Fonctions - CPGE Brizeux

PCSI Brizeux Fiche outils 2016-2017
Les fonctions.
1. Fonctions usuelles.
Nom
Expression
Réciproque
Calcul
Exponentielle
Logarithmique népérien
Logarithmique népérien
Puissance réelle
Cosinus
Sinus
Tangente
Cosinus hyperbolique
Sinus hyperbolique
Les fonctions trigonométriques s’expriment avec le complexe  tel que .
 Opérations à connaitre :
2. Dérivée.
2.1. Dérivée première (ou au premier ordre).
La dérivée d’une fonction  d’une variable  se note 
 et est définie par :
Le rapport 
 représente un taux de variation globale de la fonction  pour l’intervalle .
La dérivée 
 d’une fonction par rapport à une variable en un point mesure donc le taux
local de variation de cette fonction par rapport à la variable.
Remarque : il faut différencier une petite variation  de la fonction  et sa différentielle
 qui en constitue une valeur approchée au premier ordre, infiniment petites soient-elles.
La dimension d’une dérivée est celle de la fonction  divisée par celle de la variable .
Dérivées usuelles :
Fonction
Dérivée

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La dérivée d’une fonction  d’une variable  qui dépend de la variable  se calcule :
Si  est une fonction de deux variables, sa différentielle s’exprime en fonction des
différentielles de  et de , la notation 
 exprimant la dérivée de  en fonction uniquement
de . 
2.2. Formule de Taylor.
La dérivée seconde d’une fonction  d’une variable  se note :
Etant donné une fonction  au moins  fois dérivable en , le développement de Taylor
permet d’écrire :
 est le reste du développement. Dans la pratique, le développement dépassera rarement
l’ordre 2.
 Interprétation graphique.
Une première évaluation de  consiste à annuler  car .
Une évaluation plus fine de  consiste à linéariser cette quantité, conformément
au développement de Taylor au premier ordre.
Géométriquement, ce développement au premier ordre revient à assimiler le
voisinage de la courbe représentative de  en  à sa tangente au point considéré
(valable pour une fonction continue).
Une évaluation encore plus complète de  permet de préciser la parabole qui
épouse le mieux la courbe  en .
 Développements limités.
On en déduit les développements limités au premier ordre suivants tel que  :
Les développements limités du second ordre concernent les fonctions trigonométriques.
3. Primitive et intégrale.
Soit  une fonction continue définie sur l’intervalle  ayant pour primitive la
fonction  telle que : 

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L’intégrale de cette fonction sur cet intervalle est donnée par :
Cette intégrale représente l’aire sous la courbe représentative de  limitée à cet
intervalle. Une intégrale représente en définitive la limite d’une somme d’aires  de
rectangles élémentaires lorsque la largeur  de ces rectangles tend vers . C’est là l’origine
du symbole , déformation de la lettre S signifiant somme.
Autrement dit, la quantité 
 est la somme de  à  de toutes les aires
élémentaires .
 Valeur moyenne.
La valeur moyenne d’une fonction , de période  est définie par :
Valeur moyenne des fonctions trigonométriques :
4. Représentation graphique d’une fonction.
Une fonction  a un comportement asymptotique au voisinage d’un point ou en
l’infini lorsqu’elle se rapproche d’une autre fonction réputée « simple » et « connue »,
servant alors de référence.
Une fonction  possède un extrémum local, minimum ou maximum, en un point où
sa dérivée est nulle.
Parfois, la représentation graphique d’une fonction  est plus simple en utilisant
l’échelle logarithmique. Dans cette échelle, on trace  en fonction de . Le
quadrillage en échelle logarithmique laisse apparaitre les puissances de dix sur chaque
axe. Les subdivisions qui marquent les entiers successifs  et  ne sont pas
séparées de la même distance, car c’est le logarithme décimal de cet entier qui intervient.
En échelle logarithmique, la loi de puissance  est représentée par une droite de
pente . 
5. Développements en série de Fourier d’une fonction périodique.
Toute fonction  de période  et continue sauf en un nombre fini de points admet
un développement en série de Fourier.
En tout point où  est continue, on peut aussi écrire :