Angles orientés

ANGLES ORIENTES ET TRIGONOMETRIE
I) Cercle trigonométrique et radian
a
Le cercle C de centre O et de rayon 1, muni d'une origine I et orienté
dans le sens direct (positif dans le sens inverse des aiguilles d'une
montre) est appelé cercle trigonométrique.
Soit la droite réelle D tangente à C en I.
Définition : A tout nombre réel a de la droite D , on fait
correspondre un point M unique du cercle C en enroulant la droite
réelle sur le cercle ; a est une mesure en radians de l’arc de cercle
» d’origine I et d’extrémité M.
orienté IM
On dit que a est l’abscisse curviligne de M.
M
a
I
O
C
D
II) Mesure des angles orientés
B
1) Exemples
uur uuur
uur uuur
uur uuur
π
9π
7π
( OI ,OA ) = − ou ( OI ,OA ) = −
ou ( OI ,OA ) =
;
4
4
4
uur uuur
uur uuur
π
5π
( OI , OB ) = ou ( OI , OB ) =
;
2
2
uur uuur
uur uuur
2π
4π
( OI , OC ) =
+ k 2π , k S Z ; ( OI , OC ) = −
;
3
3
C
I
O
A
r r
r r π
π
( u , v ) = − ; ( v ,u ) = ;
3
3
r
u
r r
r r
( u , v ) = π ; ( u , u) = 0 .
r
v
r
u
r
v
r r
2) Mesures : Soit α une mesure d'un angle de vecteurs ( u , v ) .
r
r
r r
Propriété : L’ensemble des mesures de l’angle orienté des vecteurs u et v est : ( u , v ) = α + k2π, k S Z.
r r
Définition : Si α ∈ ]−π ; π ], α est appelée la mesure principale de l’angle ( u , v ) .
3) Relation de Chasles et conséquences
r r
r
Théorème : Pour tous vecteurs u , v et w , on a :
r r
r r
r r
• ( u , v ) + (v , w ) = ( u ,w ) ;
r r
r r
r r
ƒ ( −u , v ) = (u , −v ) = (u ,v ) + π ;
r r
r r
‚ ( v ,u ) = −( u , v ) ;
r r
r r
„ quel que soit k réel, ( ku , kv ) = (u ,v ) .
III) Cosinus et sinus dans un repère orthonormal
Définition : Soit M un point du cercle C d’abscisse curviligne α, on a :
uuuur
r
r
• OM = (cos α )i + (sin α ) j ; M a pour coordonnées (cos α ; sin α) dans le repère
r r
( O, i , j ) ;
r
j
yM = sin α
O
M (a)
r
a
i
xM = cos α
uuuur
• OM = OM = (cos α) 2 + (sin α) 2 = 1 ; d’où le résultat cos2 α + sin2 α = 1 .
Angles orientés 1/3
IV) Repérage polaire
r r
Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O, i , j ) .
M
Définition : On appelle coordonnées polaires d’un point M
du plan distinct de O, tout couple de nombres réels (r ;q)
r uuuur
où : • r = OM ‚ ( i , OM ) = q + k2p, k S Z.
ème
Remarque : la 2
coordonnée q n’est pas unique.
r
r
j
q
O
r
i
Théorème : Soit M un point distinct de O qui a pour coordonnées cartésiennes (x ; y) et pour coordonnées
polaires (r ; q).
On a : • x = r cos q et y = r sin q ;
y
x
• ρ = x 2 + y2 et cos θ = , sin θ = .
ρ
ρ
V) Trigonométrie
1) Angles associés
Soit a un nombre réel quelconque et M le point d’abscisse α sur le cercle trigonométrique :
Théorème : Le point d’abscisse curviligne π − α
π +α
2
est le symétrique de M par rapport à la droite
π
−α
2
J
(OJ) ;
A
cos( π − α ) = − cosα ; sin(π − α ) = sin α .
Théorème : Le point d’abscisse curviligne π + α
π−α
sin α
M
α
est le symétrique de M par rapport au point O ;
cos( π + α ) = − cos α ; sin( π + α ) = − sin α .
O
π+α
cos α
I
−α
Théorème : Le point d’abscisse curviligne −α est
le symétrique de M par rapport à la droite (OI) ;
cos( −α) = cos α ; sin( −α ) = − sin α .
Théorème : Le point d’abscisse curviligne
π
− α est le symétrique de M par rapport à la première bissectrice
2
(OA) ;
π
π
cos  − α  = sin α ; sin  − α  = cos α .
2


2

π
π
Théorème : cos  + α  = − sin α ; sin  + α  = cos α .
2

2

Angles orientés 2/3
2) Valeurs remarquables de cosinus et sinus
3π
4
5π
6
α
0
cos α
1
sin α
0
π
6
π
4
π
2
2
2
π
3
1
2
3
2
1
2
2
2
3
2
1
π
2
2π
3
π
0
0
O
−
5π
6
−
3π
4
−
3) Formules d’addition
Théorème : Quels que soient les nombres réels a et b,
cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b
;
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a ;
2π
3
−
π
2
−
π
3
π
−
6
π
−
4
cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b ;
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a .
4) Formules de duplication
• Formules de duplication : (a = b dans les formules d’addition)
Théorème : Quel que soit le nombre réel a,
cos2a = cos 2 a − sin2 a = 1 − 2sin 2 a = 2cos 2 a −1
;
sin2 a = 2sin a cos a .
• Formules de linéarisation : (isolation du cos2 ou du sin 2 dans la formule précédente)
Théorème : Quel que soit le nombre réel a,
1 + cos2a
cos 2 a =
2
;
sin 2 a =
1 − cos2a
.
2
Angles orientés 3/3