Angles orientés

Angles orientés 1/3
O
r
i
r
j
M (a)
x
M
= cos α
yM = sin α
a
ANGLES ORIENTES ET TRIGONOMETRIE
I) Cercle trigonométrique et radian
Le cercle C de centre O et de rayon 1, muni d'une origine I et orienté
dans le sens direct (positif dans le sens inverse des aiguilles d'une
montre) est appelé cercle trigonométrique.
Soit la droite réelle D tangente à C en I.
Définition : A tout nombre réel a de la droite D , on fait
correspondre un point M unique du cercle C en enroulant la droite
réelle sur le cercle ; a est une mesure en radians de l’arc de cercle
orienté
»
IM
d’origine I et d’extrémité M.
On dit que a est l’abscisse curviligne de M.
II) Mesure des angles orientés
1) Exemples
(,)
4
OIOA
π
=−
uuruuur
ou
9
(,)
4
OIOA
π
=−
uuruuur
ou
7
(,)
4
OIOA
π
=
uuruuur
;
(,)
2
OIOB
π
=
uuruuur
ou
5
(,)
2
OIOB
π
=
uuruuur
;
2
(,)2
3
OIOCk
π
=+π
uuruuur
, k S Z ;
4
(,)
3
OIOC
π
=−
uuruuur
;
(,)
3
uv
π
=−
rr ; (,)
3
vu
π
=
rr ;
(,)uv
=π
rr
;
(,)0
uu
=
rr
.
2) Mesures : Soit α une mesure d'un angle de vecteurs
(,)
uv
rr
.
Propriété : L’ensemble des mesures de l’angle orienté des vecteurs
u
r
et
v
r
est :
(,)
uv
rr
= α + k2π, k S Z.
Définition : Si α ∈ ]−π ; π ], α est appelée la mesure principale de l’angle
(,)
uv
rr
.
3) Relation de Chasles et conséquences
Théorème : Pour tous vecteurs
u
r
,
v
r
et
w
r
, on a :
•
(,)(,)(,)
uvvwuw
+=
rrrrrr
; ‚
(,)(,)
vuuv
=−
rrrr
;
ƒ (,)(,)(,)uvuvuv
−=−=+π
rrrrrr
; „ quel que soit k réel,
(,)(,)
kukvuv
=
rrrr
.
III) Cosinus et sinus dans un repère orthonormal
Définition : Soit M un point du cercle C d’abscisse curviligne α, on a :
•
(cos)(sin)
OMij
=α+α
uuuur
rr
; M a pour coordonnées (cos α ; sin α) dans le repère
(,,)
Oij
rr
;
• 22
(cos)(sin)1
OMOM
==α+α=
uuuur
; d’où le résultat 22
cossin1
α+α=
.
O I
a
M
a
C
D
O I
B
A
C
r
u
r
v
r
u
r
v

Angles orientés 2/3
IV) Repérage polaire
Le plan est muni d’un repère orthonormal
(,,)
Oij
rr
.
Définition : On appelle coordonnées polaires d’un point M
du plan distinct de O, tout couple de nombres réels (r ;q)
où : • r = OM ‚
(,)
iOM
uuuur
r
= q + k2p, k S Z.
Remarque : la 2ème coordonnée q n’est pas unique.
Théorème : Soit M un point distinct de O qui a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées
polaires (r ; q).
On a : • x = r cos q et y = r sin q ;
•
22
xy
ρ=+ et cos
x
θ=
ρ
, sin
y
θ=
ρ
.
V) Trigonométrie
1) Angles associés
Soit a un nombre réel quelconque et M le point d’abscisse α sur le cercle trigonométrique :
Théorème : Le point d’abscisse curviligne π − α
est le symétrique de M par rapport à la droite
(OJ) ;
cos()cos
π−α=−α
;
sin()sin
π−α=α
.
Théorème : Le point d’abscisse curviligne π + α
est le symétrique de M par rapport au point O ;
cos()cos
π+α=−α
;
sin()sin
π+α=−α
.
Théorème : Le point d’abscisse curviligne −α est
le symétrique de M par rapport à la droite (OI) ;
cos()cos
−α=α
;
sin()sin
−α=−α
.
Théorème : Le point d’abscisse curviligne 2
π
−α
est le symétrique de M par rapport à la première bissectrice
(OA) ;
cossin
2
π
−α=α
 ;
sincos
2
π
−α=α
 .
Théorème :
cossin
2
π
+α=−α
 ;
sincos
2
π
+α=α
 .
O I
J
M
α
α
+
π
α−
π
2
α
−
π
−α
cos α
sin α
A
α+
π
2
O
M
q
i
r
j
r
r

Angles orientés 3/3
2) Valeurs remarquables de cosinus et sinus
α 0
6
π
4
π
3
π
2
π
cos α 1
3
2
2
2
1
2
0
sin α 0
1
2
2
2
3
2
1
3) Formules d’addition
Théorème : Quels que soient les nombres réels a et b,
cos()coscossinsin
ababab
−=+ ;
cos()coscossinsin
ababab
+=− ;
sin()sincossincos
ababba
−=− ;
sin()sincossincos
ababba
+=+.
4) Formules de duplication
• Formules de duplication : (a = b dans les formules d’addition)
Théorème : Quel que soit le nombre réel a,
2222
cos2cossin12sin2cos1
aaaaa
=−=−=−
;
sin22sincos
aaa
=.
• Formules de linéarisation : (isolation du cos2 ou du sin2 dans la formule précédente)
Théorème : Quel que soit le nombre réel a,
2
1cos2
cos 2
a
a+ = ; 2
1cos2
sin 2
a
a− =.
O
2
π
3
2π
4
3π
6
5π
0
π
6
5
π
−
4
3π
−
3
2
π
−
2
π
−3
π
−4
π
−
6
π
−