Algèbre

Table des Mati`eres
1 Nombres complexes 1
1.1 Rappel : ´equations de degr´e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Th´eorie g´en´erale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Conjugu´e et module d’un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Inverse d’un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Rappels de trigonom´etrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Coordonn´ees polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6 Applications `a la trigonom´etrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Racine n-i`eme d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Racines n-i`emes de l’unit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Racines n-i`emes de z0........................... 19
1.4 ´ Equations de degr´e 2 `a coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Racines carr´ees d’un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.2 R´esolution d’´equations de degr´e 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Exercices suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Alg`ebre lin´eaire 25
2.1 R´esolution de syst`emes lin´eaires par la m´ethode de Gauss . . . . . . . . . . 25
2.2 Structure d’espace vectoriel sur R2et R3.................... 29
2.2.1 D´efinition de R2et de R3......................... 29
2.2.2 R2et R3comme espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Vecteurs colin´eaires dans R2........................... 31
2.4 Vecteurs colin´eaires et coplanaires dans R3................... 34
2.4.1 Vecteurs colin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Vecteurs coplanaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Matrices...................................... 41
2.6.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
i

0TABLE DES MATI ` ERES
2.6.2 Op´erations sur les matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.3 Matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.4 Syst`emes d’´equations lin´eaires et matrices. . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 Applications lin´eaires et matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.2 Op´erations sur les applications lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1 Produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.2 Produit vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8.3 Produit mixte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Chapitre 1
Nombres complexes
1.1 Rappel : ´equations de degr´e 2
1.1.1 Th´eorie g´en´erale.
Dans de nombreux probl`emes1, on est amen´e `a r´esoudre une ´equation du type :
(E)ax2+bx +c= 0
avec a, b, c des r´eels et a6= 0. Pour r´esoudre cette ´equation, on “compl`ete le carr´e” :
ax2+bx +c=ax2+b
ax+c
=ax2+ 2 b
2ax+c
et on reconnaˆıt le d´ebut du d´eveloppement de
x+b
2a2
=x2+ 2 b
2ax+b 2a2
,
d’o`u
ax2+bx +c=a"x+b
2a2
−b
2a2#+c=ax+b 2a2
+c−b2
4a
=a"x+b
2a2
−∆
4a2#(1.1)
o`u ∆ = b2−4ac. On distingue alors trois cas :
Premier cas, ∆>0:Dans ce cas, on a ∆
4a2= √∆ 2a!2
et (1.1) implique alors
a x+b
2a+√∆ 2a! x+b 2a−√∆ 2a!= 0.(1.2)
1Exemple: d´eterminer les longueurs des cˆot´es des rectangles d’aire 8cm2, de p´erim`etre 24cm
1

2CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES
Il y a alors 2 solutions distinctes
x1=−b−√∆
2aet x2=−b+√∆ 2a
et (1.1) s’´ecrit
ax2+bx +c=a(x−x1)(x−x2).
Ceci permet ´egalement de d´eterminer le signe de ax2+bx +c. Si on appelle r1la plus
petite des deux racines x1, x2et r2la plus grande, on a r2> r1, et le signe de ax2+bx +c
est donn´e par2
x r1r2
ax2+bx +csgn a0−sgn a0 sgn a
Deuxi`eme cas, ∆=0:Dans ce cas (1.1) s’´ecrit ax+b
2a2
= 0. Il y a alors une seule
solution (double) x0=−b
2aet on a la factorisation
ax2+bx +c=a(x−x0)2=ax+b
2a2
.
Troisi`eme cas, ∆<0:Il n’y a pas de racine (r´eelle) puisque
ax2+bx +c=a"x+b
2a2
+−∆
4a2#
| {z }
positif car ∆<0
.
1.1.2 Exemples.
– R´esoudre et factoriser 2x2−8x+ 6 = 0.
Le discriminant de cette ´equation est ∆ = (−8)2−4×2×6 = 16 = 42>0. Les
solutions sont donc x1=−(−8)−4
2×2= 1 et x2=−(−8)+4 2×2= 3 d’o`u
2x2−8x+ 6 = 2(x−1)(x−3).
– R´esoudre et factoriser 3x2−12x+ 12 = 0.
Le discriminant de cette ´equation est ∆ = (−12)2−4×3×12 = 0. Il y a donc une
seule solution x0=−−12
2×3= 2 et
3x2−12x+ 12 = 3(x−2)2.
2si aest un r´eel non nul, on d´esigne son signe par sgn