TD5 : Algèbre linéaire

TD5 : Algèbre linéaire
Lycée Lakanal, Sup PCSI B
Le but de ce TD est d’apprendre à manipuler les
matrices, et à résoudre des problèmes simples d’algèbre
linéaire, avec Maple. Les commandes utilisées font par-
tie de la librairie linalg. Il est fortement conseillé de se
référer à l’aide sur linalg.
—————————————————————
Exercice 1 : Manipulation de matrices. On peut
définir la matrice A=a b
c d de deux manières
différentes :
>A:=[[a,b],[c,d]];
ou bien :
>with(linalg):
>A:=matrix([[a,b],[c,d]]);
Pour afficher la matrice, utiliser print ou evalm. Pour
obtenir l’élément b, on tape A[1,2].
Les opérations de base sur les matrices sont :
αA evalm(alpha ∗A)(mult. par un scalaire)
A+B evalm(A+B)
AB evalm(A&*B)(produit de matrices)
Akevalm(Ak)
det(A)det(A)
A−1inverse(A)
tA transpose(A)
Définir les matrices :
A=1 2
2 4 B=0 1
−1 5 
et calculer leur somme, leur produit. Calculer tA.
Que fait la commande augment(A,B) ?
Calculer le déterminant de A et de B (chercher la
commande dans linalg). En déduire que la matrice A
est non inversible, et que la matrice Best inversible.
Calculer le noyau de A. Calculer B−1.
—————————————————————
Exercice 2 : Manipulation de vecteurs
Comme pour les matrices, on définit un vecteur soit
par une liste, soit avec la commande vector. Attention :
Maple affiche en ligne les vecteurs, alors que ce sont des
vecteurs colonnes.
Commandes de base sur les vecteurs :
αu alpha ∗u(mult. par un scalaire)
u+v evalm(u+v)
u.v dotprod(u, v)(produit scalaire)
tu transpose(u)
Définir les vecteurs et la matrice :
u=
1
0
2
, v =
2
−3
1
, A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Calculer u.v,Au,A3(u−v).
—————————————————————
Exercice 3 : Soit Eun espace vectoriel de dimen-
sion 4 et soit (e1, e2, e3, e4)une base de E. On définit
l’endomorphisme ϕde Epar :
ϕ(e1) = −2e2+ 2e3−5e4
ϕ(e2) = −3e1+ 2e3−6e4
ϕ(e3) = −e1+ 3e3−e4
ϕ(e4) = e1+ 2e2−e3+ 6e4
Soit ψl’endomorphisme de Edéfini par : ψ= 2Id −ϕ.
1) Soit Fle sous-espace vectoriel de Eengendré par
les vecteurs w1=e1−e2,w2=e2+e4,w3=e3.
a) Quelle est la dimension de F?
(indication : pour déterminer une relation de
dépendance entre des vecteurs, il suffit de calculer le
noyau de la matrice ayant ces vecteurs pour colonnes.
Utiliser les commandes augment et kernel )
b) Montrer que : ∀u∈F ψ(u)∈F.
2) Soient u1= 2e1−e2−e3+e4,u2=−ψ(u1),
u3=−ψ(u2).
1

a) Calculer ψ(u3).
b) Déterminer des réels a, b, c tels que
u4=e1+ae2+be3+ce4vérifie u4=−ψ(u4).
c) Montrer que (u1, u2, u3, u4)est une base de E.
Ecrire dans cette base la matrice de ψ, puis celle de ϕ.
Quel est le rang de ϕ?
—————————————————————
Exercice 4 : Résolution de systèmes linéaires
Elle s’effectue à l’aide de la commande linsolve (voir
l’aide). Résoudre les systèmes d’équations :
x+y+z= 0
3x−y−2z= 2
x−2y+ 4z= 3 x+y= 1
2x+ 2y= 2
Que signifie le symbole _t1?
Résoudre et discuter sur Cle système :
x−ay +a2z=a
ax −a2y+az = 1
ax +y−a3z= 1
—————————————————————
Exercice 5 : Calcul d’une puissance nième de matrice.
Considérons IR3muni de sa base canonique, et soit
l’endomorphisme ϕayant pour matrice dans cette
base :
A=
0 1 2
2 0 −1
2−1 0
Diagonaliser ϕrevient à exprimer cet endomorphisme
dans une autre base de IR3, de sorte que dans cette
nouvelle base la matrice de ϕsoit diagonale.
1) Déterminer des vecteurs v1, v2, v3tels que :
Av1=v1, Av2= 2v2, Av3=−3v3
2) Montrer que (v1, v2, v3)est une base de IR3.
3) Définir la matrice de passage Pde la base canonique
à la base (v1, v2, v3).
4) Calculer P−1AP . Que remarquez vous ?
5) Application : calculer An,n∈IN.
2