Page 1 sur 2 File : Cmplx-Numbers-Forme-Euler Forme eulérienne d'un nombre complexe « z = a + j . b » <-> forme exponentielle d'un nombre complexe - Formules d’EULER Donc, on a les « 3 » formes d’écriture équivalentes pour un nombre complexe « z = (a , b) » et son conjugué « z* = (a , - b) » : z = a + j . b = . { cos () + j . sin () } = . exp (j . ) où « = | z | = | z* | = (a2 + b2 )1/2 = (z . z*)1/2 » où | z | = | z* | 0 On a : z* = a - j . b = . (cos () - j . sin ()) = . exp (- j . ) Démonstration z* = a - j . b = . (cos () - j . sin ()) = . (cos (- ) + j . sin (- )) = . exp (- j . ) C.Q.F.D ******************************************************************* Produit et quotient de de « 2 » nombres complexes sous forme [ exponentielle / eulérienne ] Soit « 2 » nombres complexes sous forme eulérienne : z = . exp (j . ) ; et « z’ = ’ . exp (j . ’) » ; Compte tenu des propriétés de « exp (j . ) », on a : produit de « z » et de « z’ » z . z’= . exp (j . ) . ’ . exp (j . ’) = . ’ . exp (j . ( + ’)) puisque « z . z’ = . ’ . (cos ( + ’) + j . sin ( + ’)) = . ’ . exp (j . ( + ’)) » ; Soit « z = . exp (j . ) » alors Lorsque « n ℤ » (ou même « n » fractionnaire, « n ℚ » ), on a : Page 2 sur 2 z = ( . exp (j . )) = . exp (j . n . ) n n n quotient de « z » et de « z’ » z/ z’= ( . exp (j . )) / (’ . exp (j . ’)) = (/’) . exp (j . ( - ’)) puisque « z / z’ = ( / ’) . [ cos ( - ’) + j . sin ( - ’) ] = ( / ’) . exp (j . ( - ’)) » ; Donc, on retrouve les résultats fondamentaux sur les opérations de multiplication et de division de « 2 » nombres complexes écrits sous forme polaires, c-à-d : addition des arguments lors d’une multiplication de « 2 » nombres complexes ; soustraction des arguments lors d’une division de « 2 » nombres complexes ; Ex1 : z = 5 . (21/2/2) + 5 . (21/2/2) . j = 5 . exp (j . (/4)) et z’ = j = exp (j . (/2)) => z . z’ = … ;= z / z’ = … ; Ex2 : z = 2 . exp (j . (/3)) ; et « z’ = 3 . exp (j . (/4)) » ; *********************************************************************** HERE ******************************************************************* Produit et quotient de de « 2 » nombres complexes sous forme [ exponentielle / eulérienne ] Soit « 2 » nombres complexes « z » et « z’ » non nuls, mis sous forme polaire : z = . ( cos () + j . sin ()) ; z’ = j = ( cos (/2) + j . sin (/2)) ; produit de « z » et de « z’ » z . j = . { cos ( + (/2)) + j . sin ( + (/2)) } quotient de « z » et de « z’ » z / j = . { cos ( - (/2)) + j . sin ( - (/2)) } *******************************************************************