StructAlg_Exo3

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Structures algébriques
TD 1 ........................................................................................................................................................................ 2
I)
Exercice 2 ................................................................................................................................................. 2
II)
Exercice 4 ................................................................................................................................................. 2
III)
Exercice 6............................................................................................................................................. 5
IV)
Exercice 8............................................................................................................................................. 6
V)
Exercice 10 ............................................................................................................................................... 6
TD2 ......................................................................................................................................................................... 7
VI)
Exercice 12........................................................................................................................................... 7
VII)
Exercice 14........................................................................................................................................... 7
VIII)
Exercice 16........................................................................................................................................... 8
IX)
Exercice 18........................................................................................................................................... 8
X)
Exercice 20 ............................................................................................................................................... 9
TD4 ....................................................................................................................................................................... 10
XI)
Exercice 40......................................................................................................................................... 10
XII)
Exercice 42......................................................................................................................................... 10
XIII)
Exercice 44......................................................................................................................................... 10
XIV)
Exercice 46......................................................................................................................................... 11
TD 1
I) Exercice 2
Soit E un ensemble non vide. Pour tout X , Y  E , on pose
 X  Y si X  Y  Ø
XTY  
si X  Y  Ø
 E
Montrer que T est une loi de composition sur PE  associative et commutative.
1) Montrons que T est associative, ie X , Y , Z  E  XTY TZ  XT YTZ 

 X  Y  Z si X  Y  Ø et  X  Y   Z  Ø
 X  Y TZ  
 XTY TZ  
E si X  Y  Ø et  X  Y   Z  Ø
ETZ  E si X  Y  Ø


 X  Y  Z si Y  Z  Ø et X  Y  Z   Ø
 XT (Y  Z )  
XT YTZ   
E si Y  Z  Ø et X  Y  Z   Ø
 XTE  E si Y  Z  Ø

Récapitulatif :
X  Y  Z si X  Y  Ø, X  Z  Ø et Y  Z  Ø
 XTY TZ  
E
sinon

 X  Y  Z si X  Y  Ø, X  Z  Ø et Y  Z  Ø
XY YTZ   
E
sinon

On en déduit dont que X , Y , Z  E  XTY TZ  XT YTZ 
T est donc bien associative.
2) Montrons que T est commutative.
Evident car X  Y  Y  X .
II) Exercice 4
On considère l’ensemble E  R*  R .
Montrer que E muni de la loi de composition définie par a, b a' , b'  a  a' , a  b'b est un
groupe.
1) E  R *  R  Ø (évident)
2) Il est évident que · est une loi de composition interne.
Montrons qu’elle est associative.
Soient x1, x2 ,  y1 , y2  et z1 , z2  des éléments de E.
x1 , x2   y1 , y2  z1 , z2   x1  y1 , x1  y2  x2  z1 , z2 
 x1  y1   z1 , x1  y1   z2  x1  y2  x2 
 x1  y1  z1 , x1  y1  z2  x1  y2  x2 
x1 , x2   y1 , y2  z1 , z2   x1 , x2   y1  z1 , y1  z2  y2 
 x1   y1  z1 , x1   y1  z2  y2   x2 
 x1  y1  z1 , x1  y1  z2  x1  y2  x2 
 x1 , x2    y1 , y2  z1 , z2 
E, est donc un semi-groupe.
3) Montrons que E, possède un élément neutre.
Soient e1 ,e2  et x, y  deux élément de E.
e1,e2  est l’élément neutre de E, si : e1, e2  x, y  x, y e1, e2   x, y
e1 , e2   x, y   x, y 
 e1  x, e1  y  e2   x, y 
e  x  x
1
e1  y  e2  y
e1  1

e2  0
1,0 est donc un élément neutre possible.
Montrons que 1,0 x, y   x, y  1,0
On a déjà vu que : 1,0 x, y   x, y 
x, y 1,0  x 1, x  0  y  x, y .
E, possède donc bien un élément neutre qui est : 1,0.
E, est donc un monoïde.
4) Pour montrer que E, est un groupe, il reste donc à montrer que tous les éléments de E
sont inversibles.
Soient x, y  et x' , y' deux éléments de E.
x' , y' est l’inverse de x, y  si et seulement si x, y x' , y'  x' , y' x, y  1,0
x, y  x' , y'  1,0
 x  x' , x  y ' y   1,0
 x  x'  1

 x  y ' y  0
1

 x'  x

 y'   y

x
1  y
*
 ,
  R  R est donc un inverse possible de x, y  .
x
x


1  y
On a vu que  x, y    ,
  1,0 .
x x 
1  y
Calculons  ,
   x, y  .
x x 
1
 y
1  y
1
 ,
   x, y     x,  y 

x
x 
x x 
x
 1,0 
Tous les éléments de E sont donc inversibles.
E, est donc bien un groupe.
b' 

Même question avec a, b   a' , b'   a  a ' , a'b  
a

*
1) E  R  R  Ø (évident)
2) Il est évident que · est une loi de composition interne.
Montrons qu’elle est associative.
Soient x1, x2 ,  y1 , y2  et z1 , z2  des éléments de E.



x1 
x1 , x2    y1 , y2  z1 , z2    x1  y1 , x2  y1  y2   z1 , z2 


y 
z 
   x1  y1   z1 , z1   x2  y1  2   2 
x1  x1  y1 



y y z  z 
  x1  y1  z1 , x2  y1  z1  1 2 1 2 
x1  y1




x1 , x2    y1 , y2   z1 , z2   x1 , x2    y1  z1 , y2  z1  z2 
y1 

z 

y2  z1  2 

y1 
  x1   y1  z1 ,  y1  z1   x2 


x1





y y z  z 
  x1  y1  z1 , x2  y1  z1  1 2 1 2 
x1  y1


  x1 , x2    y1 , y2   z1 , z 2 
E, est donc un semi-groupe.
3) Montrons que E, possède un élément neutre.
Soient e1 ,e2  et x, y  deux élément de E.
e1,e2  est l’élément neutre de E, si : e1, e2  x, y  x, y e1, e2   x, y
e1 , e2   x, y   x, y 

y
  e1  x, x  e2     x, y 
e1 

e1  x  x


y
 x  e2  e  y
1

e1  1


y y
e2  x  0
1,0 est donc un élément neutre possible.
Montrons que 1,0 x, y   x, y  1,0
On a déjà vu que : 1,0 x, y   x, y 
x, y   1,0   x 1, x  0  y   x, y  .
1

E, possède donc bien un élément neutre qui est : 1,0.
E, est donc un monoïde.
4) Pour montrer que E, est un groupe, il reste donc à montrer que tous les éléments de E
sont inversibles.
Soient x, y  et x' , y' deux éléments de E.
x' , y' est l’inverse de x, y  si et seulement si x, y x' , y'  x' , y' x, y  1,0
x, y   x' , y '  1,0
y' 

  x  x' , x' y    1,0 
x

 x  x'  1


y'
 x' y  x  0
1

x
'


x

 y  y'  0
 x
1

 x' 

x
 y '   y
1

*
 , y   R  R est donc un inverse possible de x, y  .
x


1

On a vu que x, y    , y   1,0 .
x

1

Calculons  , y    x, y  .
x





1
y 
1


 , y   x, y    x, x   y  
x
1
x

 

 x

 1,0
Tous les éléments de E sont donc inversibles.
E, est donc bien un groupe.
III)
Exercice 6
Soit G un groupe fini. Montrer que la table de Pythagore associée est un carré latin, c'est-àdire que chaque élément de G figure une et une seule fois dans chaque ligne et dans chaque
colonne.
Supposons qu’il existe un élément présent deux fois dans la ligne de x (ce qui est équivalent à
dire qu’un élément est absent).
Il existe alors x1 et x 2 tels que x1  x2 et x  x1  x  x2 . En simplifiant par x à gauche, on
obtient x1  x2 , ce qui est impossible.
Chaque élément de G est donc présent une et une seule fois par ligne.
On montre de même que chaque élément de G est présent une et une seule fois par colonne.
La table de Pythagore associée à G est donc un carré latin.
IV)
Exercice 8


Montrer qu’un groupe G dont tous les éléments sont involutifs x  G x 2  e est abélien.
Soient x, y  G .
xy  G
  xy  e
 xyxy  xxyy
 yx  xy
G est donc un groupe commutatif, donc abélien.
2
V) Exercice 10
Soit E, un semi-groupe tel qu’il existe
x  E vérifiant E  xEx . Montrer que E, est un
monoïde.
Rappels :
E, est un semi groupe  la loi · est associative, ie x, y, z  E x  y z  x   y  z .
E, est un monoïde  il admet un élément neutre, ie e  E x  E x  e  e  x  x .
Soit x  E tel que E  xEx .
E  xEx  xEx  E , l’inclusion est stricte si on peut trouver z, z ' E tels que
z  z' x  z  x  x  z'x (c'est-à-dire card xEx  card E ).
Il y a donc égalité si et seulement si z, z' E x  z  x  x  z'x  z  z' (1).
Supposons que l’élément neutre e existe.
Si e  x , alors (1) est évident, d’où eEe  E .
Soit x' E  e tel que E  x' Ex' .
Soit y  E . eEe  E , donc z  E y  e  z  e  z .
E  x' Ex' , donc z' E y  x'z'x' .
TD2
VI)
Exercice 12
Soit H et G deux sous-groupes d’un groupe G. Monter que : K  G  H  K  H
Soit h  H et k  H  K
k  H donc h  k  h 1  H
k  K et H distingué dans G, donc h  k  h 1  K
D’où, k  H  K h H h  k  h 1  H  K .
H  K est donc distingué dans H.
VII)
Exercice 14
Soit G un groupe, et X une partie non vide de G. on pose :
N  X   x  G X  x  x  X 
C  X   x  G y  X  y  x  x  y 
N  X  est appelé normalisateur de X, et C  X  est appelé centralisateur de X. Montrer que
N  X  est un sous-groupe de G, et que C  X  est un sous-groupe distingué de N  X  .
1) N  X   Ø car X  e  e  X .
Soient x, y  N  X  .
X  x  y  x  X  y car x  N  X 
 x  y  X car y  N  X 
Soit x  N  X 
 X x  x X
 x 1   X  x   x 1  x  X 


 x 1  X  x  x 1  X  x 1
1
 x  X  X  x 1
 x 1  N  X 
N  X  est donc un sous-groupe de G.
2) C X   Ø car y  X y  e  e  y .
Soient x, y  C X  et z  X .
z  x  y  x  z  y car x  C  X 
 x  y  z car y  C  X 
Soient x  C X  et z  X
 z x  x z
 x 1  z  x   x 1  x  z 


 x 1  z  x  x 1  z  x 1
 x 1  z  z  x 1
 x 1  C  X 
C  X  est donc un sous-groupe de G.
C X   N  X  car si y  X x  y  y  x , alors x  X  X  x .
C  X  est donc un sous-groupe de N  X  .
Soient x  C X  , g  N  X  et z  X
g  x  g  z
 z ' X g  x  g  z  g  x  z 'g
1
1
 g  x  z 'g
1
 g  z 'x  g
1
car g  N  X  et z  X
car x  C  X  et z ' X
1
 z" X g  z 'x  g  z"g  x  g 1 car g  N  X  et z ' X
Il reste à montrer que z  z"
 g 1  z  z 'g 1  g 1  z  g  z '


1
 g  z '  z"g
 z '  g  z"g 
D’où g 1  z  g  g 1  z"g .
En simplifiant à droite par g et à gauche par g 1 , on obtient z  z"
D’où g  N  X  g  C  X  g 1  C  X 
C  X  est donc bien un sous-groupe distingué de N  X  .
1

VIII)

Exercice 16
Soit G un groupe cyclique. Montrer que tout sous-groupe H est cyclique. Indication : si
H  e, montrer que H  x m avec m  inf k  1 x k  H .
 


H est un sous-groupe de G  g  si et seulement si :
H  Ø : donc x  G x  H . Donc, il existe n  N tel que g n  H
x, y   H 2 x 1  H et x  y  H : donc, si g n  H , alors g  n  H , e  g n  g  n  H et
k  Z g k n  H .
D’où si g n  H , alors g n  H .
Supposons qu’il existe n, n' N tels que g n  H et g n '  H .
Alors g n  H et g n '  H , et de plus g k n  k 'n '  H avec k , k ' Z car H est stable pour la
loi de composition.
m  N * k , k ' Z N  k  n  k 'n' admet un minimum : m  pgcd n, n' , donc



 
 

g
 
  

,g  g  H
Dans le cas général, H  g n1 , g nk  g m , avec
m  pgcd ni ,1  i  k   inf k  1 x k  H . H est donc monogène
De plus, card H  card G , donc H est fini.
Tous les sous-groupes de G sont donc cycliques.
n
n'
IX)
m

  
Exercice 18
Soit H et K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H  K est un sous-groupe si et
seulement si H  K ou K  H
- H  K d’est pas vide car H et K sont des sous-groupes de G.
- Soit x  H  K , x est inversible car H et K sont des sous-groupes de G.
- Soient x, y  H  K .
Si x et y sont tous les deux éléments de H (resp. de K), alors x  y  H  K comme élément de
H (resp. de K).
x  y  H  y  H
Si x  H et y  K , alors x  y  H  K  
x  y  K  x  K
D’où H  K est un sous-groupe de G si et seulement si H  K ou K  H
X) Exercice 20
Soit G un groupe fini d’ordre 2n , tel qu’il existe deux sous-groupes H et K d’ordre n vérifiant
H  K  e (avec e l’élément neutre). Montrer que n  2 et déterminer la table de
Pythagore. Indication : montrer qu’il existe g  G tel que
h  H  e, k  K  e, hk  kh  g .
card G  card H  card K avec H  K  e, d’où G  H  K  g
Soient h  H  e k  K  e
hk  G , donc hk  H , hk  K ou hk  g .
Si hk  H , alors k  H , d’où k  e ce qui est impossible car on à pris k  e
De même, si hk  K , alors h K , d’où h  e ce qui est impossible car on à pris h  e
Donc hk  g .
On démontre de même que kh  g .
Donc h  H  e, k  K  e, hk  kh  g .
n  0 car H, K et G sont des groupes.
n  1 car sinon, H  K  e, donc H  e  K  e  Ø, donc g n’existe pas, donc
card G  card H  card K
D’où n  2
Si n  2 , alors on peut prendre k  k ' éléments de K, et on a : hk  hk '  k  k ' .
Impossible !!
Donc n  2 .
D’où n  2 .
Construction de la table de Pythagore :
hh  h  h  e Impossible, donc hh  e
De même, kk  e
gg  khhk  kk  e
hg  hhk  k  khh  gh
kg  kkh  h  hkk  gk
e h k g
e e h k g
h h e g k
k k g e h
g g k h e
TD4
XI)
Exercice 40
Soit G un groupe cyclique. Montrer que le groupe de ses automorphismes est abélien.
G est cyclique, donc n  N g  G tels que G  g   e, g ,, g n 1 .
On sait déjà que Aut G  est un groupe, il reste donc à montrer
que , ' AutG    '   ' .
Soient , ' AutG .
On a vu dans l’exercice 41 que φ et  ' sont entièrement déterminés par  g  et  ' g  , et de
plus comme G est cyclique, il existe i et i ' tels que  g   g i et  ' g   g i ' , d’où k  N ,


 g k   g k i et  ' g k   g k i ' .
Soit k un entier,
   ' g k    g k i ' 
 g k i ' i

  ' g k i

 
  ' g k
Le groupe des automorphismes de G est donc abélien.
XII)
Exercice 42
Soit   Aut S3 
1. Montrer que   A3   A3

k
l 0  k  1
2. Montrer que S3  1 2  1 2 3

0  l  2

3. En déduire la description de tous les automorphismes de S 3 .
1) A3 = ?
2)
l\k
0
1
1
1
2
0
Id
2 3
3 2
1
1 2
2 3
1 3

k
l 0  k  1
On a donc S3  1 2  1 2 3

0  l  2

3)
XIII)
Exercice 44
Soit G un groupe, H un sous-groupe fini de cardinal n. On suppose qu’il est le seul sousgroupe de G de cardinal n. Montrer que H est distingué dans G.
Démontrons par l’absurde en supposant que g  G card gHg 1  n .
card gHg 1  n , donc il existe h, h' H h  h' tels que : g  G ghg 1  gh' g 1
En simplifiant à droite et à gauche, on obtient h  h' , d’où une contradiction.






Donc card gHg 1  n .
Comme, de plus, H est le seul sous-groupe de G de cardinal n, g  G gHg 1  H .
H est donc distingué dans G.
XIV)
Exercice 46
Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes tels que HK soit un groupe. Montrer que
HK  H  K .
H  K    z  G

n  N
x1 ,, xn  H  K
n

z   xi 
i 1

n
Soient x1 ,, xn  H  K et z   xi
i 1
i
xi  H ou xi  K , on peut donc poser h 
x
i
i xi H
et k 
x
i
. On remarque que h  H
i xi H
et k  K .
Donc z  hk  HK
D’où H  K   HK .
HK est un groupe, et z  HK h  H k  K z  hk .
D’où z  H  K  (en prenant n  2 x1  h  H  H  K  x2  k  K  H  K )
On en déduit que HK  H  K .
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