Polynômes réels ou complexes.

Septième feuille d’exercices.
bXc
Sur le thème des polynômes réels ou complexes.
Les polynômes apparaissent dans un très grand nombre de sujets d’écrit en combinaison avec l’analyse réelle : utilisation du théorème de Rolle pour trouver des racines,
étude de la dérivée d’un polynôme, etc. Par contre, l’étude des polynômes d’un point
de vue algébrique n’est pas au coeur du programme de B/L 1 : malgré tout, il est indispensable de connaître le théorème de d’Alembert-Gauss 2 . La résolution de certains
exercices suivants utilise d’ailleurs ce théorème.
Même si le PGCD n’est pas au programme de B/L, il est bon de savoir faire un algorithme d’Euclide pour calculer le PGCD de deux polynômes.
Exercice 1. Effectuer la factorisation du polynôme X 2n − 1 dans R[X ], puis dans C[X ].
Exercice 2. Soit P ∈ R[X ] un polynôme de degré n. On suppose qu’il existe a ∈ R tel
que P (a) = P 0 (a) = ... = P (n) (a) = 0. Montrer que P est nul.
Exercice 3. Calculer le PGCD des polynômes X 5 + 4X 2 − 1 et de X 3 + 10X .
Exercice 4. Donner un exemple de polynôme P ∈ R[X ] irréductible dans R[X ] mais
pas dans C[X ].
Exercice 5. Soit P ∈ R[X ] un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Que dire de P s’il
n’a pas de racines ?
Exercice 6 (?). Soient P et Q deux polynômes à coefficients complexes tels que ∀z ∈ C,
|P (z)| = |Q(z)|. Montrer qu’il existe u ∈ C tel que P = uQ.
Exercice 7. Soient P et Q deux polynômes à coefficients réels. Montrer que leur PGCD
dans R est égal à leur PGCD dans C.
Exercice 8 (Interpolateurs de Lagrange). Soient x 1 , ..., x n des nombres complexes distincts et z 1 , ..., z n des nombres complexes. Montrer qu’il existe P ∈ C[X ] tel que ∀i ≤ n,
P (x i ) = z i . Ce polynôme est-il unique ?
1. De toute façon, les anneaux ne sont pas au programme.
2. On ne demande pas d’en connaître une démonstration ; cependant, il en existe au moins une
qui est accessible au niveau B/L et que je vous conseille d’avoir vue une fois, car elle est instructive.
Demandez à Mme Rocher.
1
Q
Septième feuille.
Q
Exercice 9. Soit P = X n + ... + a 1 X + a 0 ∈ C[X ]. Soit R l’ensemble des racines de P . On
pose :
M = max{1, |a 0 | + ... + |a n−1 |}
Montrer que R ⊂ D(0, M ) = {z ∈ C : |z| < M }.
Exercice 10. Trouver tous les P ∈ C[X ] tels que P 0 divise P .
Exercice 11 (les polynômes complexes sont surjectifs). Soit P ∈ C[X ] et f : C → C la
fonction polynomiale associée. Montrer que f est surjective.
Exercice 12. Trouver tous les P ∈ C[X ] tels que P (C) ⊂ R.
Exercice 13 (?). Soit P ∈ C[X ] un polynôme de degré n et f la fonction polynôme associée. On note Uk l’ensemble des racines k-èmes de l’unité.
P
1. Soit ω une racine n + 1-ème de l’unité. Calculer nk=0 w k .
2. Montrer que
| f (0)| ≤ max{| f (ζ)| : ζ ∈ Un+1 }
Exercice 14 (?). Trouver tous les P ∈ R[X ] tels que P (X ) = P (1 − X ).
Exercice 15 (?). Soit P ∈ R[X ] un polynôme à coefficients réels de degré n tel que ∀x ∈
R, on a P (x) > 0. On pose
Q = P + P 0 + P (2) + ... + P (n)
Montrer que ∀x ∈ R, on a aussi Q(x) > 0.
Exercice 16 (?). Soit α ∈ C. On dit que α est algébrique (sur Q) lorsqu’il existe P ∈ Q[X ]
tel que P (α) = 0.
p
3
1. Montrer que tous les rationnels sont algébriques. Montrer que 2 est algébrique
et irrationnel.
2. Soit α algébrique et m le polynôme annulateur de α de plus petit degré et unitaire : on dit que m est le polynôme minimal de α. Montrer que m est irréductible
sur Q et que α est racine simple de m.
p
3
3. Trouver le polynôme minimal de 2.
2