a 1 , …, a n

Algèbre linéaire et matrice
Ce chapitre est destiné à introduire les notions de base d’algèbre linéaire afin
de comprendre l’environnement (2D et 3D) nécessaire pour l’infographie
I. L’espace vectoriel IRn, n ∈ IN*
1.Définition
def : on définit IRn par : IR*IR*IR*…*IR
on a IRn = {(x1,…xn) (x1 ∈ IR, …, xn ∈ IR)}
exemple :
1) n = 2
IR² = {(x,y) tel que x et y appartiennent à IR}
IR² : ensemble des vecteurs à 2 composantes
donc IR² : plan vectoriel
2) n = 3
IR3 = {(x,y,z) tel que x, y et z appartiennent à IR}
IR3 : ensemble des vecteurs à 3 composantes
donc IR3 : espace 3D
Remarque :
-
(0,0) ∈ IR²
(0,0,0) ∈ IR3
(1,2,3) ∈ IR3
…
On peut aussi noter les composantes des vecteurs en vertical.
0 1
(00) , 0, 2, …
0 3
def 2 :
Un espace vectoriel est considéré comme un ensemble de vecterus (contenant le vecteur nul) muni
de 2 lois : + et .
IRn est un IR espace vectoriel tel que :
1) pour tout (x,y) appartenant à IRn * IRn, x+y appartient à IRn
2) pour tout (alpha, y) appartenant ) IRn*IRn, alpha.x appartient à IRn
Ex :
1)
x
y
x+y
2)
Remarques : il existe d’autres espaces vectoriels =/= IRn tels que :
1) l’ensemble des applications de IR dans IR
2) l’ensemble des suites réelles (applications de IN dans IR)
3) l’ensemble des polynomes à coefficient réel
…
2. Famille libre, génératrice. Bases
def 1 : soit E un IR –ev (espace vectoriel)
On dit que la famillle (a1, , an) de vecteurs de E, (avec a1 appartient E, …, an appartient à E)
est une famille libre si :
-
il n’existe aucun lien linéaire entre tous les vecteurs a1, …, an
exemple :
1) pour IR²
((12), (23) ) est-ce une famillle libre ?
soit k ∈ IR le lien éventuel
(12) = k (23)
1 = 2𝑘
{
2 = 3𝑘
𝑘 = 1/2
{
𝑘 = 2/3
absurde
 pas de lien
 libre
La liberté dans le plan c’est la non colinéarité
2) ((−2
), (−5
))
5
10
soit k ∈ IR tel que :
2
(−5
) = 𝑘 (−4
)
10
𝑘 = 1/2
2 = −4𝑘
{
{
OK
𝑘 = −1/2
−5 = 10𝑘
1
2
donc (−5
) = − 2 (−4
)
10
 colinéarité
 non libre : la famille est lié
3) plus de deux vecteurs de IR² forment une famille liée
u = mw + kv (lien linéaire)
on dit aussi que 𝑢
⃗ est combinaison linéaire de 𝑤
⃗⃗ et 𝑣
4) dans IR3
1
0
((2) , (1)) : libre
3
2
1
−2
1
((−2) , ( 4 )) : liée : = -2 (−2)
3
6
3
1
3
1
((2) , (4) , ( 0))
3
6
1
soit (x,y) ∈ IR²
1
3
1
(2) = 𝑥 (4) + 𝑦 (0)
3
6
1
1 = 3𝑥 + 𝑦
 { 2 = 4𝑥
3 = 6𝑥 + 𝑦
1
𝑥=2
 {𝑦 = 1 − 3 = − 1
2
2
𝑦 = 3−3=0
donc famille libre

plus de 3 vecteurs de IR3 forment une famille liée
def 2 : autre définition de la lierté d’une famille de vecteurs.
Soit E : IR –ev
la famille (a1, .., an) est libre de E si
pour tout (alpha1, …, alphan) ∈ IR n
∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎𝑖 𝑎𝑖 = 0 => alpha1 = …= alphan = 0
ex :
1 3
1) (( ) , ( ))
2 4
soit (alpha, beta) ∈ IR² tel que
1
3
0
alpha ( ) + 𝑏𝑒𝑡𝑎 ( ) = ( )
2
4
0
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 + 3𝑏𝑒𝑡𝑎 = 0
{
2𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 + 4𝑏𝑒𝑡𝑎 = 0
−2𝑏𝑒𝑡𝑎 = 0
{
 alpha = beta = 0
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 = 0
donc c’est libre
2)
1
3
5
((2) , (−4) , (0))
3
1
7
soit (alpha, beta, gamma) ∈ IR3 tel que
1
3
0
5
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 (2) + 𝑏𝑒𝑡𝑎 (−4) + 𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 (0) = (0)
3
1
0
7
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 + 3𝑏𝑒𝑡𝑎 + 5𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 = 0
2𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 − 4 𝑏𝑒𝑡𝑎 = 0
{
3𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 + 𝑏𝑒𝑡𝑎 + 7𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 = 0
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 = 2 𝑏𝑒𝑡𝑎
{5 𝑏𝑒𝑡𝑎 + 5 𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 = 0
7𝑏𝑒𝑡𝑎 + 7𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 = 0
{
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 = 2 𝑏𝑒𝑡𝑎
𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎 = −𝑏𝑒𝑡𝑎
Non libre car pour beta = 1 par ex, on a alpha = 2 et gamma = -1
definition 3 : combinaison linéaire de vecteurs
Soit a1, …, an des vecteurs de E : IR –ev.
On dit que x ∈ E est combinaison liéaire de a1, …, an si :
x = ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎𝑖 𝑎𝑖 , alpha1, …, alphan ∈ IR
ex :
−6
( 2 ) 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒
8
7
−2
1
de (2) 𝑒𝑡 ( 0 )
7
1
2
7
−
−6
1
2
( 2 ) = (2) + 2 ( 0 )
7
8
1
2
def4 : Famille génératrice
Soit (a1, …, an) famille de vecteurs de E : IR –ev
On dit que (a1, …, an) est génératrice de E si elle engendre tout vecteur de E.
𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒
C'est-à-dire E = {
𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠 (a1, … , an)
= ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎𝑖 𝑎𝑖 , alpha1 ∈ IR, …, alphan ∈ IR
= vect {a1, …, an}
1
0
ex : (( ) , ( )) famille génératrice de IR²
0
1
𝑥
soit (𝑦) ∈ 𝐼𝑅² quelconque
𝑥
1
0
on a (𝑦) = 𝑥 ( ) + 𝑦 ( )
0
1
1
0
 IR² = vert{( ) , ( )}
0
1
1 2
2) (( ) , ( ))
2 3
𝑥
soit (𝑦) ∈ 𝐼𝑅² 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑞𝑢𝑒
on pose (alpha, beta) ∈ IR² tel que
𝑥
1
2
(𝑦) = 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 ( ) + 𝑏𝑒𝑡𝑎 ( )
2
3
𝑥 = 𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 + 2𝑏𝑒𝑡𝑎
{
𝑦 = 2𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 + 3𝑏𝑒𝑡𝑎
𝑦 − 2𝑥 = −𝑏𝑒𝑡𝑎
{
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 = 𝑥
𝑏𝑒𝑡𝑎 = 2𝑥 − 𝑦
{
𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎 = 𝑥 − 2(2𝑥 − 𝑦) = −3𝑥 + 2𝑦
on a
𝑥
1
2
(𝑦) = (−3𝑥 + 2𝑦) ( ) + (2𝑥 − 𝑦) ( )
2
3
=(
−3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑥 − 2𝑦
)
−6𝑥 + 4𝑦 + 6𝑥 − 3𝑦
3) IR² ne peut être engendrée par un vecteur
4) IR3 ne peut être engendrée par 2 vecteurs
def 5 : Bases
Une base d’un IR –ev est un famille libre et génératrice
3. Dimension d’un espace vectoriel
def : soit E un IR ev muni d’une base finie B .
la dimension de E est le nombre de vecteurs de B à savoir : dimension de E = card B
ex :
1) dim IR² = 2
2) dim IR = 1
3) dim IR n = n
𝑥
4) soit P = { (𝑦) , 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅 }
0
P : le plan de z=0 de IR3 c’est un sous-espace vectoriel de IR3
1
0
dim P = 2 car ((0) , (1)) base de P
0
0
𝑥
5) soit D = {(0) , 𝑥 ∈ 𝐼𝑅}
𝑥
1
dim D = 1 car ((0)) base de D .
1
𝑥
𝑦
ex : Q = {( ) ∈ 𝐼𝑅 4 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 𝑧 𝑒𝑡 𝑦 = −𝑡
𝑧
𝑡
𝑥
−𝑡
= {( ) ∈ 𝐼𝑅 4 , 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, 𝑡 ∈ 𝐼𝑅
𝑥
𝑡
1
0
0
−1
= {𝑥 ( ) + 𝑡 ( )
1
0
0
1
1
1
0
0
0
−1
0
−1
= vect {( ) , ( )  {( ) , ( ) est génératrice de Q
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
−1
0
−1
( ) 𝑒𝑡 ( ) sont non colinéraires, donc {( ) , ( ) libre
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
−1
condition ( ) , ( ) base de Q
1
0
0
1
donc dim Q = 2
propriété : Soit (a1, …, an) famille de vecteurs de E : Irev
On fixe dim E = n = card (a1,…, an)
Alors il y a équivalence de :
1
(a1,…, an) libre de E
2
(a1,…, an) génératrice de E
3
(a1,…, an) base de E
ex :
𝑥
Q = {𝑦 ∈ 𝐼𝑅 3 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑧
𝑥
= {𝑦 ∈ 𝐼𝑅 3 𝑧 = −𝑥 − 𝑦
𝑧
𝑥
= {𝑦 ∈ 𝐼𝑅 3 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅
𝑧
1
0
Q = {𝑥 ( 0 ) + 𝑦 ( 1 ) , 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, 𝑦 ∈ 𝐼𝑅
−1
−1
1
0
=vect {( 0 ) , ( 1 ) ,
−1
−1
1
0
 (( 0 ) , ( 1 )) génératrice de Q
−1
−1
1
0
donc (( 0 ) , ( 1 )) base de Q
−1
−1
II. Les matrices : définitions + opérateurs
1.Définitions
Def : On appelle matrice n lignes p colonnes à coefficients dans IR toute application IRn * IRp  IR
qui se note (aij) 1≤𝑖≤𝑛 , 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝐼𝑅
1≤𝑗≤𝑝
on note la matrice A par :
A = (aij) 1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑝
𝑎1
= (𝑎𝑛
1
𝑎1𝑝
𝑎𝑛𝑝 )
remarque :
1) Dans la notation (aij) 1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑝
i : indice des lignes
j : indice des colonnes
𝑎1𝑗
2) pour 𝑗 ∈ [[1, 𝑝]], ( ⋮ ) 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑎𝑛𝑗
le jième vecteur colonne de A
pour i ∈ [[1, 𝑛]], (ai1, …, aip) représente
le iième vecteur ligne de A.
[[𝑎, 𝑏]] = { 𝑥 ∈ 𝑍𝑍 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
3) Si n =p, on dit que le matrice A est carrée
4) Une matrice possède n lignes et p colonne se nomme aussi matrice nxp ou matrice typ (n,p).
5) l’ensemble des matrices nxp à coefficients dans IR se note Mn1p(IR) si n=p, il se note Mn(IR)
ex :
1 2
3
1) A = (5 −7 10) ∈ 𝑀3 (𝐼𝑅)
1 −1 2
2 1
2) B = (0 −1) ∈ 𝑀3,2 (𝐼𝑅)
2 1
3) 𝐶 = (1
0 −1 4) ∈ 𝑀1,4 (𝐼𝑅)
1 0
2 4
4) D= (0 1 −1 0) ∈ 𝑀3,4 (𝐼𝑅)
1 −1 3. 4
= (dij) 1≤𝑖≤3 d12 = 0, d32 = -1
1≤𝑗≤4
propriété : L’ensemble Mn,p (IR) est sur IR –ev de dimensions n*p
En effet
𝑎11
soit A = ( ⋮
𝑎𝑛1
⋯
⋯
𝑎1𝑝
⋮ ) ∈ 𝑀n,p (IR)
𝑎𝑛𝑝
donc Mn,p (IR) = vect {E11, E12, …, E21, …, Enp}
de plus , (E11, E12, …, E21, …, Enp) libre
donc (E11, E12, …, E21, …, Enp) base de Mn,p (IR)
conclusion dim Mn,p (IR) = n*p
2. Opérations élémentaires
a.Somme
La somme de 2 matrices n’est possible que si elles ont le même nimlbre de lignes et le même nombre
de colonnes.
A = (aij) 1≤𝑖≤𝑛 ∈ Mnp(IR)
1≤𝑗≤𝑝
B = (bij) 1≤𝑖≤𝑛 ∈ Mnp(IR)
1≤𝑗≤𝑝
Alors A+B = (aij + bij) 1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑝
1 2
ex : (
−1 0
3
0 1
)+(
1
−3 1
2
1 3
)=(
−4
−4 1
5
)
−3
1 2 3
1 2
(
)+ (
) , 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑒
−1 1 0
−1 0
1 2
1+(
) , 𝑎𝑏𝑢𝑟𝑑𝑒
3 4
b. Produit matrices / scalaires
principe : multiplier chacune des composants de la matrice par le scalaire.
 Soit A ∈ Mn,p (IR) et 𝜆 ∈ IR
On pose A = (aij) 1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑝
𝜆𝐴 = (𝜆aij) 1≤𝑖≤𝑛
1≤𝑗≤𝑝
1 −1 2
−3
3
−6
ex : -3(
)=(
)
1 4 −1
−3 −12 3
c.Produit de matrices
Soit A∈ M n,p (IR) , B ∈ Mq,m (IR)
Le produit A × B existe ssi p = q
principe : on distribue les lignes de A avec les colonnes de B
On pose A = (aij) 1≤𝑖≤𝑛 , B = (bij) 1≤𝑖≤𝑝
1≤𝑗≤𝑝
𝑏11
( ⋮
𝑏𝑝1
⋯
𝑎11
⋮
𝑎𝑖1
⋮
(𝑎𝑛1
⋯
…
…
⋯
𝑏1𝑗 …
⋮
𝑏𝑝𝑗 …
1≤𝑗≤𝑛
𝑏1𝑛
⋮ )
𝑏𝑝𝑛
𝑎1𝑝
⋮
𝑎𝑖𝑝
⋮
𝑎𝑛𝑝)
𝑝
(∑ 𝑎𝑖𝑘 − 𝑏𝑘𝑗 )
𝑘=1
Ex : Calculer A * B
1 2 0
1) A = (−1 2 1)
1 1 1
1 −2
B = (2 1 )
3 0
5
= (6
6
0
4)
−1
1*1+2*2+3*0
1 2
2) 𝐴 = (
−1 2
3
)
1
1
𝐵 = (2)
0
5
=( )
3
3) A = (1 2
1
0
3 4) B = ( ) = (5)
0
1
1
4) A = (2) B = (1
3
1 0
AB = (2 0
3 0
0 1
0 2)
0 3
0 0
1)
5) Absurde car A a 3 colonnes B a 2 lignes
Propriété 1 :
Soit 𝐴 ∈ Mn,p (IR)
B ∈ Mn,p (IR)
C ∈ Mn,p (IR)
Alors A*(B*C) = (A*B)*C
le produit est associatif
Propriété 2 :
Soit 𝐴 ∈ Mn,p (IR)
𝐵 ∈ Mp,q (IR)
Alors A(B+C) = AB + BC
Le produit est distributif sur l’addition
Attention : Le produit n’est pas, général, commutatif
c'est-à-dire si A,B ∈ Mn (IR)
1 1
0
1
En effet, avec A = (
), B = (
)
2 1
−1 −1
−1 0
AB = (
)
−1 1
2 1
BA = (
)
−3 2
Autre ex : A, B ∈ Mn (IR)
(A+B) ² =/= A² + 2AB + B²
(A+B)(A+B) = A² + AB + BA + B²
3. Tranposée de matrices
def : Soit A = (aij) 1≤𝑖≤𝑛 ∈ Mn,p (IR)
1≤𝑗≤𝑝
On définit la transposée de A par tA telle que :
t
A = (bij) 1≤𝑖≤𝑛 , bij = aij
1≤𝑗≤𝑝
Elle est obtenue en échangeant les lignes avec les colonnes de A
ex : Calcul tA avec
1 0
3 t
), A = (2 1)
0
3 0
1 2
1) A = (
0 1
1
2) A = (2), tA = (1
3
2 3)
Propriété : Soit A,B ∈ Mnp (IR)
1) t(A+B) = tA + tB
2) t(alpha A) = alpha tA
3) t(tA) = A
Propriété :
Soit A ∈ Mnp (IR) , B ∈ Mpq (IR)
t
(AB) = tA . tB
0
ex : Soit A = (
2
1
), B ∈ M2 (IR)
3
1 −1
Donner B tel que t(AB) = (
)
2 1
𝑎
On pose B = (
𝑐
1
or t(AB) = (
2
1
 AB = t(
2
𝑏
)
𝑑
−1
)
1
−1
)
1
1 2
 AB = (
)
−1 1
0 1
𝑎
(
) *(
2 3
𝑐
𝑐
=(
2𝑎 + 3𝑐
𝑏
)
𝑑
𝑑
)
2𝑏 + 3𝑑
𝑐 = 1, 𝑑 = 2
{
2𝑎 + 3𝑐 = −1, 2𝑏 + 3𝑑 = 1
{
𝑐 = 1, 𝑑 = 2
5
𝑎 = −2, 𝑏 = − 2
5
Donc B = (−2 − 2)
1
2
4. Inversion de matrices
prop : Soit A,B ∈ Mn(IR)
A et B inversibles
Alors A.B inversibles
ou a (AB)-1 = B-1A-1
propriété2 : Soit A ∈ Mn (IR)
A inversible
(tA) -1 = t(A-1)
(A-1) -1 = A
Cela n’est possible que pour les matrices carrées
définition : Soit A ∈ Mn (IR)
On dit que A est inversible si : il existe B ∈ Mn (IR)
A.B = B.A = In
1
On note In = (
0
) : matrice identitée n * n
⋱
0
1
Dans ce cas, on note B par A-1 l’inverse de A
Utilité en infographie :
permet de revenir à la position initiale
Méthode de calcul : 1ère version
A ∈ Mn (IR)
𝑦1
On fixe Y ∈ IR un vecteur quelconque Y = ( ⋮ )
𝑦𝑛
n
On dit que A est irreversible so
𝑥1
il existe un X = ( ⋮ ) ∈ 𝐼𝑅 n unique solution
𝑥𝑛
du système :
𝑦1 = 𝑎11 𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛
⋮
S:{
𝑦𝑛 = 𝑎𝑛1 𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛
𝑎11
𝑦1
(S)  ( ⋮ ) = ( ⋮
𝑦𝑛
𝑎𝑛1
⋯
⋯
𝑎1𝑛
𝑥1
⋮ )( ⋮ )
𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛
X unique
 A-1Y= X
Ex : Inversement A
1 1
1) A = (
)
−1 2
1)
𝑦1
Soit Y = (𝑦 ) ∈ 𝐼𝑅²
2
𝑥1
On cherche X = (𝑥 ) ∈ 𝐼𝑅²
2
(en fonction de Y) tant que
Y = AX
𝑦1
1 1 𝑥1
 (𝑦 ) = (
)( )
−1 2 𝑥2
2
{
𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑦1 + 𝑦2 = 3𝑥2
2
1
𝑥1 = 𝑦1 − 𝑥2 = 3 𝑦1 − 3 𝑦2
{
1
1
𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2
3
3
donc A est inversible, on a :
2
1
3 1
3 2
𝑦1 − 3 𝑦2
𝑥1
(𝑥 ) = (31
)
1
2
𝑦 + 𝑦
𝑦1
1 2 −1
= 3(
) (𝑦 )
1 1
2
 X = A-1 Y
Vérification
1 2
2) A = (1 1
0 1
−1
1)
1
𝑦1
Soit Y = (𝑦2 ) ∈ 𝐼𝑅 3
𝑦3
𝑥1
On cherche X 𝑋 = (𝑥2 ) ∈ IR3
𝑥3
Y = AX
𝑦1 = 𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3
{ 𝑦2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
𝑦3 = 𝑥2 + 𝑥3
𝑦2 − 𝑦3 = 𝑥1
{𝑦1 + 𝑦2 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝑦3 = 𝑥2 + 𝑥3
𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦3
{3𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2 − 2(𝑦2 − 𝑦3)
𝑥3 = 𝑦3 − 𝑥2
𝑥1 = 𝑦2 − 𝑦3
1
{ 𝑥2 = 3 (𝑦1 − 𝑦2 + 2𝑦3)
1
𝑥3 = 3 (−𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3)
0
1 −1
𝑦1
𝑥1
1
1
2
−
(𝑥2) = ( 3
3
3 ) (𝑦2)
1
1
1
𝑦3
𝑥3
−3 3
3
0
3 −3
1
A-1 = ( 1 −1 2 )
3
−1 1
1
Vérification
0
3 −3
( 1 −1 2 )
−1 1
1
1
1
𝐴. 𝐴-1 = 3 (1
0
2 −1 1 0
1 1 ) (0 1
1 1
0 0
0
0)
1
5. Déterminant de matrices
Valable uniquement pour les matrices carrés
Soit A ∈ Mn (IR) , A = (aij) 1≤𝑖≤𝑛
def 1 : développement suivant une colonne j ∈ [[1, 𝑛]]
det A = ∑𝑛𝑖=1(−1)i+j . aij . ∆i,j
def2 : développement suivant
une ligne i ∈ [[1,n]]
det A = ∑𝑛𝑗=1(−1)i+j aij ∆ij
on définit ∆ij : déterminant dela sous-matrice de A obtenue en supprimant la ième ligne et la jième
colonne.
def 1 et 2 : Calcul récursif du déterminant qui devient vite couteux. (d’autres méthodes existent pour
l’analyse matricielle).
La condition d’arrêt de ce traitement est le calcul du déterminant d’une matrice 2x2
𝑎
(
𝑐
𝑏
) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑
Ex : Calcul de |A|
1 0
1) A = (2 1
0 1
−1
1)
1
0 1
2) A = (4 1
6 0
−1
1)
3
1 0
1) |A| = |2 1
0 1
1 1
0
= 1.|
| -2 |
1 1
1
−1
1|
1
−1
|+0
1
= 0 – 2 + 0 = -2
3) Calculer
1 2 3
|A| = |−2 4 5|
−1 1 3
|A| = 1 . |
2
4 5
| - (-2) |
1
1 3
3
2
|+ (-1) |
3
4
3
|
5
= 3*4 – 5+2(2*3 – 3) – (2*5 – 4*3)
=7+6+2
= 15
Utilité :
2D :
𝑎
𝑐
soit 𝑢
⃗ ( ) 𝑣( ),𝑢
⃗ 𝑛𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠
𝑏
𝑑
det (𝑢
⃗ 𝑣 ) = aire algébrique du parallélogramme défini par 𝑢
⃗ 𝑒𝑡 𝑣
 |det (𝑢
⃗ 𝑣 )| = aire du parallélogramme
𝑎 𝑐
 |
| = ad – bc
𝑏 𝑑
si 𝑢
⃗ // 𝑣 n’existe pas
 det (𝑢
⃗ 𝑣) = 0
en 3D :
𝑥3
𝑥1
𝑥2
soit 𝑢
⃗ (𝑦1) 𝑣 (𝑦2) 𝑤
⃗⃗ (𝑦3)
𝑧3
𝑧1
𝑧2
𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ non coplanaires
det (𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ ) = volume algébrique du parallélépipède engendré par 𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗
|𝑑𝑑(𝑢
⃗ 𝑣𝑤
⃗⃗ )| = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙é𝑙é𝑝𝑖𝑝è𝑑𝑒
Si 𝑢
⃗ , 𝑣, 𝑤
⃗⃗ sont co-planaires alors le parallélépipède n’existe pas.
det (𝑢
⃗ 𝑣𝑤
⃗⃗ ) = 0
Conclusion : le calcul du déterminant de plusieurs vecteurs permet de savoir si la famille constituée
de ces vecteurs est libre ou liée
Cad :
𝑎1𝑖
si (a1, …, an) famille de vecteurs de IR ai = ( ⋮ )
𝑎𝑛𝑖
(a1, …, an) libre de IRn
 (a1, …, an) base de IRn
𝑎11
| ⋮
𝑎𝑛1
…
⋯
𝑎1𝑛
⋮ |
𝑎𝑛𝑛
propriété :
𝑎11
soit A = ( ⋮
𝑎𝑛1
𝜆 ∈ 𝐼𝑅
…
⋯
𝑎1𝑛
⋮ ) ∈ 𝑀𝑛 (𝐼𝑅)
𝑎𝑛𝑛
on a :
1) |𝐶1 … 𝜆𝐶𝑖 … 𝐶𝑛| = 𝜆|𝐶1 … 𝐶𝑛|
2) |𝐶1 … 𝐶𝑖 + 𝐶𝑖 ′ … 𝐶𝑛| = |𝐶1 … 𝐶𝑖 … 𝐶𝑛| + |𝐶1 … 𝐶𝑖 ′ … 𝐶𝑛|
ex :

1
|4
6
2 3
1
4 5| = 2 |4
6 7
6

1
|4
7
2 3
1
5 6| = |4
8 9
7
1 3
2 1
2 5| = | 8 2
3 7
12 3
1 3
1 1
1 6| + |4 4
1 9
7 7
3
5|
7
3
6|
9
Propriété :
1) Le déterminant d’une matrice constituée d’une ligne (ou d’une colonne) de 0 est nul
2) Si l’on échange lignes (ou 2 colonnes) d’une matrice, son déterminant est multiplié par -1
ex :
1
|4
7
2 3
4 5
=
−
|
|
5 6
1 2
8 9
7 8
7 8
6
=
|
|
1 2
3
4 5
9
9
3|
6
3) Si l’une des lignes (ou l’une des colonnes) est combinaison linéaire des autres lignes (ou autres
colonnes) . Alors la famille de vecteurs lignes (ou colonnes) constituant la matrice est liée, donc son
déterminant est nul.
4) On ne change pas le déterminant d’une matrice en ajoutant à une ligne (ou une colonne) une
combinaison linéaire des autres lignes (ou des autres colonnes)
prop : Soit A ∈ Mn (IR), 𝜆 ∈ 𝐼𝑅
1) |A| = |tA|
2) | 𝜆𝐴| = 𝜆n|A|
3) A inversible  |A| =/= 0
1
dans ce cas, on a : |A-1| = |𝐴|
prop : Soit 𝐴 ∈ Mn (IR)
Si A est inversible,
1
on a A-1 = |𝐴| ∗ tcom(A)
explication :
com(A) = co-matrice de A = matrice des co-facteurs de A
com(A) = (𝐶𝑖𝑗)1≤𝑖,𝑗≤𝑛
Cij : co-facteurs tant que :
Cij = (-1)i+j.∆ij
Ex : Inverser A :
1 −1 2
1) A = (1 1 −1)
2 1 −1
1 −1
−1 2
−1 2
|A| = |
|− |
|+ 2|
|
1 −1
1 −1
1 −1
= 0 + 1 – 2 = -1 ≠ 0 donc A inversible
1 −1
1
−|
|
|
1 −1
2
−1 2
1
com A = − |
|
|
1 −1
2
−1 2
1
( | 1 −1| − |1
−1
1 1
|
|
|
−1
2 1
2
1 −1
| −|
|
−1
2 1
2
1 −1
|
|
|
−1
1 1 )
0 −1 −1
= ( 1 −5 −3)
−1 3
2
0 −1 −1
0 −1 1
conclusion : A-1 = -1 * t( 1 −5 −3) = (1 5 −3)
−1 3
2
1 3 −2
Vérification :
0 −1 1
(1 5 −3)
1 3 −2
1 −1 2
1 0
A.A-1 = (1 1 −1) (0 1
2 1 −1
0 0
0
0)
1
−1 1 2
2) A = ( 2
0 1)
1 −1 1
0 1
1 2
1
|A| = -1|
| − 2|
|+ |
−1 1
−1 1
0
2
| = 1 – 6 + 1 = -6 =/= 0 => A inv
1
0 1
2 −1
2 0
|
| −|
|
|
|
−1 1
1 1
1 −1
1 2
−1 2
−1 1
com A = − |
|
|
| −|
|
−1 1
1 1
1 −1
1 2
−1 2
−1 1
−|
|
|
|
( |0 1|
2
1
2 0)
1 −1 −2
= (−3 −3 0 )
1
5 −2
1 −3 1
1
Donc A-1 = − 6 (−1 −3 5 )
−2 0 −2
Vérif :
1 −3 1
(−1 −3 5 )
−2 0 −2
−1 1 2 1 0 0
1
AA-1 = - 6 ( 2
0 1) ( 0 1 0)
1 −1 1 0 0 1