StructAlg_Exo3
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Structures algébriques TD 1 ........................................................................................................................................................................ 2 I) Exercice 2 ................................................................................................................................................. 2 II) Exercice 4 ................................................................................................................................................. 2 III) Exercice 6............................................................................................................................................. 5 IV) Exercice 8............................................................................................................................................. 6 V) Exercice 10 ............................................................................................................................................... 6 TD2 ......................................................................................................................................................................... 7 VI) Exercice 12........................................................................................................................................... 7 VII) Exercice 14........................................................................................................................................... 7 VIII) Exercice 16........................................................................................................................................... 8 IX) Exercice 18........................................................................................................................................... 8 X) Exercice 20 ............................................................................................................................................... 9 TD4 ....................................................................................................................................................................... 10 XI) Exercice 40......................................................................................................................................... 10 XII) Exercice 42......................................................................................................................................... 10 XIII) Exercice 44......................................................................................................................................... 10 XIV) Exercice 46......................................................................................................................................... 11 TD 1 I) Exercice 2 Soit E un ensemble non vide. Pour tout X , Y E , on pose X Y si X Y Ø XTY si X Y Ø E Montrer que T est une loi de composition sur PE associative et commutative. 1) Montrons que T est associative, ie X , Y , Z E XTY TZ XT YTZ X Y Z si X Y Ø et X Y Z Ø X Y TZ XTY TZ E si X Y Ø et X Y Z Ø ETZ E si X Y Ø X Y Z si Y Z Ø et X Y Z Ø XT (Y Z ) XT YTZ E si Y Z Ø et X Y Z Ø XTE E si Y Z Ø Récapitulatif : X Y Z si X Y Ø, X Z Ø et Y Z Ø XTY TZ E sinon X Y Z si X Y Ø, X Z Ø et Y Z Ø XY YTZ E sinon On en déduit dont que X , Y , Z E XTY TZ XT YTZ T est donc bien associative. 2) Montrons que T est commutative. Evident car X Y Y X . II) Exercice 4 On considère l’ensemble E R* R . Montrer que E muni de la loi de composition définie par a, b a' , b' a a' , a b'b est un groupe. 1) E R * R Ø (évident) 2) Il est évident que · est une loi de composition interne. Montrons qu’elle est associative. Soient x1, x2 , y1 , y2 et z1 , z2 des éléments de E. x1 , x2 y1 , y2 z1 , z2 x1 y1 , x1 y2 x2 z1 , z2 x1 y1 z1 , x1 y1 z2 x1 y2 x2 x1 y1 z1 , x1 y1 z2 x1 y2 x2 x1 , x2 y1 , y2 z1 , z2 x1 , x2 y1 z1 , y1 z2 y2 x1 y1 z1 , x1 y1 z2 y2 x2 x1 y1 z1 , x1 y1 z2 x1 y2 x2 x1 , x2 y1 , y2 z1 , z2 E, est donc un semi-groupe. 3) Montrons que E, possède un élément neutre. Soient e1 ,e2 et x, y deux élément de E. e1,e2 est l’élément neutre de E, si : e1, e2 x, y x, y e1, e2 x, y e1 , e2 x, y x, y e1 x, e1 y e2 x, y e x x 1 e1 y e2 y e1 1 e2 0 1,0 est donc un élément neutre possible. Montrons que 1,0 x, y x, y 1,0 On a déjà vu que : 1,0 x, y x, y x, y 1,0 x 1, x 0 y x, y . E, possède donc bien un élément neutre qui est : 1,0. E, est donc un monoïde. 4) Pour montrer que E, est un groupe, il reste donc à montrer que tous les éléments de E sont inversibles. Soient x, y et x' , y' deux éléments de E. x' , y' est l’inverse de x, y si et seulement si x, y x' , y' x' , y' x, y 1,0 x, y x' , y' 1,0 x x' , x y ' y 1,0 x x' 1 x y ' y 0 1 x' x y' y x 1 y * , R R est donc un inverse possible de x, y . x x 1 y On a vu que x, y , 1,0 . x x 1 y Calculons , x, y . x x 1 y 1 y 1 , x, y x, y x x x x x 1,0 Tous les éléments de E sont donc inversibles. E, est donc bien un groupe. b' Même question avec a, b a' , b' a a ' , a'b a * 1) E R R Ø (évident) 2) Il est évident que · est une loi de composition interne. Montrons qu’elle est associative. Soient x1, x2 , y1 , y2 et z1 , z2 des éléments de E. x1 x1 , x2 y1 , y2 z1 , z2 x1 y1 , x2 y1 y2 z1 , z2 y z x1 y1 z1 , z1 x2 y1 2 2 x1 x1 y1 y y z z x1 y1 z1 , x2 y1 z1 1 2 1 2 x1 y1 x1 , x2 y1 , y2 z1 , z2 x1 , x2 y1 z1 , y2 z1 z2 y1 z y2 z1 2 y1 x1 y1 z1 , y1 z1 x2 x1 y y z z x1 y1 z1 , x2 y1 z1 1 2 1 2 x1 y1 x1 , x2 y1 , y2 z1 , z 2 E, est donc un semi-groupe. 3) Montrons que E, possède un élément neutre. Soient e1 ,e2 et x, y deux élément de E. e1,e2 est l’élément neutre de E, si : e1, e2 x, y x, y e1, e2 x, y e1 , e2 x, y x, y y e1 x, x e2 x, y e1 e1 x x y x e2 e y 1 e1 1 y y e2 x 0 1,0 est donc un élément neutre possible. Montrons que 1,0 x, y x, y 1,0 On a déjà vu que : 1,0 x, y x, y x, y 1,0 x 1, x 0 y x, y . 1 E, possède donc bien un élément neutre qui est : 1,0. E, est donc un monoïde. 4) Pour montrer que E, est un groupe, il reste donc à montrer que tous les éléments de E sont inversibles. Soient x, y et x' , y' deux éléments de E. x' , y' est l’inverse de x, y si et seulement si x, y x' , y' x' , y' x, y 1,0 x, y x' , y ' 1,0 y' x x' , x' y 1,0 x x x' 1 y' x' y x 0 1 x ' x y y' 0 x 1 x' x y ' y 1 * , y R R est donc un inverse possible de x, y . x 1 On a vu que x, y , y 1,0 . x 1 Calculons , y x, y . x 1 y 1 , y x, y x, x y x 1 x x 1,0 Tous les éléments de E sont donc inversibles. E, est donc bien un groupe. III) Exercice 6 Soit G un groupe fini. Montrer que la table de Pythagore associée est un carré latin, c'est-àdire que chaque élément de G figure une et une seule fois dans chaque ligne et dans chaque colonne. Supposons qu’il existe un élément présent deux fois dans la ligne de x (ce qui est équivalent à dire qu’un élément est absent). Il existe alors x1 et x 2 tels que x1 x2 et x x1 x x2 . En simplifiant par x à gauche, on obtient x1 x2 , ce qui est impossible. Chaque élément de G est donc présent une et une seule fois par ligne. On montre de même que chaque élément de G est présent une et une seule fois par colonne. La table de Pythagore associée à G est donc un carré latin. IV) Exercice 8 Montrer qu’un groupe G dont tous les éléments sont involutifs x G x 2 e est abélien. Soient x, y G . xy G xy e xyxy xxyy yx xy G est donc un groupe commutatif, donc abélien. 2 V) Exercice 10 Soit E, un semi-groupe tel qu’il existe x E vérifiant E xEx . Montrer que E, est un monoïde. Rappels : E, est un semi groupe la loi · est associative, ie x, y, z E x y z x y z . E, est un monoïde il admet un élément neutre, ie e E x E x e e x x . Soit x E tel que E xEx . E xEx xEx E , l’inclusion est stricte si on peut trouver z, z ' E tels que z z' x z x x z'x (c'est-à-dire card xEx card E ). Il y a donc égalité si et seulement si z, z' E x z x x z'x z z' (1). Supposons que l’élément neutre e existe. Si e x , alors (1) est évident, d’où eEe E . Soit x' E e tel que E x' Ex' . Soit y E . eEe E , donc z E y e z e z . E x' Ex' , donc z' E y x'z'x' . TD2 VI) Exercice 12 Soit H et G deux sous-groupes d’un groupe G. Monter que : K G H K H Soit h H et k H K k H donc h k h 1 H k K et H distingué dans G, donc h k h 1 K D’où, k H K h H h k h 1 H K . H K est donc distingué dans H. VII) Exercice 14 Soit G un groupe, et X une partie non vide de G. on pose : N X x G X x x X C X x G y X y x x y N X est appelé normalisateur de X, et C X est appelé centralisateur de X. Montrer que N X est un sous-groupe de G, et que C X est un sous-groupe distingué de N X . 1) N X Ø car X e e X . Soient x, y N X . X x y x X y car x N X x y X car y N X Soit x N X X x x X x 1 X x x 1 x X x 1 X x x 1 X x 1 1 x X X x 1 x 1 N X N X est donc un sous-groupe de G. 2) C X Ø car y X y e e y . Soient x, y C X et z X . z x y x z y car x C X x y z car y C X Soient x C X et z X z x x z x 1 z x x 1 x z x 1 z x x 1 z x 1 x 1 z z x 1 x 1 C X C X est donc un sous-groupe de G. C X N X car si y X x y y x , alors x X X x . C X est donc un sous-groupe de N X . Soient x C X , g N X et z X g x g z z ' X g x g z g x z 'g 1 1 g x z 'g 1 g z 'x g 1 car g N X et z X car x C X et z ' X 1 z" X g z 'x g z"g x g 1 car g N X et z ' X Il reste à montrer que z z" g 1 z z 'g 1 g 1 z g z ' 1 g z ' z"g z ' g z"g D’où g 1 z g g 1 z"g . En simplifiant à droite par g et à gauche par g 1 , on obtient z z" D’où g N X g C X g 1 C X C X est donc bien un sous-groupe distingué de N X . 1 VIII) Exercice 16 Soit G un groupe cyclique. Montrer que tout sous-groupe H est cyclique. Indication : si H e, montrer que H x m avec m inf k 1 x k H . H est un sous-groupe de G g si et seulement si : H Ø : donc x G x H . Donc, il existe n N tel que g n H x, y H 2 x 1 H et x y H : donc, si g n H , alors g n H , e g n g n H et k Z g k n H . D’où si g n H , alors g n H . Supposons qu’il existe n, n' N tels que g n H et g n ' H . Alors g n H et g n ' H , et de plus g k n k 'n ' H avec k , k ' Z car H est stable pour la loi de composition. m N * k , k ' Z N k n k 'n' admet un minimum : m pgcd n, n' , donc g ,g g H Dans le cas général, H g n1 , g nk g m , avec m pgcd ni ,1 i k inf k 1 x k H . H est donc monogène De plus, card H card G , donc H est fini. Tous les sous-groupes de G sont donc cycliques. n n' IX) m Exercice 18 Soit H et K deux sous-groupes d’un groupe G. Montrer que H K est un sous-groupe si et seulement si H K ou K H - H K d’est pas vide car H et K sont des sous-groupes de G. - Soit x H K , x est inversible car H et K sont des sous-groupes de G. - Soient x, y H K . Si x et y sont tous les deux éléments de H (resp. de K), alors x y H K comme élément de H (resp. de K). x y H y H Si x H et y K , alors x y H K x y K x K D’où H K est un sous-groupe de G si et seulement si H K ou K H X) Exercice 20 Soit G un groupe fini d’ordre 2n , tel qu’il existe deux sous-groupes H et K d’ordre n vérifiant H K e (avec e l’élément neutre). Montrer que n 2 et déterminer la table de Pythagore. Indication : montrer qu’il existe g G tel que h H e, k K e, hk kh g . card G card H card K avec H K e, d’où G H K g Soient h H e k K e hk G , donc hk H , hk K ou hk g . Si hk H , alors k H , d’où k e ce qui est impossible car on à pris k e De même, si hk K , alors h K , d’où h e ce qui est impossible car on à pris h e Donc hk g . On démontre de même que kh g . Donc h H e, k K e, hk kh g . n 0 car H, K et G sont des groupes. n 1 car sinon, H K e, donc H e K e Ø, donc g n’existe pas, donc card G card H card K D’où n 2 Si n 2 , alors on peut prendre k k ' éléments de K, et on a : hk hk ' k k ' . Impossible !! Donc n 2 . D’où n 2 . Construction de la table de Pythagore : hh h h e Impossible, donc hh e De même, kk e gg khhk kk e hg hhk k khh gh kg kkh h hkk gk e h k g e e h k g h h e g k k k g e h g g k h e TD4 XI) Exercice 40 Soit G un groupe cyclique. Montrer que le groupe de ses automorphismes est abélien. G est cyclique, donc n N g G tels que G g e, g ,, g n 1 . On sait déjà que Aut G est un groupe, il reste donc à montrer que , ' AutG ' ' . Soient , ' AutG . On a vu dans l’exercice 41 que φ et ' sont entièrement déterminés par g et ' g , et de plus comme G est cyclique, il existe i et i ' tels que g g i et ' g g i ' , d’où k N , g k g k i et ' g k g k i ' . Soit k un entier, ' g k g k i ' g k i ' i ' g k i ' g k Le groupe des automorphismes de G est donc abélien. XII) Exercice 42 Soit Aut S3 1. Montrer que A3 A3 k l 0 k 1 2. Montrer que S3 1 2 1 2 3 0 l 2 3. En déduire la description de tous les automorphismes de S 3 . 1) A3 = ? 2) l\k 0 1 1 1 2 0 Id 2 3 3 2 1 1 2 2 3 1 3 k l 0 k 1 On a donc S3 1 2 1 2 3 0 l 2 3) XIII) Exercice 44 Soit G un groupe, H un sous-groupe fini de cardinal n. On suppose qu’il est le seul sousgroupe de G de cardinal n. Montrer que H est distingué dans G. Démontrons par l’absurde en supposant que g G card gHg 1 n . card gHg 1 n , donc il existe h, h' H h h' tels que : g G ghg 1 gh' g 1 En simplifiant à droite et à gauche, on obtient h h' , d’où une contradiction. Donc card gHg 1 n . Comme, de plus, H est le seul sous-groupe de G de cardinal n, g G gHg 1 H . H est donc distingué dans G. XIV) Exercice 46 Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes tels que HK soit un groupe. Montrer que HK H K . H K z G n N x1 ,, xn H K n z xi i 1 n Soient x1 ,, xn H K et z xi i 1 i xi H ou xi K , on peut donc poser h x i i xi H et k x i . On remarque que h H i xi H et k K . Donc z hk HK D’où H K HK . HK est un groupe, et z HK h H k K z hk . D’où z H K (en prenant n 2 x1 h H H K x2 k K H K ) On en déduit que HK H K .
