Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes 1 Généralités

1
UNIVERSITÉ DE CERGY
Année 2012-2013
U.F.R. Économie & Gestion
Licence d’Économie et Gestion
MATH201 : Probabilités
Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes
1
Généralités
~ une application de Ω dans R2
Définition 1. Soit (Ω, P(Ω), P) un espace probabilisé et C
~ : Ω −→ R2
On note : C
où X et Y sont deux V.A. définies sur (Ω, P(Ω), P).
ω 7−→ (X(ω), Y (ω))
~ = (X, Y ) est un couple de V.A. discrètes, ou plus simplement couple aléatoire
On dit que C
discret, lorsque les V.A. X et Y sont discrètes.
Exemple 1 On lance un dé. X est le numéro qui sort et Y vérifie Y (Ω) = {0; 1} où Y = 0 si le
numéro est pair et Y = 1 si le numéro est impair.
~ pourrait prendre une infinité (dénombrable) de valeurs,
Remarque : En principe, le couple C
cependant, dans tous les exemples traités, nous nous contenterons d’étudier des couples prenant
un nombre fini de valeurs.
~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret. On note, dans le cas fini :
Notations : Soit C
1. X(Ω) = {x1 , · · · , xn } et Y (Ω) = {y1 , · · · , ym }
~ = (xi , yj )) = P((X = xi ) ∩ (Y = yj )) pour tout (i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]]
2. pij = P(C
3. pi• = P(X = xi ) pour tout i ∈ [[1, n]]
4. p•j = P(Y = yj ) pour tout j ∈ [[1, m]]
2
Loi conjointe, lois marginales
~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret.
Définition 2. Soit C
L0 application p : X(Ω) × Y (Ω) −→ [0, 1]
~
1.
s’appelle la loi conjointe du couple C.
(xi , yj )
7−→ pij
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2.
3.
L0 application p
: X(Ω) −→ [0, 1]
s’appelle la première loi marginale du couple
xi
7−→ pi•
~ (C’est en fait la loi de X)
C.
•
L0 application p•
: Y (Ω) −→ [0, 1]
~
s’appelle la seconde loi marginale du couple C.
yj
7−→ p•j
(C’est en fait la loi de Y )
~ détermine complètement
Remarque : Nous verrons que la loi conjointe d’un couple aléatoire C
~ mais que la réciproque est fausse.
les lois marginales de C,
~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret. Avec les notations précédentes, on a :
Théorème 1. Soit C
1. ∀i ∈ [[1, n]], pi• =
m
X
pij
et
2. ∀j ∈ [[1, m]], p•j =
j=1
X
p•j = 1 puisque les pi• (respectivement
j∈[[1,m]]
les p•j ) représentent
la loi de X
X (resp.
de Y ).
X
X
X
Enfin,
pij =
pij =
j∈[[1,m]] i∈[[1,n]]
X
pi• = 1 et
i∈[[1,n]]
Y
pij
i=1
Remarque : On a bien évidemment :
i∈[[1,n]] j∈[[1,m]]
n
X
X
pij = 1
(i,j)∈[[1,n]]×[[1,m]]
y1
y2
···
yj
···
ym
Loi de X
x1
p11
p12
···
p1j
···
p1m
p1•
x2
p21
p22
···
p2j
···
p2m
p2•
X
..
.
xi
..
.
pi1
pi2
···
..
.
pij
..
.
···
pim
pi•
..
.
..
.
xn
pn1
pn2
···
pnj
···
pnm
pn•
Loi de Y
p•1
p•2
···
p•j
···
p•m
1
~
Table 1 – représentation matricielle des lois de C
Exercice 1 On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). On considère les variables
aléatoires X et Y définies sur {1; 2; 3; 4; 5; 6} par :
X prend la valeur 0 si le résultat est pair, et la valeur 1 sinon.
Y prend la valeur 0 si le résultat est 2 ou 4, et la valeur 1 sinon.
Donner le tableau de la loi conjointe du couple (X, Y ) et des lois marginales.
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Exercice 2 Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire successivement
deux boules de cette urne. On considère les V.A.R. X et Y définies par : X prend la valeur 1 si
la première boule tirée est blanche et 0 sinon. Y prend la valeur 1 si la seconde boule tirée est
blanche, et 0 sinon. Donner la table de la loi conjointe de (X, Y ) dans le cas où les tirages se font
avec remise, puis dans le cas où les tirages se font sans remise.
3
Lois conditionnelles
~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret, et xi , (respectivement yj ) une valeur
Remarque : Soient C
prise par X) (respect. Y ) telle que P(Y = yj ) 6= 0. On peut considérer la probabilité conditionnelle
P(Y =yj ) (X = xi ) =
p
P((X = xi ) ∩ (Y = yj ))
= ij
P(Y = yj )
p•j
~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé.
Définition 3. Soit C
1. Pour tout indice j tel que P(Y = yj ) 6= 0, on appelle loi conditionnelle de X sachant
(Y = yj ), l’application définie sur X(Ω), à valeurs dans [0, 1] par :
xi 7−→ P(Y =yj ) (X = xi ) =
pij
p•j
2. Pour tout indice i tel que P(X = xi ) 6= 0, on appelle loi conditionnelle de Y sachant
(X = xi ), l’application définie sur Y (Ω), à valeurs dans [0, 1] par :
yj 7−→ P(X=xi ) (Y = yj ) =
Remarque : On a vu que
n
X
pij = p•j et
i=1
donc bien des lois de probabilités
m
X
pij = pi• , les applications définies ci-dessus sont
j=1
m
X
X
n
pij
pi•
pij
pij
=
=1 .
i=1 p•j
j=1 pi•
Exercice 3
On considère deux V.A.R. X et Y discrètes sur un univers Ω telles que X(Ω) = Y (Ω) =
{0; 1; 2}. On donne la table de la loi conjointe de (X, Y ) et des lois marginales.
Y
0
1
2
Loi de X
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 6
1
0
0, 1
0, 2
0, 3
2
0
0
0, 1
0, 1
Loi de Y
0, 1
0, 3
0, 6
1
X
Déterminer toutes les lois conditionnelles.
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4
Indépendance de V.A.R.
~ = (X, Y ) un couple aléatoire discret défini sur un espace probabilisé quelDéfinition 4. Soit C
conque. On dit que les V.A.R.D. X et Y sont indépendantes si et seulement si
∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]], P (X = xi ) ∩ (Y = yj ) = P(X = xi ) · (Y = yj )
ou encore, avec les notations du paragraphe précédent :
∀(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]], pij = pi• · p•j
Exercice 4
On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). On considère les V.A. X et Y définies
sur [[1; 6]] par :
X prend la valeur 1 si le résultat est pair, et la valeur −1 sinon.
Y prend la valeur 2 si le résultat est 2 ou 5, et la valeur 1 sinon.
Compléter la table de la loi conjointe
Y
Loi de X
X
Loi de Y
1
Combien y-a-t-il d’égalités à vérifier pour justifier que les V.A.R.D. X et Y dont indépendantes ?
Remarque : Si CardX(Ω) = n et CardY (Ω) = m, il y a n · m égalités à vérifier. Par contre,
pour justifier que deux V.A.R.D. ne sont pas indépendantes, il suffit de montrer qu’une égalité
n’est pas vérifiée !
Définition 5. On peut généraliser cette notion à d V.A.R. discrètes définies sur le même espace
probabilisé : elles sont dites mutuellement indépendantes si et seulement si :
∀α1 ∈ X1 (Ω), · · · , ∀αd ∈ Xd (Ω),
P (X1 = α1 ) ∩ · · · ∩ (Xd = αd ) = P(X1 = α1 ) × · · · × P(Xd = αd )
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5
5
Somme de deux V.A.R. discrètes
Le but de ce paragraphe est de déterminer la loi de la somme Z = X + Y de deux V.A.R
discrètes X et Y définies sur un même espace probabilisé Ω.
5.1
Définitions - Exemples
Exercice 5
On lance un dé non truqué (hypothèse d’équiprobabilité). Soient X et Y les V.A.R discrètes
définies par :
X est le chiffre obtenu et Y prend la valeur 3 si le résultat est un multiple de 3 et 1 sinon.
1. Donner la loi conjointe du couple (X, Y ), et les lois marginales
2. Donner la loi de la V.A.R. Z = X + Y
Remarque : Ainsi, lorsque pour une valeur z ∈ Z(Ω), on veut calculer P(Z = z), il faut
considérer l’ensemble Iz = {(i, j) ∈ [[1, n]] × [[1, m]]/xi + yj = z}. Cet ensemble décrit toutes les
façons d’obtenir z en sommant X + Y . Iz étant une partie de [[1, n]] × [[1, m]] donc de N2 , elle est
dénombrable, et en utilisant la σ-additivité de P, on a :
[
P(Z = z) = P(X + Y = z) = P
(X = xi ) ∩ (Y = yj )
(i,j)∈Iz
=
X
pij
(i,j)∈Iz
Théorème 2. Soient X et Y deux V.A.R. discrètes indépendantes à valeurs dans N (ou une
partie de N). La loi de Z = X + Y est obtenue en faisant le produit de convolution de la loi de X
par la loi de Y , i.e.
∀n ∈ N, P(Z = n) =
X
P(X = p) × P(Y = q) =
p+q=n
X
P(X = p) × P(Y = n − p)
p≥0
Exercice 6
On considère deux variables aléatoires X et Y de loi de Bernoulli de
1
2
paramètres et respectivement.
2
3
1
On suppose de plus que P ({X = 0} ∩ {Y = 0}) = .
6
1. Déterminer la loi du couple (X, Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
2. On pose U = X + Y et V = X · Y . Déterminer la loi du couple (U, V ), ainsi que les lois des
variables aléatoires U et V . Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ?
Exercice 7
(i; j)∈ Ω2 ,
Sur Ω = {−1; 0; 1}, on considère un couple (X, Y ) de V.A. tel que, pour tout
P ({X = i} ∩ {Y = j}) =

1





9


 1

12




1


6
si i = j,
si i = 0 ou j = 0 et i 6= j,
si i = −j et i 6= j.
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5.2
Quelques cas particuliers
6
1. Représenter ces données dans une table. Déterminer les lois marginales de X et Y .
2. Déterminer l’espérance de X, puis celle de Y .
3. Les V.A. X et Y sont-elles indépendantes ?
4. Déterminer la loi de probabilité de la variable Z = X + Y .
Exercice 8
La loi d’un couple (X, Y ) de V.A. est donnée par le tableau suivant :
Y
−2
−1
0
1
2
Loi de X
0
0
0
1
6
1
12
1
12
1
3
1
0
1
12
1
24
1
24
0
1
6
2
1
4
1
8
1
8
0
0
1
2
Loi de Y
1
4
5
24
1
3
1
8
1
12
1
X
1. Calculer E(X) et E (Y ).
2. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ?
3. On pose Z = X + Y . Donner le tableau de la loi de probabilité du couple (X, Z). Les V.A.
X et Z sont-elles indépendantes ?
5.2
5.2.1
Quelques cas particuliers
Loi binomiale
Théorème 3. Soient X ,→ B(n, p) et Y ,→ B(n0 , p) (le paramètre p doit être le même !) deux
V.A. indépendantes : alors X + Y ,→ B(n + n0 , p)
Corollaire : Considérons n V.A.R. indépendantes qui suivent toutes la même loi de Bernouilli
(ou loi Binomiale B(1, p)). Alors Z = X1 + X2 + · · · + Xn suit la loi binomiale B(n, p) .
5.2.2
Loi de Poisson
Théorème 4. Soient X ,→ P(λ) et Y ,→ P(µ) deux V.A. indépendantes qui suivent des lois
de Poisson ; alors X + Y ,→ P(λ + µ)
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5.3
Espérance
5.3
7
Espérance
Théorème 5. Soient X et Y deux V.A.R.D. définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On
suppose que X et Y possèdent chacune une espérance. Alors
1. X + Y possède une espérance et E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
2. Pour tous réels a et b, W = aX + b possède une espérance et E(W ) = a.E(X) + b.
5.4
Variance et covariance
Théorème 6. Soit X une V.A.R.D. définie sur (Ω, P(Ω), P). On suppose que X possède une
variance. Alors Y = aX + b (où (a, b) ∈ R2 ) possède une variance et V (Y ) = a2 V (X)
Définition 6. Soient X et Y deux V.A.R.D. définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On
suppose que X et Y possèdent chacune une variance. On appelle covariance de X et Y , notée
cov (X, Y ), l’espérance du produit des V.A.R. centrées associées à X et à Y , i.e.
cov (X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))]
Théorème 7. Avec les notations ci-dessus, on a :
cov (X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y )
Théorème 8. Soient X et Y deux V.A.R.D. définies sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On
suppose que X et Y possèdent chacune une variance. Alors
1. La V.A.R.D. Z = X + Y possède également une variance
2. V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2cov (X, Y )
5.5
Corrélation linéaire
Définition 7. Soient X et Y deux V.A.R. discrètes sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On
suppose que X et Y possèdent chacune une variance non nulle.
On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y le nombre réel noté ρX,Y défini
par :
cov (X, Y )
ρX,Y =
σ(X).σ(Y )
où σ(X) (respectivement σ(Y )) est l’écart-type de X (respectivement de Y ) et σ(X) =
Remarque : Il existe une inégalité (dite de Cauchy-Schwarz) en analyse qui s’écrit :
n
X
xi y i i=1
6
n
X
i=1
!1/2
x2i
·
n
X
!1/2
yi2
i=1
Cette inégalité s’applique
ici : |cov (X, Y )| 6 σ(X).σ(Y )
Conséquence : ρX,Y ≤ 1
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q
V (X) .
5.5
Corrélation linéaire
8
Théorème 9. Soient X et Y deux V.A.R. discrètes sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P). On
suppose que X et Y possèdent chacune une variance non nulle. On a l’implication
Xet Y indépendantes ⇒ cov (X, Y ) = 0
Xet Y indépendantes ⇒ V (X + Y ) = V (X) + V (Y )
Remarque :
Ces deux implications ne possèdent pas de réciproque !
Exercice 9
La loi d’un couple de V.A.R. discrètes (X, Y ) est donné par le tableau ci-dessous : (X(Ω) =
{1; 2} et Y (Ω) = {1; 2.3.} ).
Y
1
2
3
Loi de X
1
0
1
2
0
1
2
2
1
4
0
1
4
1
2
Loi de Y
1
4
1
2
1
4
1
X
Calculer cov (X, Y ). X et Y sont-elles indépendantes ?
Exercice 10
Un dé équilibré est lancé n fois. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de chiffres pairs
obtenus et Y la variable aléatoire égale au nombre de 1 obtenus.
1. Pour n = 2, explicitez la loi conjointe de X et Y . Calculez cov(X; Y ).
2. Dans le cas général, calculez V(X), V(Y ), V(X + Y ) et en déduire cov(X; Y ).
Indication pour V(X + Y ) : quelle est la loi de X + Y ?
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