I) Programme officiel II) Exercices

Universit´e Paris-Est Marne-la-Vall´ee Pr´eparation au CAPES
2009/2010
R´eduction des endomorphismes et des matrices carr´ees
I) Programme officiel
Dans ce paragraphe, le corps de base est Rou C.
a) Sous-espaces stables par un endomorphisme. Si uet vcommutent Imuet Kerusont stables par v.
Polynˆomes d’endomorphisme. Th´eor`eme de d´ecomposition des noyaux : si Pet Qsont premiers entre eux,
KerP Q(u) = KerP(u)⊕KerQ(u)
b) Valeurs propres d’un endomorphisme, sous espaces propres, vecteurs propres.
c) R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie.
Polynˆome annulant un endomorphisme ; lien avec le spectre.
Polynˆome caract´eristique, ordre de multiplicit´e d’une valeur propre. Th´eor`eme de Cayley-Hamilton.
Endomorphismes diagonalisables ; l’espace est somme directe des sous-espaces propres. Tout endomor-
phisme dont le polynˆome caract´eristique est scind´e et a toutes ses racines simples est diagonalisable. Pour
qu’un endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il suffit qu’il annule un polynˆome scind´e dont toutes
les racines sont simples.
Sous-espaces caract´eristiques. Tout endomorphisme udont le polynˆome caract´eristique est scind´e peut
ˆetre trigonalis´e : l’espace est somme directe des sous-espaces caract´eristiques Fjet il existe une base
de chaque Fjtelle que la matrice dans cette base de l’endomorphisme induit par usoit triangulaire
sup´erieure ; en outre, la dimension de Fjest ´egale `a l’ordre de multiplicit´e de la valeur propre λj. Un tel
endomorphisme us’´ecrit d’une mani`ere et d’une seule sous la forme u=d+n, o`u dest diagonalisable, n
est nilpotent, et nd =dn.
d) Valeurs propres d’une matrice carr´ee, vecteurs (colonnes) propres. Matrices semblables. Diagonalisa-
tion, trigonalisation des matrices carr´ees. Exemples d’emploi de d´ecomposition en blocs (produits, matrices
diagonales par blocs, triangulaires par blocs).
II) Exercices
Dans tous ces exercices, la lettre Kd´esigne Rou C.
Exercice 1.
Diagonaliser ou trigonaliser les matrices suivantes dans Mn(C) (n= 3 ou 4 suivant les cas), en donnant
la matrice de passage.
411
141
114
,
2−2 1
1 3 1
0 1 2
,
2 0 0
−3−1 3
3 3 1
,
123
012
001
,
1a1
0 1 b
0 0 c
,
0 0 0 −1
0 0 1 0
0−1 0 0
1 0 0 0
,
1 4 −2
0 6 −3
−1 4 0
.
Exercice 2.
D´eterminer les suites de scalaires (un, vn)nen fonction de (u0, v0) telles que : un
vn=2 1 1 1  un−1 vn−1.

Exercice 3.
Diagonaliser la matrice Ad´efinie par A=
1 1 −1
2 3 −4
4 1 −4
.D´eterminer Anet A−1.
R´esoudre : 
x0=x+y−z+t
y0= 2x+ 3y−4z
z0= 4x+y−4z
avec (x(0), y(0), z(0)) = (0,1,0).
Exercice 4.
Pour P∈Rn[X], l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a nsur R, on d´efinit unpar
un(P)(x) = (1 −x2)P00(x)−xP 0(x).
Montrer que unest un endomorphisme sur Rn[X]. Donner la matrice de undans la base canonique
(Xi)i=0,...,n de Rn[X] et d´eterminer les valeurs propres de un. D´eterminer les sous-espaces propres de un.
Exercice 5. Sous-espaces stables
Soient fun endomorphisme sur un K-espace vectoriel Ede dimension finie et P∈K[X].
1. S’il existe un sous-espace Fde Estable par f, montrer que Fest stable par P(f). Montrer que f|F
est un endomorphisme sur Fet que le polynˆome caract´eristique Pf|Fdivise Pf. En d´eduire que si
λ∈Kest une valeur propre de ude multiplicit´e kalors 1 ≤dim(Eλ)≤k.
2. Montrer que KerP(f) et ImP(f) sont stables par f.
Exercice 6.
Soit fun endomorphisme sur un K-espace vectoriel Ede dimension finie. Montrer que fest trigonalisable
si et seulement si son polynˆome caract´eristique Pfest scind´e.
Exercice 7.
Soient Eet Fdeux K-espace vectoriel Ede dimension finie et f:E→Fune application lin´eaire.
Montrer que l’application transpos´ee de f,tf:F∗→E∗v´erifie Im(tf) = (Kerf)⊥et Ker(tf) = (Imf)⊥.
En d´eduire que si ξ∈E∗est un vecteur propre de tfalors Kerξ= (Kξ)◦est un hyperplan de Estable
par f.
Exercice 8.
Soit uet vdeux endomorphismes sur Eespace vectoriel de dimension n. On suppose que uadmet n
valeurs propres deux `a deux distinctes. Montrer que u◦v=v◦usi et seulement si uet vont mˆemes
vecteurs propres.
Exercice 9. Lemme des noyaux
Soient Eun K-espace vectoriel, fun endomorphisme sur E,r∈N∗,P1, . . . , Pr∈K[X] des polynˆomes
premiers entre eux deux `a deux et P=P1· · · Pr.
1. On suppose que r= 2. Montrer qu’il existe U1et U2∈K[X] tels que U1(f)◦P1(f)+U2(f)◦P2(f) = I.
En d´eduire que KerP(f) = KerP1(f)⊕KerP2(f).
2. Montrer par r´ecurrence sur rque KerP(f) = KerP1(f)⊕ · · · ⊕ KerPr(f).
3. Montrer que fest diagonalisable si et seulement s’il existe un polynˆome Q∈K[X] scind´e et `a racines
simples tel que Q(f) = 0.
Exercice 10.
Soit uun endomorphisme sur Eespace vectoriel de dimension finie. Montrer que si u2=ualors u
est diagonalisable. Quelles sont les valeurs propres de u? Montrer que si uest bijective et si unest
diagonalisable pour un certain entier n∈N∗alors uest diagonalisable. Est-ce encore vrai si un’est pas
inversible ?
Exercice 11. Sous-espaces caract´eristiques et d´ecomposition de Dunford
Soit fun endomorphisme sur un K-espace vectoriel Ede dimension finie dont le polynˆome caract´eristique
est scind´e. Notons λ1, . . . , λrses racines distinctes, de multiplicit´e r1, . . . , rn, on a P=Qr
i=1(X−λi)ri.
Soient Fλi= Ker(f−λiI)ri, ses sous-espaces caract´eristiques. Montrer que E=F1⊕ · · · ⊕ Fr. Soit d
l’endomorphisme de Ed´efini sur chaque Fipar d|Fi=λiI. Montrer que dest diagonalisable, que n:= f−d
2

est nilpotente et que d◦n=n◦d. Montrer que fs’´ecrit de mani`ere unique sous la forme f=d+navec
ddiagonalisable, nnilpotente et d◦n=n◦d.
Exercice 12.
Soit fun endomorphisme sur un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
1. Soit Fun sous-espace vectoriel de Estable par f. Montrer que si fest diagonalisable alors f|Fest
diagonalisable. Montrer que si fest trigonalisable alors f|Fest trigonalisable.
2. Si K=C, montrer que fest diagonalisable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de Estable
par fadmet un suppl´ementaire stable par f.
Exercice 13.
Soient uet vdeux endomorphismes sur un K-espace vectoriel Etels que u◦v=v◦u.
1. Montrer que Imuet Kerusont stables par v. Montrer que, pour tout polynˆome P∈K[X], ImP(u)
et KerP(u) sont stables par v. En d´eduire que les sous-espaces propres de uet les sous-espaces
caract´eristiques de usont stables par vet par u.
2. Montrer que si uet vsont diagonalisables alors il existe une base de diagonalisation commune de u
et vet u◦vest diagonalisable.
3. Montrer que si uet vsont trigonalisables alors il existe une base de trigonalisation commune de u
et vet u◦vest trigonalisable.
Exercice 14. Th´eor`eme de Cayley-Hamilton
Soit fun endomorphisme sur un K-espace vectoriel Ede dimension finie. On va montrer que Pf, le
polynˆome caract´eristique de f, v´erifie Pf(f) = 0 par deux m´ethodes diff´erentes.
1. Par trigonalisation : En consid´erant fcomme un endormorphisme de Cn, montrer qu’il existe une
base (u1,· · · , un) de Cndans laquelle la matrice de fest triangulaire sup´erieure. Notons (λ1,· · · , λn)
ses ´el´ements diagonaux et Pk(X)=(X−λ1)· · · (X−λk), pour k= 1,· · · , n. Montrer par r´ecurrence
sur kque Pk(f)(uj) = 0 pour tout jtel que 1 ≤j≤k. En d´eduire que Pf(f) = 0.
2. Par matrice compagnon : Soit x∈E. On veut montrer que Pf(f)(x) = 0.
(a) Montrer qu’il existe un entier pet des scalaires a0,· · · , ap1tels que fp(x) = −(a0x+a1f(x) +
· · · +ap−1fp−1(x)) et tels que la famille (x, f(x),· · · , f p−1(x)) soit libre.
(b) Montrer que le sous-espace F= Vect((x, f (x),· · · , fp−1(x)) est stable par fet ´ecrire la matrice
de f|Fdans la base (x, f(x),· · · , f p−1(x)). D´eterminer le polynˆome caract´eristique Pde f|F.
Montrer que P(f)(x) = 0. En d´eduire que Pf(f)(x) = 0.
Exercice 15.
Soit fun endomorphisme sur un K-espace vectoriel Ede dimension n. On suppose que fest nilpotent,
c’est `a dire qu’il existe q∈Ntel que fq= 0, on appelle indice de nilpotence, le plus petit entier naturel
qtel que fq= 0. Montrer que fn’est pas inversible, en d´eduire que fadmet une valeur propre. Montrer
par r´ecurrence sur nque Pf(X)=(−1)nXn, o`u Pfd´esigne le polynˆome caract´eristique de f. En d´eduire
que q≤n. Donner un exemple d’endomorphisme nilpotent d’indice n. Montrer que r´eciproquement si
Pf(X) = (−1)nXnalors fest nilpotent.
Exercice 16. Noyaux des it´er´es. Indice d’un endomorphisme
Soit fun endomorphisme sur un K-espace vectoriel Ede dimension n. Montrer que pour tout entier
k∈N, on a Kerfk⊂Kerfk+1. En consid´erant la suite dk= dim Kerfk, montrer qu’il existe un plus petit
entier ktel que Kerfk= Kerfk+1 et que k≤n. Cet entier s’appelle l’indice de f. Montrer que
{0}(Kerf(Kerf2(· · · (Kerfk−1(Kerfk= Kerfk+1 = Kerfj,
pour tout entier j≥k. Montrer que E= Kerfk⊕Imfk. Montrer que E= Kerfj⊕Imfj, pour tout j≥k.
En d´eduire que Imfj= Imfk, pour tout j≥k. Montrer que l’indice de fest aussi le plus petit entier k
tel que Imfk= Imfk+1.
Exercice 17. Densit´e des matrices diagonalisables dans Mn(C)
Montrer que l’ensemble des matrices diagonalisables de Mn(C) est dense dans Mn(C). Montrer que dans
Mn(R), ce n’est pas vrai, mˆeme les matrices trigonalisables ne sont pas denses.
3

Exercice 18. Densit´e des matrices inversibles dans Mn(K), pour K=Rou C
Montrer que Gln(K) est ouvert dans Mn(K). Montrer que, pour toute matrice A∈ Mn(K), il existe ρ > 0
tel que, pour tout 0 < λ < ρ,A−λI est inversible. En d´eduire que les matrices inversibles sont denses
dans Mn(K). Montrer que pour toutes matrices Aet Bde Mn(K), les polynˆomes caract´eristiques de AB
et BA sont les mˆemes. Montrer que si A, B, C, D ∈ Mn(K) v´erifient CD =DC alors
det A B
C D = det(AD −BC).
Montrer que si deux matrices de Mn(R) sont semblables dans Calors elles sont semblables dans Mn(R).
Exercice 19. Lemme des noyaux et projecteurs spectraux
On reprend les hypoth`eses et les notations de l’exercice ”Lemme des noyaux”. On suppose de plus que
P(f) = 0. On a donc E= KerP1(f)⊕ · · · ⊕ KerPr(f).
1. Si r= 2 soit π1:= U1(f)◦P1(f) et π2:= U2(f)◦P2(f). Montrer que π1et π2sont les projecteurs
associ´es `a la d´ecomposition E= KerP1(f)⊕KerP2(f). Autrement dit π1est la projection sur
KerP2(f) parall`element `a KerP1(f) et π2est la projection sur KerP1(f) parall`element `a KerP2(f).
2. Si rest quelconque montrer qu’il existe U1, . . . , Ur∈K[X] tels que
r
X
i=1
UiY
j6=i
Pj= 1.
Pour 1 ≤i≤r, on pose πi=Ui(f)◦Qj6=iPj(f). Si, de plus, P(f) = 0, montrer que les endomor-
phismes πisont les projecteurs associ´es `a cette d´ecomposition.
3. On suppose que fest trigonalisable, on note λ1, . . . , λrses valeurs propres distinctes, de multiplicit´e
r1, . . . , rn. En appliquant les questions pr´ec´edentes aux polynˆomes Pi= (X−λi)ri, expliciter les
projecteurs πisur les sous-espaces caract´eristiques Fλi= Ker(f−λiI)ri. En d´eduire que dans la
d´ecomposition de Dunford, les endomorphismes det nsont des polynˆomes en f.
4. Soit P∈K[X] un polynˆome quelconque. Calculer P(A), pour
A=
2−1 1
−4 2 −4
−2 1 −1
.
Exercice 20.
Soient a= (a0,· · · , an−1)∈Cnet soient A(a) et Jles matrices d’ordre nd´efinies par
A(a) =
a0a1. . . an−1
an−1a0
....
.
.
.
.
.......a1
a1. . . an−1a0
J=
0 1 0 . . . 0
0 0 1 ....
.
.
.
.
.......0
0...1
1 0 . . . . . . 0
1. En observant que Jn=I, diagonaliser Jpuis Adans Mn(C).
2. Pour a= (α, β, β, · · · , β), d´eterminer les valeurs propres de A. Calculer Am, pour tout m∈N,
par deux m´ethodes diff´erentes : d’abord en utilisant une division euclidienne, puis en utilisant les
projecteurs spectraux.
Exercice 21. Matrices stochastiques
On dit qu’une matrice A= (ai,j )∈ Mn(R) est stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et
si Pjai,j = 1, ∀i. Montrer que toutes les matrices stochastiques ont une valeur propre commune et un
vecteur propre associ´e commun. Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice
stochastique. Montrer que si λ∈Cest valeur propre d’une matrice stochastique alors |λ| ≤ 1.
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