StructAlg_Exo3

Structures algébriques
TD 1 ........................................................................................................................................................................ 2
I) Exercice 2 ................................................................................................................................................. 2
II) Exercice 4 ................................................................................................................................................. 2
III) Exercice 6............................................................................................................................................. 5
IV) Exercice 8............................................................................................................................................. 6
V) Exercice 10 ............................................................................................................................................... 6
TD2 ......................................................................................................................................................................... 7
VI) Exercice 12........................................................................................................................................... 7
VII) Exercice 14........................................................................................................................................... 7
VIII) Exercice 16........................................................................................................................................... 8
IX) Exercice 18........................................................................................................................................... 8
X) Exercice 20 ............................................................................................................................................... 9
TD4 ....................................................................................................................................................................... 10
XI) Exercice 40......................................................................................................................................... 10
XII) Exercice 42......................................................................................................................................... 10
XIII) Exercice 44......................................................................................................................................... 10
XIV) Exercice 46......................................................................................................................................... 11

TD 1
I) Exercice 2
Soit E un ensemble non vide. Pour tout
EYX ,
, on pose
Ø si
Ø si
YXE
YXYX
XTY
Montrer que T est une loi de composition sur
EP
associative et commutative.
1) Montrons que T est associative, ie
YTZXTTZXTYEZYX  ,,
Ø si
Øet Ø si
Øet Ø si
YXEETZ
ZYXYXE
ZYXYXZYX
TZYX
TZXTY
Ø si
Øet Ø si
Øet Ø si
)(
ZYEXTE
ZYXZYE
ZYXZYZYX
ZYXT
YTZXT
Récapitulatif :
sinon
Øet Ø Ø, si
E
ZYZXYXZYX
TZXTY
sinon
Øet Ø Ø, si
E
ZYZXYXZYX
YTZXY
On en déduit dont que
YTZXTTZXTYEZYX  ,,
T est donc bien associative.
2) Montrons que T est commutative.
Evident car
XYYX 
.
II) Exercice 4
On considère l’ensemble
RRE  *
.
Montrer que E muni de la loi de composition définie par
bbaaababa  ','',',
est un
groupe.
1)
 RRE *
Ø (évident)
2) Il est évident que · est une loi de composition interne.
Montrons qu’elle est associative.
Soient
212121 ,et ,,, zzyyxx
des éléments de E.
221211111
221211111
2122111212121
,
,
,,,,,
xyxzyxzyx
xyxzyxzyx
zzxyxyxzzyyxx
212121
221211111
22211111
2211121212121
,,,
,
,
,,,,,
zzyyxx
xyxzyxzyx
xyzyxzyx
yzyzyxxzzyyxx

,E
est donc un semi-groupe.
3) Montrons que
,E
possède un élément neutre.
Soient
21,ee
et
yx,
deux élément de E.
21,ee
est l’élément neutre de
,E
si :
yxeeyxyxee ,,,,, 2121 
0
1
,,
,,,
2
1
21
1
211
21
e
e
yeye
xxe
yxeyexe
yxyxee
0,1
est donc un élément neutre possible.
Montrons que
0,1,,0,1  yxyx
On a déjà vu que :
yxyx ,,0,1 
yxyxxyx ,0,10,1, 
.
,E
possède donc bien un élément neutre qui est :
0,1
.
,E
est donc un monoïde.
4) Pour montrer que
,E
est un groupe, il reste donc à montrer que tous les éléments de E
sont inversibles.
Soient
yx,
et
',' yx
deux éléments de E.
',' yx
est l’inverse de
yx,
si et seulement si
0,1,','',',  yxyxyxyx
xy
y
x
x
yyx
xx
yyxxx
yxyx
'
1
'
0'
1'
0,1','
0,1',',
RR
xy x
*
,
1
est donc un inverse possible de
yx,
.
On a vu que
0,1,
1
, xy
x
yx
.
Calculons
yx
xy x,,
1
.
0,1
1
,
1
,,
1
xy
y
x
x
x
yx
xy x
Tous les éléments de E sont donc inversibles.
,E
est donc bien un groupe.

Même question avec
 a
b
baaababa ' ','',',
1)
 RRE *
Ø (évident)
2) Il est évident que · est une loi de composition interne.
Montrons qu’elle est associative.
Soient
212121 ,et ,,, zzyyxx
des éléments de E.
11
2121
112111
11
2
1
2
121111
21
1
2
1211212121
,
,
,,,,,
yx zzyy
zyxzyx
yx z x
y
yxzzyx
zz
x
y
yxyxzzyyxx
212121
11
2121
112111
1
1
2
12
211111
1
2
121121212121
,,,
,
,
,,,,,
zzyyxx
yx zzyy
zyxzyx
xy
z
zy
xzyzyx
y
z
zyzyxxzzyyxx
,E
est donc un semi-groupe.
3) Montrons que
,E
possède un élément neutre.
Soient
21,ee
et
yx,
deux élément de E.
21,ee
est l’élément neutre de
,E
si :
yxeeyxyxee ,,,,, 2121 
0
1
,,
,,,
2
1
1
2
1
1
21
21
xyy
e
e
y
e
y
ex
xxe
yx
e
y
exxe
yxyxee
0,1
est donc un élément neutre possible.
Montrons que
0,1,,0,1  yxyx
On a déjà vu que :
yxyx ,,0,1 
yx
y
xxyx ,
1
0,10,1, 
.

,E
possède donc bien un élément neutre qui est :
0,1
.
,E
est donc un monoïde.
4) Pour montrer que
,E
est un groupe, il reste donc à montrer que tous les éléments de E
sont inversibles.
Soient
yx,
et
',' yx
deux éléments de E.
',' yx
est l’inverse de
yx,
si et seulement si
0,1,','',',  yxyxyxyx
yy x
x
xyy x
x
x
y
yx
xx
x
y
yxxx
yxyx
'
1
'
0
'
1
'
0
'
'
1'
0,1
'
','
0,1',',
RRy
x
*
,
1
est donc un inverse possible de
yx,
.
On a vu que
0,1,
1
,
 y
x
yx
.
Calculons
yxy
x,,
1
.
0,1
1
,
1
,,
1
x
y
yxx
x
yxy
x
Tous les éléments de E sont donc inversibles.
,E
est donc bien un groupe.
III) Exercice 6
Soit G un groupe fini. Montrer que la table de Pythagore associée est un carré latin, c'est-à-
dire que chaque élément de G figure une et une seule fois dans chaque ligne et dans chaque
colonne.
Supposons qu’il existe un élément présent deux fois dans la ligne de x (ce qui est équivalent à
dire qu’un élément est absent).
Il existe alors
1
x
et
2
x
tels que
21 xx 
et
21 xxxx 
. En simplifiant par x à gauche, on
obtient
21 xx 
, ce qui est impossible.
Chaque élément de G est donc présent une et une seule fois par ligne.