Variable aléatoire, espérance, écart

Variable(aléatoire,(espérance,(écart!type,!le#cas#discret
Définitions
1) Soit une expérience aléatoire
ε
et l’ensemble de ses issues (fini ou dénombrable) dénoté par U,
son univers associé. Une variable aléatoire réelle X est une application de U dans
!
qui associe
un nombre réel xi à une issue donnée. La notation X = xi correspond à l’événement de
!(U)
admettant pour image xi. Ainsi, si une probabilité est définie sur
!(U)
alors on notera la
probabilité de l’événement admettant xi pour image par P(X = xi) ou plus simplement (s’il n’y a
pas de confusion possible) par
pi
.
On appelle loi de probabilité (ou distribution) l’ensemble des couples
(xi;pi)
.
Exemple.
ε
est « lancer deux dés non pipés », U = {(i ; j) où
1!i!6
et
1!j!6
}.
X: (i;j)!("1)i+j(i+j)
. On gagne cette somme si l’image est > 0 sinon on la perd !
P(X=12) =1 / 36 =P(X=2)
;
P(X=!11) =1/ 18
etc.
Question. Ce jeu est-il équitable ? Pour y répondre déterminons le « gain moyen ».
2) L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X est la somme des images xi
pondérées par leur probabilité P(X = xi). En somme c’est une sorte de valeur moyenne
obtenue après n itérations de l’expérience aléatoire
ε
.
Elle se note et se calcule par :
E(X)=xi!P(X=xi)
1"i"n
#=xi!pi
1"i"n
#
ou encore
µ
X
Exercice. Montrer que pour le jeu précédent E(X) = 0 et donc qu’il est équitable.
3) Pour mesurer la dispersion autour de la moyenne on introduit la notion de variance et
d’écart type des concepts à la base issus des sciences statistiques.
Par définition la variance se note et s’obtient ainsi :
V(X)=E(X! µ
X)2
"
#$ %=(xi
i
&!
µ
X)2'pi
Au verso figure une preuve (élémentaire) de la formule de König :
V(X)=E(X2)!(E(X))2
Preuve de la formule de König.
V(X)=E(X! µ
X)2
"
#$ %=(xi
i
&!
µ
X)2'pi=x2 i
i
&'pi!2
µ
Xxi
i
&'pi+
µ
2
Xpi
i
&=
=E(X2)!2 µ
2
X+
µ
2
X=E(X2)!(E(X))2=
µ
X2!
µ
2
X
On appelle écart type le nombre
! =V(X)
. Ce nombre correspond encore mieux à une
mesure de dispersion autour de
µ
puisqu’il admet les mêmes unités que
µ
.
4) Si X et Y sont deux variables aléatoires discrètes alors on définit
pij =P(X=xi,Y=yj)
,
la probabilité conjointe. On dit que X et Y sont indépendantes si
!i et j
on a
P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)
ou plus simplement
pij =pi!pj
.
Par définition on pose :
E(X+Y)=pij (xi+yj)
i,j
!
et
E(X!Y)=pij (xiyj)
i,j
"

Preuves.
1)
E(X+Y)=(xi+yj)pij =
i,j
!(xipij +yjpij )=
i,j
!xipij +
j
!
i
!yjpij =
i
!
j
!xipi+yjpj
j
!=
i
!E(X)+E(Y)
Remarque. Ci-dessus nous avons utilisé le fait que :
E(X)=xipi=
i
!xipij
i,j
!
où i et j
parcourent toutes les valeurs possibles des variables aléatoires X et Y.
2)
E(XY )=xiyjpij
i,j
!=xiyjP(x=xi,y=yj)
i,j
!=
indep.
var.
xiyjP(x=xi)P(y=yj)
i,j
!
=xiP(x=xi)
i
!"yjP(y=yj)
j
!=E(X)"E(Y)
3)
V(X+Y)=
König
par
(xi+yj)2pij ! µ
2
X+Y=
i,j
"(x2
i+2xiyj+y2 j)pij !(E(X+Y))2
i,j
"
=
esper.
linéar.
x2
ipij
i,j
"+2xiyjpij
i,j
"+y2
jpij
i,j
"!(E(X)+E(Y))2
=x2
ipij
i,j
"+2xiyjpij
i,j
"+y2
jpij
i,j
"!
µ
X
2!2
µ
X
µ
Y!
µ
Y
2
=
Remar
par
x2
ipi
i
"+2xiyjpij
i,j
"+y2
jpj
j
"!
µ
X
2!2
µ
X
µ
Y!
µ
Y
2
=
indep
par
x2
ipi
i
"+2xiyjpipj
i,j
"+y2
jpj
j
"!
µ
X
2!2
µ
X
µ
Y!
µ
Y
2
=x2
ipi
i
"+2xipiyjpj
j
"
i
"+y2
jpj
j
"!
µ
X
2!2
µ
X
µ
Y!
µ
Y
2
= µ
X2+2
µ
X
µ
Y+
µ
Y2!
µ
X
2!2
µ
X
µ
Y!
µ
Y
2
= µ
X2!
µ
X
2+
µ
Y2!
µ
Y
2
=
König
par
V(X)+V(Y)
Soit une épreuve « genre binaire » (réussie ou ratée) répétée n-fois (épreuves identiques).
On note Xi la variable aléatoire prenant la valeur 1 si ‘réussi’, 0 sinon, au i-ième essai.
Une telle variable aléatoire s’appelle de Bernoulli (1685).
Supposons
P(Xi=1) =p
(un nombre compris entre 0 et 1) et donc
P(Xi=0) =1!p
.
Posons
X=X1+X2+X3+!+Xn
la variable aléatoire qui somme le nombre de réussites.
Alors
E(X)=E(X1+X2+X3+!+Xn)=E(X1)+!+E(Xn)=np
et
V(X)=V(X1+!+Xn)=V(X1)+!+V(Xn)= µ
X1
2!
µ
X1
2
( )
n=(p!p2)n=(1!p)pn
La variable aléatoire qui compte le nombre k de réussites sur n épreuves s’appelle une loi
binomiale (de paramètre n et p). On la note et elle s’obtient par :
P(X=k)=n
k
!
"
#$
%
&pk(1'p)n'k
Exercice. Montrer que 1)
P(X=k)
k=0
n
!=1
2)
µ =np
3)
!
2=V(X)=np(1"p)
Théorème. Soit X et Y des variables aléatoires discrètes relatives à une épreuve
ε
. Alors
1)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
2) Si X et Y sont indépendantes alors
E(X!Y)=E(X)!E(Y)
3) Si X et Y sont indépendantes alors
V(X+Y)=V(X)+V(Y)