I) Programme officiel II) Exercices

Université Paris-Est Marne-la-Vallée
2009/2010
Préparation au CAPES
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
I) Programme officiel
Dans ce paragraphe, le corps de base est R ou C.
a) Sous-espaces stables par un endomorphisme. Si u et v commutent Imu et Keru sont stables par v.
Polynômes d’endomorphisme. Théorème de décomposition des noyaux : si P et Q sont premiers entre eux,
KerP Q(u) = KerP (u) ⊕ KerQ(u)
b) Valeurs propres d’un endomorphisme, sous espaces propres, vecteurs propres.
c) Réduction d’un endomorphisme en dimension finie.
Polynôme annulant un endomorphisme ; lien avec le spectre.
Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d’une valeur propre. Théorème de Cayley-Hamilton.
Endomorphismes diagonalisables ; l’espace est somme directe des sous-espaces propres. Tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé et a toutes ses racines simples est diagonalisable. Pour
qu’un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit qu’il annule un polynôme scindé dont toutes
les racines sont simples.
Sous-espaces caractéristiques. Tout endomorphisme u dont le polynôme caractéristique est scindé peut
être trigonalisé : l’espace est somme directe des sous-espaces caractéristiques Fj et il existe une base
de chaque Fj telle que la matrice dans cette base de l’endomorphisme induit par u soit triangulaire
supérieure ; en outre, la dimension de Fj est égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre λj . Un tel
endomorphisme u s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme u = d + n, où d est diagonalisable, n
est nilpotent, et nd = dn.
d) Valeurs propres d’une matrice carrée, vecteurs (colonnes) propres. Matrices semblables. Diagonalisation, trigonalisation des matrices carrées. Exemples d’emploi de décomposition en blocs (produits, matrices
diagonales par blocs, triangulaires par blocs).
II) Exercices
Dans tous ces exercices, la lettre K désigne R ou C.
Exercice 1.
Diagonaliser ou trigonaliser les matrices suivantes dans Mn (C) (n = 3 ou 4 suivant les cas), en donnant
la matrice de passage.

 
 

4 1 1
2 −2 1
2
0 0
 1 4 1 ,  1
3 1  ,  −3 −1 3  ,
1 1 4
0
1 2
3
3 1



 



0
0 0 −1
1 2 3
1 a 1
1 4 −2
 0

0 1
0  
 0 1 2 ,  0 1 b , 
0 6 −3  .
,
 0 −1 0
0 
0 0 1
0 0 c
−1 4
0
1
0 0
0
Exercice 2.
Déterminer les suites de scalaires (un , vn )n en fonction de (u0 , v0 ) telles que :
un
vn
=
2
1
1
1
un−1
vn−1
.
Exercice 3.


1 1 −1
Diagonaliser la matrice A définie par A =  2 3 −4  . Déterminer An et A−1 .
4 1 −4
 0
 x = x+y−z+t
y 0 = 2x + 3y − 4z avec (x(0), y(0), z(0)) = (0, 1, 0).
Résoudre :
 0
z = 4x + y − 4z
Exercice 4.
Pour P ∈ Rn [X], l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n sur R, on définit un par
un (P )(x) = (1 − x2 )P 00 (x) − xP 0 (x).
Montrer que un est un endomorphisme sur Rn [X]. Donner la matrice de un dans la base canonique
(X i )i=0,...,n de Rn [X] et déterminer les valeurs propres de un . Déterminer les sous-espaces propres de un .
Exercice 5. Sous-espaces stables
Soient f un endomorphisme sur un K-espace vectoriel E de dimension finie et P ∈ K[X].
1. S’il existe un sous-espace F de E stable par f , montrer que F est stable par P (f ). Montrer que f |F
est un endomorphisme sur F et que le polynôme caractéristique Pf |F divise Pf . En déduire que si
λ ∈ K est une valeur propre de u de multiplicité k alors 1 ≤ dim(Eλ ) ≤ k.
2. Montrer que KerP (f ) et ImP (f ) sont stables par f .
Exercice 6.
Soit f un endomorphisme sur un K-espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que f est trigonalisable
si et seulement si son polynôme caractéristique Pf est scindé.
Exercice 7.
Soient E et F deux K-espace vectoriel E de dimension finie et f : E → F une application linéaire.
Montrer que l’application transposée de f , t f : F ∗ → E ∗ vérifie Im(t f ) = (Kerf )⊥ et Ker(t f ) = (Imf )⊥ .
En déduire que si ξ ∈ E ∗ est un vecteur propre de t f alors Kerξ = (Kξ)◦ est un hyperplan de E stable
par f .
Exercice 8.
Soit u et v deux endomorphismes sur E espace vectoriel de dimension n. On suppose que u admet n
valeurs propres deux à deux distinctes. Montrer que u ◦ v = v ◦ u si et seulement si u et v ont mêmes
vecteurs propres.
Exercice 9. Lemme des noyaux
Soient E un K-espace vectoriel, f un endomorphisme sur E, r ∈ N∗ , P1 , . . . , Pr ∈ K[X] des polynômes
premiers entre eux deux à deux et P = P1 · · · Pr .
1. On suppose que r = 2. Montrer qu’il existe U1 et U2 ∈ K[X] tels que U1 (f )◦P1 (f )+U2 (f )◦P2 (f ) = I.
En déduire que KerP (f ) = KerP1 (f ) ⊕ KerP2 (f ).
2. Montrer par récurrence sur r que KerP (f ) = KerP1 (f ) ⊕ · · · ⊕ KerPr (f ).
3. Montrer que f est diagonalisable si et seulement s’il existe un polynôme Q ∈ K[X] scindé et à racines
simples tel que Q(f ) = 0.
Exercice 10.
Soit u un endomorphisme sur E espace vectoriel de dimension finie. Montrer que si u2 = u alors u
est diagonalisable. Quelles sont les valeurs propres de u ? Montrer que si u est bijective et si un est
diagonalisable pour un certain entier n ∈ N∗ alors u est diagonalisable. Est-ce encore vrai si u n’est pas
inversible ?
Exercice 11. Sous-espaces caractéristiques et décomposition de Dunford
Soit f un endomorphisme sur un K-espace vectoriel E de dimension finie dont le polynôme
Qcaractéristique
r
est scindé. Notons λ1 , . . . , λr ses racines distinctes, de multiplicité r1 , . . . , rn , on a P = i=1 (X − λi )ri .
ri
Soient Fλi = Ker(f − λi I) , ses sous-espaces caractéristiques. Montrer que E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr . Soit d
l’endomorphisme de E défini sur chaque Fi par d|Fi = λi I. Montrer que d est diagonalisable, que n := f −d
2
est nilpotente et que d ◦ n = n ◦ d. Montrer que f s’écrit de manière unique sous la forme f = d + n avec
d diagonalisable, n nilpotente et d ◦ n = n ◦ d.
Exercice 12.
Soit f un endomorphisme sur un K-espace vectoriel E de dimension finie.
1. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par f . Montrer que si f est diagonalisable alors f |F est
diagonalisable. Montrer que si f est trigonalisable alors f |F est trigonalisable.
2. Si K = C, montrer que f est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de E stable
par f admet un supplémentaire stable par f .
Exercice 13.
Soient u et v deux endomorphismes sur un K-espace vectoriel E tels que u ◦ v = v ◦ u.
1. Montrer que Imu et Keru sont stables par v. Montrer que, pour tout polynôme P ∈ K[X], ImP (u)
et KerP (u) sont stables par v. En déduire que les sous-espaces propres de u et les sous-espaces
caractéristiques de u sont stables par v et par u.
2. Montrer que si u et v sont diagonalisables alors il existe une base de diagonalisation commune de u
et v et u ◦ v est diagonalisable.
3. Montrer que si u et v sont trigonalisables alors il existe une base de trigonalisation commune de u
et v et u ◦ v est trigonalisable.
Exercice 14. Théorème de Cayley-Hamilton
Soit f un endomorphisme sur un K-espace vectoriel E de dimension finie. On va montrer que Pf , le
polynôme caractéristique de f , vérifie Pf (f ) = 0 par deux méthodes différentes.
1. Par trigonalisation : En considérant f comme un endormorphisme de Cn , montrer qu’il existe une
base (u1 , · · · , un ) de Cn dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure. Notons (λ1 , · · · , λn )
ses éléments diagonaux et Pk (X) = (X − λ1 ) · · · (X − λk ), pour k = 1, · · · , n. Montrer par récurrence
sur k que Pk (f )(uj ) = 0 pour tout j tel que 1 ≤ j ≤ k. En déduire que Pf (f ) = 0.
2. Par matrice compagnon : Soit x ∈ E. On veut montrer que Pf (f )(x) = 0.
(a) Montrer qu’il existe un entier p et des scalaires a0 , · · · , ap1 tels que f p (x) = −(a0 x + a1 f (x) +
· · · + ap−1 f p−1 (x)) et tels que la famille (x, f (x), · · · , f p−1 (x)) soit libre.
(b) Montrer que le sous-espace F = Vect((x, f (x), · · · , f p−1 (x)) est stable par f et écrire la matrice
de f |F dans la base (x, f (x), · · · , f p−1 (x)). Déterminer le polynôme caractéristique P de f |F .
Montrer que P (f )(x) = 0. En déduire que Pf (f )(x) = 0.
Exercice 15.
Soit f un endomorphisme sur un K-espace vectoriel E de dimension n. On suppose que f est nilpotent,
c’est à dire qu’il existe q ∈ N tel que f q = 0, on appelle indice de nilpotence, le plus petit entier naturel
q tel que f q = 0. Montrer que f n’est pas inversible, en déduire que f admet une valeur propre. Montrer
par récurrence sur n que Pf (X) = (−1)n X n , où Pf désigne le polynôme caractéristique de f . En déduire
que q ≤ n. Donner un exemple d’endomorphisme nilpotent d’indice n. Montrer que réciproquement si
Pf (X) = (−1)n X n alors f est nilpotent.
Exercice 16. Noyaux des itérés. Indice d’un endomorphisme
Soit f un endomorphisme sur un K-espace vectoriel E de dimension n. Montrer que pour tout entier
k ∈ N, on a Kerf k ⊂ Kerf k+1 . En considérant la suite dk = dim Kerf k , montrer qu’il existe un plus petit
entier k tel que Kerf k = Kerf k+1 et que k ≤ n. Cet entier s’appelle l’indice de f . Montrer que
{0} ( Kerf ( Kerf 2 ( · · · ( Kerf k−1 ( Kerf k = Kerf k+1 = Kerf j ,
pour tout entier j ≥ k. Montrer que E = Kerf k ⊕ Imf k . Montrer que E = Kerf j ⊕ Imf j , pour tout j ≥ k.
En déduire que Imf j = Imf k , pour tout j ≥ k. Montrer que l’indice de f est aussi le plus petit entier k
tel que Imf k = Imf k+1 .
Exercice 17. Densité des matrices diagonalisables dans Mn (C)
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn (C) est dense dans Mn (C). Montrer que dans
Mn (R), ce n’est pas vrai, même les matrices trigonalisables ne sont pas denses.
3
Exercice 18. Densité des matrices inversibles dans Mn (K), pour K = R ou C
Montrer que Gln (K) est ouvert dans Mn (K). Montrer que, pour toute matrice A ∈ Mn (K), il existe ρ > 0
tel que, pour tout 0 < λ < ρ, A − λI est inversible. En déduire que les matrices inversibles sont denses
dans Mn (K). Montrer que pour toutes matrices A et B de Mn (K), les polynômes caractéristiques de AB
et BA sont les mêmes. Montrer que si A, B, C, D ∈ Mn (K) vérifient CD = DC alors
A B
det
= det(AD − BC).
C D
Montrer que si deux matrices de Mn (R) sont semblables dans C alors elles sont semblables dans Mn (R).
Exercice 19. Lemme des noyaux et projecteurs spectraux
On reprend les hypothèses et les notations de l’exercice ”Lemme des noyaux”. On suppose de plus que
P (f ) = 0. On a donc E = KerP1 (f ) ⊕ · · · ⊕ KerPr (f ).
1. Si r = 2 soit π1 := U1 (f ) ◦ P1 (f ) et π2 := U2 (f ) ◦ P2 (f ). Montrer que π1 et π2 sont les projecteurs
associés à la décomposition E = KerP1 (f ) ⊕ KerP2 (f ). Autrement dit π1 est la projection sur
KerP2 (f ) parallèlement à KerP1 (f ) et π2 est la projection sur KerP1 (f ) parallèlement à KerP2 (f ).
2. Si r est quelconque montrer qu’il existe U1 , . . . , Ur ∈ K[X] tels que
r
X
Ui
i=1
Y
Pj = 1.
j6=i
Q
Pour 1 ≤ i ≤ r, on pose πi = Ui (f ) ◦ j6=i Pj (f ). Si, de plus, P (f ) = 0, montrer que les endomorphismes πi sont les projecteurs associés à cette décomposition.
3. On suppose que f est trigonalisable, on note λ1 , . . . , λr ses valeurs propres distinctes, de multiplicité
r1 , . . . , rn . En appliquant les questions précédentes aux polynômes Pi = (X − λi )ri , expliciter les
projecteurs πi sur les sous-espaces caractéristiques Fλi = Ker(f − λi I)ri . En déduire que dans la
décomposition de Dunford, les endomorphismes d et n sont des polynômes en f .
4. Soit P ∈ K[X] un polynôme quelconque. Calculer P (A), pour


2 −1 1
A =  −4 2 −4  .
−2 1 −1
Exercice 20.
Soient a = (a0 , · · · , an−1 ) ∈ Cn et soient A(a) et J les matrices d’ordre n définies

0 1 0 ...


a0
a1
. . . an−1

 0 0 1 ...

.. 
..

 an−1 a0

.
. 

.. ..
A(a) = 
J =  ...
.
.
 .

.
.

..
..
 ..


a1
.
..
 0
a1
. . . an−1
a0
1 0 ... ...
par

0
.. 
. 


0 


1 
0
1. En observant que J n = I, diagonaliser J puis A dans Mn (C).
2. Pour a = (α, β, β, · · · , β), déterminer les valeurs propres de A. Calculer Am , pour tout m ∈ N,
par deux méthodes différentes : d’abord en utilisant une division euclidienne, puis en utilisant les
projecteurs spectraux.
Exercice 21. Matrices stochastiques
OnPdit qu’une matrice A = (ai,j ) ∈ Mn (R) est stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et
si j ai,j = 1, ∀i. Montrer que toutes les matrices stochastiques ont une valeur propre commune et un
vecteur propre associé commun. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice
stochastique. Montrer que si λ ∈ C est valeur propre d’une matrice stochastique alors |λ| ≤ 1.
4