Arithmétique 1 Multiples et diviseurs Exercice 1) Montrer que quel

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Arithmétique
1 Multiples et diviseurs
Exercice
1) Montrer que quel que soit l’entier naturel n, 3n4 + 5n + 1 est impair.
2) En déduire qu’il n’est pas divisible par n(n + 1).
Solution
1) Le produit de deux entiers impairs est impair, donc si n est impair, 3n4 et 5n sont impairs.
La somme de deux entiers impairs est paire, donc 3n4 + 5n est pair, et donc 3n4 + 5n + 1 est
impair.
2) n(n + 1) est le produit de deux entiers consécutifs, dont l’un des deux est nécessairement
pair, il est donc pair.
3n4 + 5n + 1, nombre impair, n’est donc pas divisible par n(n + 1) qui est pair.
Exercice
Soit a et b deux entiers impairs.
Montrer que a2 + b2 est divisible par 2 mais pas par 4.
Solution
Soit a = 2n + 1 et b = 2m + 1. Alors :
a2 + b2 = 4n2 + 4n + 4m2 + 4m + 2 = 2(2n2 + 2n + 2m2 + 2m + 1) = 4(n2 + n + m2 + m) + 2, est
divisible par 2 mais pas par 4.
2 Division euclidienne
Exercice
Dans la division euclidienne de a par b, si le dividende augmente de 52 et le diviseur de 4, le
quotient et le reste ne changent pas.
Calculer le quotient.
Solution
Il s’agit de résoudre le système : 
++=+
+=
rqba
rbqa
)4(52 ⇔  ++=+
+=
qrbqa
rbqa
452 .
D’où 52 = 4q, et donc q = 13.
Exercice
Soit b ∈ *. Dans la division euclidienne de 990 par b, le quotient est 39.
En déduire b et r.
Solution
b = 25 er r = 15.
Exercice
1) Le reste de la division euclidienne de n par 12 est 2.
Quel est le reste de la division euclidienne de n par 6 ?
2) Le reste de la division euclidienne de n par 12 est 7.
Quel est le reste de la division euclidienne de n par 6 ?
Solution
1) 2 ; 2) 2.

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3 Congruences
Exercice
Démontrer sans calculer :
1) 155 − 35 ≡ 0 [12] ; 2) 910 − 510 ≡ 0 [7]
Solution
an − bn = (a − b)(an − 1 + an − 2b + an − 3b2 + … + bn − 1)
1) 155 − 35 = (15 − 3)(154 + 153 × 3 + 152 × 32 + 15 × 33 + 34), est donc multiple de 12.
2) 910 − 510 = 815 − 255 = (81 − 25)(…) = 56(…), donc est un multiple de 7.
Exercice
1) Montrer que 35 ≡ 1 [11].
2) En déduire que pour tous entiers naturels k et r, 35k + r ≡ 3r [11].
3) Pour n ∈ , quels sont les restes possibles de la division de 3n par 11 ?
4) Pour quelles valeurs de n, 3n + 7 est-il divisible par 11 ?
Solution
1) 35 = 243 = 22 × 11 + 1.
2) 35k + r ≡ (35)k × 3r ≡ 3r [11].
3) 30 ≡ 1 [11], 31 ≡ 3 [11], 32 ≡ 9 [11], 33 ≡ 5 [11], 34 ≡ 4 [11], 35 ≡ 1 [11].
Les restes sont 1, 3, 9, 5 ou 4 selon que le reste de la division de n par 5 vaut respectivement
0, 1, 2, 3 ou 4.
4) 3n + 7 ≡ 0 [11] ⇔ 3n ≡ 4 [11] ⇔ n ≡ 4 [5].