Polynômes réels ou complexes.

Septième feuille d’exercices.
bXc
Sur le thème des polynômes réels ou complexes.
Les polynômes apparaissent dans un très grand nombre de sujets d’écrit en combi-
naison avec l’analyse réelle : utilisation du théorème de Rolle pour trouver des racines,
étude de la dérivée d’un polynôme, etc. Par contre, l’étude des polynômes d’un point
de vue algébrique n’est pas au coeur du programme de B/L 1: malgré tout, il est in-
dispensable de connaître le théorème de d’Alembert-Gauss 2. La résolution de certains
exercices suivants utilise d’ailleurs ce théorème.
Même si le PGCD n’est pas au programme de B/L, il est bon de savoir faire un algo-
rithme d’Euclide pour calculer le PGCD de deux polynômes.
Exercice 1. Effectuer la factorisation du polynôme X2n−1 dans R[X], puis dans C[X].
Exercice 2. Soit P∈R[X] un polynôme de degré n. On suppose qu’il existe a∈Rtel
que P(a)=P0(a)=... =P(n)(a)=0. Montrer que Pest nul.
Exercice 3. Calculer le PGCD des polynômes X5+4X2−1 et de X3+10X.
Exercice 4. Donner un exemple de polynôme P∈R[X] irréductible dans R[X] mais
pas dans C[X].
Exercice 5. Soit P∈R[X] un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Que dire de Ps’il
n’a pas de racines ?
Exercice 6 (?).Soient Pet Qdeux polynômes à coefficients complexes tels que ∀z∈C,
|P(z)|=|Q(z)|. Montrer qu’il existe u∈Ctel que P=uQ.
Exercice 7. Soient Pet Qdeux polynômes à coefficients réels. Montrer que leur PGCD
dans Rest égal à leur PGCD dans C.
Exercice 8 (Interpolateurs de Lagrange).Soient x1,..., xndes nombres complexes dis-
tincts et z1, ..., zndes nombres complexes. Montrer qu’il existe P∈C[X] tel que ∀i≤n,
P(xi)=zi. Ce polynôme est-il unique ?
1. De toute façon, les anneaux ne sont pas au programme.
2. On ne demande pas d’en connaître une démonstration ; cependant, il en existe au moins une
qui est accessible au niveau B/L et que je vous conseille d’avoir vue une fois, car elle est instructive.
Demandez à Mme Rocher.
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QSeptième feuille. Q
Exercice 9. Soit P=Xn+... +a1X+a0∈C[X]. Soit Rl’ensemble des racines de P. On
pose :
M=max{1,|a0|+... +|an−1|}
Montrer que R⊂D(0, M)={z∈C:|z|< M}.
Exercice 10. Trouver tous les P∈C[X] tels que P0divise P.
Exercice 11 (les polynômes complexes sont surjectifs).Soit P∈C[X] et f:C→Cla
fonction polynomiale associée. Montrer que fest surjective.
Exercice 12. Trouver tous les P∈C[X] tels que P(C)⊂R.
Exercice 13 (?).Soit P∈C[X] un polynôme de degré net fla fonction polynôme as-
sociée. On note Ukl’ensemble des racines k-èmes de l’unité.
1. Soit ωune racine n+1-ème de l’unité. Calculer Pn
k=0wk.
2. Montrer que
|f(0)|≤max{|f(ζ)|:ζ∈Un+1}
Exercice 14 (?).Trouver tous les P∈R[X] tels que P(X)=P(1 −X).
Exercice 15 (?).Soit P∈R[X] un polynôme à coefficients réels de degré ntel que ∀x∈
R, on a P(x)>0. On pose
Q=P+P0+P(2) +... +P(n)
Montrer que ∀x∈R, on a aussi Q(x)>0.
Exercice 16 (?).Soit α∈C. On dit que αest algébrique (sur Q) lorsqu’il existe P∈Q[X]
tel que P(α)=0.
1. Montrer que tous les rationnels sont algébriques. Montrer que 3
p2 est algébrique
et irrationnel.
2. Soit αalgébrique et mle polynôme annulateur de αde plus petit degré et uni-
taire : on dit que mest le polynôme minimal de α. Montrer que mest irréductible
sur Qet que αest racine simple de m.
3. Trouver le polynôme minimal de 3
p2.
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