05-Cmplx-Numbers-Forme

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File : Cmplx-Numbers-Forme-Euler
Forme eulérienne d'un nombre complexe « z = a + j . b » <-> forme exponentielle
d'un nombre complexe - Formules d’EULER
Donc, on a les « 3 » formes d’écriture équivalentes pour un nombre
complexe « z = (a , b) » et son conjugué « z* = (a , - b) » :
z = a + j . b =  . { cos () + j . sin () } =  . exp (j . )
où
«  = | z | = | z* | = (a2 + b2 )1/2 = (z . z*)1/2 » où | z | = | z* |  0
On a :
z* = a - j . b =  . (cos () - j . sin ()) =  . exp (- j . )
Démonstration
z* = a - j . b =  . (cos () - j . sin ()) =  . (cos (- ) + j . sin (- )) =  . exp (- j . )
C.Q.F.D
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 Produit et quotient de de « 2 » nombres complexes sous forme
[ exponentielle / eulérienne ]
Soit « 2 » nombres complexes sous forme eulérienne :
 z =  . exp (j . ) ;
 et « z’ = ’ . exp (j . ’) » ;
Compte tenu des propriétés de « exp (j . ) », on a :
 produit de « z » et de « z’ »
z . z’=  . exp (j . ) . ’ . exp (j . ’) =  . ’ . exp (j . ( + ’))
puisque « z . z’ =  . ’ . (cos ( + ’) + j . sin ( + ’)) =  . ’ . exp (j . ( + ’)) » ;
Soit « z =  . exp (j . ) » alors Lorsque « n  ℤ »
(ou même « n » fractionnaire, « n  ℚ » ), on a :

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zn = ( . exp (j . ))n = n . exp (j . n . )
 quotient de « z » et de « z’ »
z/ z’= ( . exp (j . )) / (’ . exp (j . ’)) = (/’) . exp (j . ( - ’))
puisque « z / z’ = ( / ’) . [ cos ( - ’) + j . sin ( - ’) ] = ( / ’) . exp (j . ( - ’)) » ;
Donc, on retrouve les résultats fondamentaux sur les opérations de multiplication et de
division de « 2 » nombres complexes écrits sous forme polaires, c-à-d :
 addition des arguments lors d’une multiplication de « 2 » nombres complexes ;
 soustraction des arguments lors d’une division de « 2 » nombres complexes ;
Ex1 :
 z = 5 . (21/2/2) + 5 . (21/2/2) . j = 5 . exp (j . (/4)) et z’ = j = exp (j . (/2)) =>
z . z’ = … ;=
z / z’ = … ;
Ex2 :
 z = 2 . exp (j . (/3)) ;
 et « z’ = 3 . exp (j . (/4)) » ;
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HERE
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 Produit et quotient de de « 2 » nombres complexes sous forme
[ exponentielle / eulérienne ]
Soit « 2 » nombres complexes « z » et « z’ » non nuls, mis sous forme polaire :
 z =  . ( cos () + j . sin ()) ;
 z’ = j = ( cos (/2) + j . sin (/2)) ;
 produit de « z » et de « z’ »
z . j =  . { cos ( + (/2)) + j . sin ( + (/2)) }
 quotient de « z » et de « z’ »
z / j =  . { cos ( - (/2)) + j . sin ( - (/2)) }
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