 Représentation matricielle des vecteurs de Rn.................. 68
5.1.5 Formule matricielle du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.6 Multiplication des matrices et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Applicationslinéaires.................................... 71
5.2.1 Rappels sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.2 Applicationslinéaires ............................... 72
5.2.3 Quelques exemples d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.4 Rotations ...................................... 75
5.2.5 Composition d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Propriétés des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6 Espaces vectoriels 81
6.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.2 Sous-espacesvectoriels................................... 83
6.2.1 Espace des solutions d’un système d’équations linéaires homogènes . . . . . . 84
6.3 Combinaisonlinéaire.................................... 85
6.4 Indépendancelinéaire ................................... 87
6.4.1 Interprétation géométrique de la dépendance linéaire . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5 Basesetdimension..................................... 89
6.6 Espace des lignes et colonnes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7 Changementsdebases................................... 99
6.7.1 Changement de bases en 2 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7.2 Dimensionquelconque............................... 100
7 Produits scalaires généralisés 103
7.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Anglesetorthogonalité .................................. 106
7.2.1 Angle formé par deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3 Bases orthogonales et méthode de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4 Matricesorthogonales ................................... 114
7.4.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4.2 Changement de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4.3 Décomposition Q-R : application du théorème 7.30 . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.5.1 Solution approximative d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . 117
8 Diagonalisation des matrices 121
8.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1.1 Calcul des vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Diagonalisation....................................... 125
8.2.1 Méthode pour diagonaliser une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.3 Matrices symétriques et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Applications linéaires 131
9.1 Définitionsetexemples................................... 131
9.1.1 Propriétés des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.1.2 Expression d’une application linéaire dans une base . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.3 Applications linéaires inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.4 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

TABLE DES MATIÈRES 5
10 Applications multilinéaires et tenseurs 143
10.1Formeslinéaires....................................... 143
10.1.1 Formes linéaires sur V: tenseurs d’ordre (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1.2 Espace dual, bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.1.3 Formes linéaires sur V∗: tenseurs d’ordre (1,0) ................. 145
10.2 Formes multilinéaires sur V: tenseurs d’ordre (0, m).................. 146
10.2.1 Formes bilinéaires sur V: tenseurs d’ordre (0,2) ................ 146
10.2.2 Tenseurs d’ordre (0, m).............................. 147
10.2.3 Quelques interprétations physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 Formes multilinéaires sur V∗: tenseurs d’ordre (m, 0) ................. 148
10.3.1 Une remarque sur les tenseurs d’ordre (1,0) ................... 148
10.3.2 Formes bilinéaires sur V∗: tenseurs d’ordre (2,0) ................ 148
10.3.3 Tenseurs d’ordre (m, 0) .............................. 148
10.4 Tenseurs mixtes d’ordre (p, q)............................... 149
10.4.1 Tenseurs d’ordre (p, q)............................... 149
10.4.2 Exemple des tenseurs d’ordre (1,1) ........................ 149
10.5 Opérations sur les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.6Changementdebases ................................... 150
10.6.1 Cas des tenseurs d’ordre (1,0) (vecteurs de V) ................. 151
10.6.2 Cas des tenseurs d’ordre (0,1) (formes linéaires sur V)............. 151
10.6.3 Cas des tenseurs d’ordre (0,2) (formes bilinéaires sur V) ........... 153
10.6.4 Cas des tenseurs (2,0) (formes bilinéaires sur V∗) ............... 153
10.6.5 Cas des tenseurs d’ordre (1,1) .......................... 153
10.6.6 Cas des tenseurs d’ordre (p, q).......................... 154
10.7Champstensoriels ..................................... 154
10.7.1 Définitions ..................................... 154
10.7.2 Changements de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.7.3 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (1,0) (champ vectoriel) . . . . . . . . . . . 155
10.7.4 Cas d’un champ tensoriel d’ordre (0,1) ...................... 155
10.7.5 Cas d’un champ quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Index ............................................... 158
Indexdesnotations........................................ 160