devoir 1 - Institut de Mathématiques de Marseille

Université de Marseille
Licence de Mathématiques, 3eme année, Probabilités-Statistique
Devoir pour jeudi 9 février
Exercice 1 (Indépendance et Indépendance 2à2)On montre ici qu’il est possible d’avoir 3
v.a.r. X1,X2,X3indépendantes deux à deux et telles que (X1+X2)et X3ne sont pas indépen-
dantes.
L’espace probabilisé (Ω,A, p)est formé d’un ensemble Ωqui a 4éléments, Ω = {a, b, c, d}. La
tribu Aest l’ensemble des parties de Ωet pest la probabilité sur Adéfinie par p({a}) = p({b}) =
p({c}) = p({d}) = 1/4. Les 3v.a.r considérées sont définies par Xi= 1Aiavec A1={a, b},
A2={a, c}et A3={b, c}.
1. Montrer que X1,X2,X3sont indépendantes deux à deux.
2. Montrer que (X1+X2)et X3ne sont pas indépendantes.
3. En déduire que X1,X2,X3ne sont pas indépendantes.
Exercice 2 (Médianes)
Soit µune mesure de probabilités sur B(IR). On appelle médiane de µtout réel mtel que
µ([m, +∞[) ≥1
2et µ(] − ∞, m]) ≥1 2.
On note Fla fonction de répartition de µ.
1. Déterminer toutes les médianes de µpour les cas suivants :
(a) La loi de Bernoulli µ=1
2δ0+1 2δ1,
(b) la loi de Bernoulli µ=1
3δ0+2 3δ1,
(c) la loi uniforme sur l’intervalle [0,1].
2. On note t∗= inf{t;F(t)≥1
2}. On souhaite démontrer que t∗est une médiane de µ.
(a) Montrer que F(t∗)≥1
2. En déduire que µ(] − ∞, t∗]) ≥1 2.
(b) Montrer que pour tout t < t∗, on a µ([t, +∞[) ≥1
2. En déduire que t∗est une médiane pour µ.
Exercice 3 (Probabilité conditionnelle, loi conditionnelle) Soit (Ω,A, P )un espace probabilisé.
Soit Aun événement de probabilité non nulle. On définit la probabilité conditionnelle sachant A
par la formule
PA(B) = P(B|A) = P(B∩A)
P(A)pour tout B∈A.
1. Vérifier que (Ω,A, PA)est un nouvel espace probabilisé. Montrer que PA(A) = 1.
Soit Xune variable aléatoire réelle. La loi conditionnelle de Xsachant Aest la loi (PA)Xc’est-à-
dire l’image de la mesure PApar X.
2. On suppose que la loi de Xest la loi uniforme sur [0,1]. On pose A={X≤1
2}. Déterminer la
loi conditionnelle de Xsachant A.
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