01 - Formalisme, logique élémentaire, ensembles

Formalisme,Logiqueélémentaire,Ensembles
M2 – Chapitre 1
Thomas
Page1
v2
ROBERT
I. Implication
II. Ensembles
1. Partied’unensemble
2. Opérationssurlesensembles
3. Applications
Application Injective Surjective
Une application
de E dans F
associe à tout élément de E
un unique élément de F
f
est injective si
:
f
surjective si
:
4. Cardinald’unensemble
Card E = nombre d’éléments de E
•
Il existe f injective de E dans F
•
Il existe f surjective de E dans F
•
Il existe f bijective de E dans F
5. Relationd’équivalence
Définition Propriétéspossibles Classesetensembleq.
R
:
•
Réflexive :
•
Symétrique :
•
Transitive :
Eléments en relation avec x
R est une relation. Si elle respecte les 3 propriétés, c’est une relation d’équivalence.

Formalisme,Logiqueélémentaire,Ensembles
M2 – Chapitre 1
Thomas
Page2
v2
ROBERT
III. Structuresalgébriques
1. Loisdecompositioninterne
Définition Propriétéspossibles
:
•
Associative :
•
Commutative :
•
Possède e neutre :
•
Tout x a un symétrique x’ :
2. Groupe
Définition
est un groupe si
est
associative
,
p
ossède un
neutre
et t
out élément
de E
a un
symétrique
par .
3. Sous-groupe
Définition Théorème
Soit
un groupe et
,
Si est un groupe,
Alors est un sous-groupe de
Soit
un groupe et
,
Si
Alors est un sous-groupe de
4. GroupeengendréparunepartieA
Définition
Soit
un groupe et
,
Alors groupe engendré par A = plus petit sous-groupe de G contenant A
5. Anneauetcorps
Anneau Corps
Soit
un groupe commutatif,
Soit une l.c.i. associative sur ,
Si  possède un neutre  ,
Et distributive par rapport à ,
Alors est un anneau
Si
est un anneau,
Et est un groupe,
Alors    est un corps
 Sous-groupesde 
•      multiples de n
• Soient  et  des sous-groupes de  ,   
•   
•     
•  sous-groupe de          
•   
• Soit           
Théorème de Bezout :