Cinq leçons sur l`Analyse Fonctionnelle

Cinq le¸cons sur l’Analyse Fonctionnelle
Fran¸cois Berteloot

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Table des mati`eres
1 Un survol des principaux espaces fonctionnels 5
1.1 Espace des fonctions born´ees sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Espaces de fonctions sur un espace topologique . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Espaces de fonctions d´efinies sur une partie de IRk....... 9
1.3 Espaces de fonctions mesur´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Les espaces Lp........................... 11
1.3.2 L’espace de Hilbert L2...................... 13
1.4 Espacesduals ............................... 14
1.4.1 Dual topologique d’un espace vectoriel norm´e . . . . . . . . . 14
1.4.2 Le th´eor`eme de Hahn-Banach dans le cas s´eparable . . . . . . 16
1.4.3 Dual des espaces C(K) et Lp.................. 18
2 L’espace C(K)23
2.1 Questions de compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Un concept : l’´equicontinuit´e, un outil : le proc´ed´e diagonal . . 23
2.1.2 Le th´eor`eme d’Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Le th´eor`eme de Banach-Alaoglu . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Questions d’approximation et de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Le th´eor`eme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 L’universalit´e de C(K).......................... 37
2.3.1 Plongements d’espaces de Banach dans C(K) ......... 38
2.3.2 Vers le th´eor`eme de Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . . . . . 41
3 M´ethodes hilbertiennes 45
3.1 Structure hermitienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Formes sesquilin´eaires et hermitiennes . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Orthogonalit´e........................... 47
3.2 Le Th´eor`eme de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Projection de meilleure approximation . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Suppl´ementaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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3.3 Propri´et´es essentielles des espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Isom´etrie avec le dual topologique, op´erateur adjoint . . . . . 51
3.3.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 Compacit´e faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.4 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 M´ethodes banachiques 59
4.1 Propri´et´es essentielles des espaces m´etriques complets . . . . . . . . 60
4.1.1 Le th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Quelquesoutils .......................... 62
4.2 Lin´earit´e et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Le th´eor`eme de Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2.2 Le th´eor`eme de l’application ouverte . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.3 Le th´eor`eme du graphe ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Bases dans les espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1 BasesdeHamel.......................... 75
4.3.2 Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Prolongement des formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.1 Le th´eor`eme de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4.2 Un crit`ere de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 M´ethodes g´eom´etriques 89
5.1 Les convexes dans un espace norm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 Formes lin´eaires, jauges et semi-normes . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 Le th´eor`eme de s´eparation de Hahn-Banach . . . . . . . . . . 93
5.1.3 Le th´eor`eme de Krein-Milman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Espaces localement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.1 Topologie induite par une famille de semi-normes . . . . . . . 97
5.2.2 Topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.3 Born´es faibles et born´es forts, ferm´es faibles et ferm´es forts . . 103
5.2.4 Compacit´e faible dans un espace dual . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Espacesr´eflexifs..............................106
5.3.1 Crit`eres de r´eflexivit´e et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.2 R´eflexivit´e et compacit´e s´equentielle faible . . . . . . . . . . . 109
6 Solutions des exercices 115
6.1 Exercices de la premi`ere le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Exercices de la deuxi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3 Exercices de la troisi`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4 Exercices sur la quatri`eme le¸con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
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Le¸con 1
Un survol des principaux espaces
fonctionnels
Ce n’est l`a que le d´ebut de l’inva-
sion spectaculaire de l’analyse par la
topologie que l’on ne peut gu`ere com-
parer qu’`a la marche triomphale de
l’id´ee de groupe `a travers toutes les
math´ematiques.
De mˆeme que dans ce dernier cas,
il faut bien se persuader que cette in-
troduction de nouvelles ”structures”
math´ematiques n’a pas eu pour mo-
tif un vain d´esir de g´en´eralisation gra-
tuite, mais bien la constatation que
ces nouvelles id´ees conduisaient natu-
rellement `a des m´ethodes d’attaque
plus simples, plus souples et plus puis-
santes pour de nombreux probl`emes
classiques.
J. Dieudonn´e.
Il est `a peu pr`es imposible de faire quoi que ce soit de s´erieux sur des espaces qui
ne sont pas complets car il y est impossible de prouver la convergence d’une suite
sans en connaitre la limite. C’est pourquoi, dans les quelques pages qui suivent, nous
nous attacherons `a justifier pr´ecis´ement la compl´etude des espaces consid´er´es.
1.1 Espace des fonctions born´ees sur un ensemble
Etant donn´e un ensemble Xquelconque nous noterons F(X, IC) l’ensemble des
fonctions d´efinies sur Xet `a valeurs dans IC. L’ensemble F(X, IC) est clairement
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