a 1 , …, a n

Algèbre linéaire et matrice
Ce chapitre est destiné à introduire les notions de base d’algèbre linéaire afin
de comprendre l’environnement (2D et 3D) nécessaire pour l’infographie
I. L’espace vectoriel IRn, n  IN*
1.Définition
def : on définit IRn par : IR*IR*IR*…*IR
on a IRn = {(x1,…xn) (x1  IR, …, xn  IR)}
exemple :
1) n = 2
IR² = {(x,y) tel que x et y appartiennent à IR}
IR² : ensemble des vecteurs à 2 composantes
donc IR² : plan vectoriel
2) n = 3
IR3 = {(x,y,z) tel que x, y et z appartiennent à IR}
IR3 : ensemble des vecteurs à 3 composantes
donc IR3 : espace 3D
Remarque :
- (0,0)  IR²
- (0,0,0)  IR3
- (1,2,3)  IR3
- …
On peut aussi noter les composantes des vecteurs en vertical.
 , 
,  , …
def 2 :

Un espace vectoriel est considéré comme un ensemble de vecterus (contenant le vecteur nul) muni
de 2 lois : + et .
IRn est un IR espace vectoriel tel que :
1) pour tout (x,y) appartenant à IRn * IRn, x+y appartient à IRn
2) pour tout (alpha, y) appartenant ) IRn*IRn, alpha.x appartient à IRn
Ex :
1)
x
y x+y
2)
Remarques : il existe d’autres espaces vectoriels =/= IRn tels que :
1) l’ensemble des applications de IR dans IR
2) l’ensemble des suites réelles (applications de IN dans IR)
3) l’ensemble des polynomes à coefficient réel
…
2. Famille libre, génératrice. Bases
def 1 : soit E un IR –ev (espace vectoriel)

On dit que la famillle (a1, , an) de vecteurs de E, (avec a1 appartient E, …, an appartient à E)
est une famille libre si :
- il n’existe aucun lien linéaire entre tous les vecteurs a1, …, an
exemple :
1) pour IR²
,  est-ce une famillle libre ?
soit k IR le lien éventuel
 = k 
 absurde
 pas de lien
 libre
La liberté dans le plan c’est la non colinéarité
2) 
, 
soit k  IR tel que :
 OK
donc 
 colinéarité
 non libre : la famille est lié
3) plus de deux vecteurs de IR² forment une famille liée
u = mw + kv (lien linéaire)
on dit aussi que  est combinaison linéaire de  et 

4) dans IR3
 : libre
 : liée : = -2 
soit (x,y)  IR²
donc famille libre
 plus de 3 vecteurs de IR3 forment une famille liée
def 2 : autre définition de la lierté d’une famille de vecteurs.
Soit E : IR –ev
la famille (a1, .., an) est libre de E si
pour tout (alpha1, …, alphan)  IR n
 => alpha1 = …= alphan = 0
ex :

1) 
soit (alpha, beta)  IR² tel que
alpha 
  alpha = beta = 0
donc c’est libre
2)
soit (alpha, beta, gamma)  IR3 tel que
Non libre car pour beta = 1 par ex, on a alpha = 2 et gamma = -1
definition 3 : combinaison linéaire de vecteurs
Soit a1, …, an des vecteurs de E : IR –ev.
On dit que x  E est combinaison liéaire de a1, …, an si :
x = 
 , alpha1, …, alphan  IR
ex :