Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes 1 Généralités

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UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Gestion MATH201 : Probabilités
Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes
1 Généralités
Définition 1. Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé et  Cune application de Ωdans R2
On note :  C: Ω −→ R2
ω7−→ (X(ω), Y (ω)) où Xet Ysont deux V.A. définies sur (Ω,P(Ω),P).
On dit que  C= (X, Y )est un couple de V.A. discrètes, ou plus simplement couple aléatoire
discret, lorsque les V.A. Xet Ysont discrètes.
Exemple 1 On lance un dé. Xest le numéro qui sort et Yvérifie Y(Ω) = {0; 1}où Y= 0 si le
numéro est pair et Y= 1 si le numéro est impair.
Remarque : En principe, le couple  Cpourrait prendre une infinité (dénombrable) de valeurs,
cependant, dans tous les exemples traités, nous nous contenterons d’étudier des couples prenant
un nombre fini de valeurs.
Notations : Soit  C= (X, Y )un couple aléatoire discret. On note, dans le cas fini :
1. X(Ω) = {x1,· · · , xn}et Y(Ω) = {y1,· · · , ym}
2. pij = P(  C= (xi, yj)) = P((X=xi)∩(Y=yj)) pour tout (i, j)∈[[1, n]] ×[[1, m]]
3. pi•= P(X=xi)pour tout i∈[[1, n]]
4. p•j= P(Y=yj)pour tout j∈[[1, m]]
2 Loi conjointe, lois marginales
Définition 2. Soit  C= (X, Y )un couple aléatoire discret.
1. L0application p : X(Ω) ×Y(Ω) −→ [0,1]
(xi, yj)7−→ pij
s’appelle la loi conjointe du couple  C.
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2. L0application p•:X(Ω) −→ [0,1]
xi7−→ pi•
s’appelle la première loi marginale du couple
C. (C’est en fait la loi de X)
3. L0application p•:Y(Ω) −→ [0,1]
yj7−→ p•j
s’appelle la seconde loi marginale du couple  C.
(C’est en fait la loi de Y)
Remarque : Nous verrons que la loi conjointe d’un couple aléatoire  Cdétermine complètement
les lois marginales de  C, mais que la réciproque est fausse.
Théorème 1. Soit  C= (X, Y )un couple aléatoire discret. Avec les notations précédentes, on a :
1.∀i∈[[1, n]],pi•=
m
X
j=1
pij et 2.∀j∈[[1, m]],p•j=
n
X
i=1
pij
Remarque : On a bien évidemment : X
i∈[[1,n]]
pi•= 1 et X
j∈[[1,m]]
p•j= 1 puisque les pi•(respectivement
les p•j) représentent la loi de X(resp. de Y).
Enfin, X
i∈[[1,n]] X j∈[[1,m]]
pij =X
j∈[[1,m]] X i∈[[1,n]]
pij =X
(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]]
pij = 1
X
Yy1y2· · · yj· · · ymLoi de X
x1p11 p12 · · · p1j· · · p1mp1•
x2p21 p22 · · · p2j· · · p2mp2•
.
.
..
.
..
.
.
xipi1pi2· · · pij · · · pim pi•
.
.
..
.
..
.
.
xnpn1pn2· · · pnj · · · pnm pn•
Loi de Yp•1p•2· · · p•j· · · p•m1
Table 1 – représentation matricielle des lois de  C
Exercice 1 On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). On considère les variables
aléatoires Xet Ydéfinies sur {1; 2; 3; 4; 5; 6}par :
Xprend la valeur 0si le résultat est pair, et la valeur 1sinon.
Yprend la valeur 0si le résultat est 2ou 4, et la valeur 1sinon.
Donner le tableau de la loi conjointe du couple (X, Y )et des lois marginales.
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Exercice 2 Une urne contient 3boules blanches et 4boules noires. On tire successivement
deux boules de cette urne. On considère les V.A.R. Xet Ydéfinies par : Xprend la valeur 1si
la première boule tirée est blanche et 0sinon. Yprend la valeur 1si la seconde boule tirée est
blanche, et 0sinon. Donner la table de la loi conjointe de (X, Y )dans le cas où les tirages se font
avec remise, puis dans le cas où les tirages se font sans remise.
3 Lois conditionnelles
Remarque : Soient  C= (X, Y )un couple aléatoire discret, et xi, (respectivement yj) une valeur
prise par X) (respect. Y) telle que P(Y=yj)6= 0. On peut considérer la probabilité conditionnelle
P(Y=yj)(X=xi) = P((X=xi)∩(Y=yj))
P(Y=yj)=pij p•j
Définition 3. Soit  C= (X, Y )un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé.
1. Pour tout indice jtel que P(Y=yj)6= 0, on appelle loi conditionnelle de Xsachant
(Y=yj), l’application définie sur X(Ω), à valeurs dans [0,1] par :
xi7−→ P(Y=yj)(X=xi) = pij
p•j
2. Pour tout indice itel que P(X=xi)6= 0, on appelle loi conditionnelle de Ysachant
(X=xi), l’application définie sur Y(Ω), à valeurs dans [0,1] par :
yj7−→ P(X=xi)(Y=yj) = pij
pi•
Remarque : On a vu que
n
X
i=1
pij = p•jet
m
X
j=1
pij = pi•, les applications définies ci-dessus sont
donc bien des lois de probabilités n
X
i=1
pij
p•j
=
m
X
j=1
pij
pi•
= 1.
Exercice 3
On considère deux V.A.R. Xet Ydiscrètes sur un univers Ωtelles que X(Ω) = Y(Ω) =
{0; 1; 2}. On donne la table de la loi conjointe de (X, Y )et des lois marginales.
X
Y012Loi de X
0 0,1 0,2 0,3 0,6
1 0 0,1 0,2 0,3
2 0 0 0,1 0,1
Loi de Y0,1 0,3 0,6 1
Déterminer toutes les lois conditionnelles.
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4 Indépendance de V.A.R.
Définition 4. Soit  C= (X, Y )un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé quel-
conque. On dit que les V.A.R.D. Xet Ysont indépendantes si et seulement si
∀(i, j)∈[[1, n]] ×[[1, m]],P(X=xi)∩(Y=yj)= P(X=xi)·(Y=yj)
ou encore, avec les notations du paragraphe précédent :
∀(i, j)∈[[1, n]] ×[[1, m]],pij = pi•·p•j
Exercice 4
On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). On considère les V.A. Xet Ydéfinies
sur [[1; 6]] par :
Xprend la valeur 1si le résultat est pair, et la valeur −1sinon.
Yprend la valeur 2si le résultat est 2ou 5, et la valeur 1sinon.
Compléter la table de la loi conjointe
X
YLoi de X
Loi de Y1
Combien y-a-t-il d’égalités à vérifier pour justifier que les V.A.R.D. Xet Ydont indépen-
dantes ?
Remarque : Si CardX(Ω) = net CardY (Ω) = m, il y a n·mégalités à vérifier. Par contre,
pour justifier que deux V.A.R.D. ne sont pas indépendantes, il suffit de montrer qu’une égalité
n’est pas vérifiée !
Définition 5. On peut généraliser cette notion à dV.A.R. discrètes définies sur le même espace
probabilisé : elles sont dites mutuellement indépendantes si et seulement si :
∀α1∈X1(Ω),· · · ,∀αd∈Xd(Ω),
P(X1=α1)∩ · · · ∩ (Xd=αd)= P(X1=α1)× · · · × P(Xd=αd)
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5 Somme de deux V.A.R. discrètes
Le but de ce paragraphe est de déterminer la loi de la somme Z=X+Yde deux V.A.R
discrètes Xet Ydéfinies sur un même espace probabilisé Ω.
5.1 Définitions - Exemples
Exercice 5
On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). Soient Xet Yles V.A.R discrètes
définies par :
Xest le chiffre obtenu et Yprend la valeur 3si le résultat est un multiple de 3et 1sinon.
1. Donner la loi conjointe du couple (X, Y ), et les lois marginales
2. Donner la loi de la V.A.R. Z=X+Y
Remarque : Ainsi, lorsque pour une valeur z∈Z(Ω), on veut calculer P(Z=z), il faut
considérer l’ensemble Iz={(i, j)∈[[1, n]] ×[[1, m]]/xi+yj=z}. Cet ensemble décrit toutes les
façons d’obtenir zen sommant X+Y.Izétant une partie de [[1, n]] ×[[1, m]] donc de N2, elle est
dénombrable, et en utilisant la σ-additivité de P, on a :
P(Z=z) = P(X+Y=z)=P[
(i,j)∈Iz(X=xi)∩(Y=yj)
=X
(i,j)∈Iz
pij
Théorème 2. Soient Xet Ydeux V.A.R. discrètes indépendantes à valeurs dans N(ou une
partie de N). La loi de Z=X+Yest obtenue en faisant le produit de convolution de la loi de X
par la loi de Y, i.e.
∀n∈N,P(Z=n) = X
p+q=n
P(X=p)×P(Y=q) = X
p≥0
P(X=p)×P(Y=n−p)
Exercice 6
On considère deux variables aléatoires Xet Yde loi de Bernoulli de
paramètres 1
2et 2 3respectivement.
On suppose de plus que P({X= 0}∩{Y= 0}) = 1
6.
1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
2. On pose U=X+Yet V=X·Y. Déterminer la loi du couple (U, V ), ainsi que les lois des
variables aléatoires Uet V. Les variables aléatoires Uet Vsont-elles indépendantes ?
Exercice 7 Sur Ω = {−1; 0; 1}, on considère un couple (X, Y )de V.A. tel que, pour tout
(i;j)∈Ω2,
P({X=i}∩{Y=j}) =
1
9si i=j,
1
12 si i= 0 ou j= 0 et i6=j,
1
6si i=−jet i6=j.
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