TD5 : Algèbre linéaire

TD5 : Algèbre linéaire
Lycée Lakanal, Sup PCSI B
Le but de ce TD est d’apprendre à manipuler les
matrices, et à résoudre des problèmes simples d’algèbre
linéaire, avec Maple. Les commandes utilisées font partie de la librairie linalg. Il est fortement conseillé de se
référer à l’aide sur linalg.
Comme pour les matrices, on définit un vecteur soit
par une liste, soit avec la commande vector. Attention :
Maple affiche en ligne les vecteurs, alors que ce sont des
vecteurs colonnes.
Commandes de base sur les vecteurs :
—————————————————————
αu
u+v
u.v
t
u
Exercice 1 : Manipulation
de matrices. On peut
a b
définir la matrice A =
de deux manières
c d
différentes :
alpha ∗ u (mult. par un scalaire)
evalm(u + v)
dotprod(u, v) (produit scalaire)
transpose(u)
Définir les vecteurs et la matrice :
 



1
2
1





0
−3
4
u=
, v=
, A=
2
1
7
>A:=[[a,b],[c,d]];
ou bien :
>with(linalg):
>A:=matrix([[a,b],[c,d]]);

2 3
5 6 
8 9
Calculer u.v, Au, A3 (u − v).
—————————————————————
Pour afficher la matrice, utiliser print ou evalm. Pour
Exercice 3 : Soit E un espace vectoriel de dimenobtenir l’élément b, on tape A[1, 2].
sion 4 et soit (e1 , e2 , e3 , e4 ) une base de E. On définit
Les opérations de base sur les matrices sont :
l’endomorphisme ϕ de E par :
αA
evalm(alpha ∗ A) (mult. par un scalaire)
ϕ(e1 ) = −2e2 + 2e3 − 5e4
A + B evalm(A + B)
ϕ(e2 ) = −3e1 + 2e3 − 6e4
AB
evalm(A&*B) (produit de matrices)
ϕ(e3 ) = −e1 + 3e3 − e4
k
k
A
evalm(A )
ϕ(e4 ) = e1 + 2e2 − e3 + 6e4
det(A) det(A)
−1
A
inverse(A)
Soit ψ l’endomorphisme de E défini par : ψ = 2Id − ϕ.
t
A
transpose(A)
Définir les matrices :
1 2
A=
2 4
1) Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par
les vecteurs w1 = e1 − e2 , w2 = e2 + e4 , w3 = e3 .
B=
0 1
−1 5
a) Quelle est la dimension de F ?
(indication : pour déterminer une relation de
et calculer leur somme, leur produit. Calculer t A.
dépendance entre des vecteurs, il suffit de calculer le
Que fait la commande augment(A,B) ?
noyau de la matrice ayant ces vecteurs pour colonnes.
Calculer le déterminant de A et de B (chercher la Utiliser les commandes augment et kernel )
commande dans linalg). En déduire que la matrice A
est non inversible, et que la matrice B est inversible.
b) Montrer que : ∀u ∈ F ψ(u) ∈ F .
Calculer le noyau de A. Calculer B −1 .
2) Soient u1 = 2e1 − e2 − e3 + e4 , u2 = −ψ(u1 ),
—————————————————————
u3 = −ψ(u2 ).
Exercice 2 : Manipulation de vecteurs
1
a) Calculer ψ(u3 ).
b) Déterminer des réels a, b, c tels
u4 = e1 + ae2 + be3 + ce4 vérifie u4 = −ψ(u4 ).
que
c) Montrer que (u1 , u2 , u3 , u4 ) est une base de E.
Ecrire dans cette base la matrice de ψ, puis celle de ϕ.
Quel est le rang de ϕ ?
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Exercice 4 : Résolution de systèmes linéaires
Elle s’effectue à l’aide de la commande linsolve (voir
l’aide). Résoudre les systèmes d’équations :

 x+y+z = 0
x+y = 1
3x − y − 2z = 2
2x + 2y = 2

x − 2y + 4z = 3
Que signifie le symbole _t1 ?
Résoudre et discuter sur C le

 x − ay + a2 z
ax − a2 y + az

ax + y − a3 z
système :
=
=
=
a
1
1
—————————————————————
Exercice 5 : Calcul d’une puissance nième de matrice.
Considérons IR3 muni de sa base canonique, et soit
l’endomorphisme ϕ ayant pour matrice dans cette
base :


0 1
2
A =  2 0 −1 
2 −1 0
Diagonaliser ϕ revient à exprimer cet endomorphisme
dans une autre base de IR3 , de sorte que dans cette
nouvelle base la matrice de ϕ soit diagonale.
1) Déterminer des vecteurs v1 , v2 , v3 tels que :
Av1 = v1 , Av2 = 2v2 , Av3 = −3v3
2) Montrer que (v1 , v2 , v3 ) est une base de IR3 .
3) Définir la matrice de passage P de la base canonique
à la base (v1 , v2 , v3 ).
4) Calculer P −1 AP . Que remarquez vous ?
5) Application : calculer An , n ∈ IN.
2