Fonctions - CPGE Brizeux

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PCSI Brizeux
Fiche outils
2016-2017
Les fonctions.
1. Fonctions usuelles.
Nom
Exponentielle
Logarithmique népérien
Logarithmique népérien
Puissance réelle
Cosinus
Expression
exp 
log 
ln  =
log(exp 1)
ln 
log  =
ln 10

Réciproque
ln 
exp 
exp() + exp(−)
cos  =
2
arccos 
10
Calcul
exp 0 = 1
ln 1 = 0
log 1 = 0
0 = 1
cos() = 1

cos ( + ) = 0
2
sin() = 0

sin ( + ) = 1
2
tan() = 0
arcsin 
exp() − exp(−)
2
cos 
arctan 
tan  =
Tangente
sin 
exp  + exp(−)
acosh 
Cosinus hyperbolique
cosh 0 = 1
cosh  =
2
exp  − exp(−)
asinh 
Sinus hyperbolique
sinh 0 = 0
sinh  =
2
Les fonctions trigonométriques s’expriment avec le complexe  tel que  2 = −1.
Sinus

sin  =
Opérations à connaitre :
exp(ln ) = ln(exp ) =  ; log(10 ) = 10log  = 
exp( + ) = exp  × exp  ; exp() = (exp ) = (exp )

ln() = ln  + ln  ; ln ( ) = ln  − ln  ; ln(  ) =  ln 


log() = log  + log  ; log ( ) = log  − log  ; log(  ) =  log 


 + =     ;  − = 

1
−
cos(2)
1
+
cos(2)
sin(2)
cos2  =
; sin2  =
; cos  sin  =
2
2
2
2. Dérivée.
2.1.
Dérivée première (ou au premier ordre).

La dérivée d’une fonction () d’une variable  se note  et est définie par :


( + ) − ()
= 
= 
 →  →


Le rapport  représente un taux de variation globale de la fonction  pour l’intervalle .

La dérivée  d’une fonction par rapport à une variable en un point mesure donc le taux
local de variation de cette fonction par rapport à la variable.
Remarque : il faut différencier une petite variation  de la fonction  et sa différentielle
 qui en constitue une valeur approchée au premier ordre, infiniment petites soient-elles.
La dimension d’une dérivée est celle de la fonction  divisée par celle de la variable .
Dérivées usuelles :
Fonction  exp() ln 

cos  sin  cosh  sinh 
1
Dérivée 0  exp()
 −1 − sin  cos  sinh  cosh 

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2016-2017
La dérivée d’une fonction  d’une variable  qui dépend de la variable  se calcule :
  
=
  
Si (, ) est une fonction de deux variables, sa différentielle s’exprime en fonction des

différentielles de  et de , la notation  exprimant la dérivée de  en fonction uniquement
de .


 =
 +
 ; () =  + 


2.2.
Formule de Taylor.
La dérivée seconde d’une fonction  d’une variable  se note :
 
 2
2 
( )=( ) = 2
 


Etant donné une fonction () au moins  fois dérivable en , le développement de Taylor
permet d’écrire :

 2  2 
    
( )) + 
(0 + ) = (0 ) +  ( (0 )) +
( 2 (0 )) + ⋯ +
(

2! 
!   0
 est le reste du développement. Dans la pratique, le développement dépassera rarement
l’ordre 2.
 Interprétation graphique.
Une première évaluation de (0 + ) consiste à annuler  car  ≪ 0 .
(0 + ) ≈ (0 )
Une évaluation plus fine de (0 + ) consiste à linéariser cette quantité, conformément
au développement de Taylor au premier ordre.

(0 + ) ≈ (0 ) +  ( (0 )) ⇔  =  + 

Géométriquement, ce développement au premier ordre revient à assimiler le
voisinage de la courbe représentative de () en  à sa tangente au point considéré
(valable pour une fonction continue).
Une évaluation encore plus complète de (0 + ) permet de préciser la parabole qui
épouse le mieux la courbe () en 0 .

 2  2 
( )) ⇔  =  +  +  2 
(0 + ) ≈ (0 ) +  ( (0 )) +
(

2!  2 0
 Développements limités.
On en déduit les développements limités au premier ordre suivants tel que  ≪ 1 :
(1 ± ) ≈ 1 ±  ; exp  ≈ 1 +  ; ln(1 + ) ≈ 
Les développements limités du second ordre concernent les fonctions trigonométriques.
2
cos  ≈ 1 −
; sin  ≈ tan  ≈ 
2
3. Primitive et intégrale.
Soit () une fonction continue définie sur l’intervalle [1 ; 2 ] ayant pour primitive la
fonction () telle que :

= ()

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L’intégrale de cette fonction sur cet intervalle est donnée par :
2016-2017

∫ () = ( ) − ( )

Cette intégrale représente l’aire sous la courbe représentative de () limitée à cet
intervalle. Une intégrale représente en définitive la limite d’une somme d’aires () de
rectangles élémentaires lorsque la largeur  de ces rectangles tend vers 0. C’est là l’origine
du symbole , déformation de la lettre S signifiant somme.

Autrement dit, la quantité ∫  () est la somme de  à  de toutes les aires

élémentaires ().
 Valeur moyenne.
La valeur moyenne d’une fonction , de période  est définie par :
 +

〈()〉 = ∫ ()


Valeur moyenne des fonctions trigonométriques :
〈cos()〉 = 〈sin()〉 = 〈cos() sin()〉 = 0
;
〈cos2 ()〉 = 〈sin2 ()〉 =
1
2
4. Représentation graphique d’une fonction.
Une fonction () a un comportement asymptotique au voisinage d’un point ou en
l’infini lorsqu’elle se rapproche d’une autre fonction réputée « simple » et « connue »,
servant alors de référence.
Une fonction () possède un extrémum local, minimum ou maximum, en un point où
sa dérivée est nulle.
Parfois, la représentation graphique d’une fonction () est plus simple en utilisant
l’échelle logarithmique. Dans cette échelle, on trace log () en fonction de log . Le
quadrillage en échelle logarithmique laisse apparaitre les puissances de dix sur chaque
axe. Les subdivisions qui marquent les entiers successifs 1, 2, 3, … , 8 et 9 ne sont pas
séparées de la même distance, car c’est le logarithme décimal de cet entier qui intervient.
En échelle logarithmique, la loi de puissance  est représentée par une droite de
pente .
() =  ⇔   =    +   ⇔  =  + 
5. Développements en série de Fourier d’une fonction périodique.
Toute fonction () de période  et continue sauf en un nombre fini de points admet
un développement en série de Fourier.
∞

() =  + ∑   ( +  )

=
En tout point où () est continue, on peut aussi écrire :
∞


() = 0 + ∑  cos (2 ) +  sin (2 )


=0
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