Devoir de mathématiques Groupes opérant sur un ensemble

Devoir de mathématiques
Groupes opérant sur un ensemble
Exercice I (Permutations)
Soit nun entier ≥1. On désigne par Inle nombre d’éléments σ∈ Sntels que σ2=id, où id désigne l’élément neutre
du groupe symétrique Sn.
1. Soit σ∈ Sn. Caractériser la propriété σ2=id sur la décomposition de σen cycles disjoints.
2. En déduire l’expression :
In=X
0≤p≤n
2
n!
2pp!(n−2p)!
3. Sans utiliser l’expression trouvée en 2, prouver, si n≥2, que In+1 =In+In−1.
Exercice II (Le groupe G168)
Dans cet exercice, on note Pla C-algèbre C[X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7]et on considère l’action à gauche naturelle de
S7sur S7donnée par :
S7× P → P
(σ, P (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7)) 7→ P(Xσ(1), Xσ(2), Xσ(3), Xσ(4), Xσ(5), Xσ(6), Xσ(7))
que l’on notera en abrégé : σ ? P .
On notera Kl’élément de Pdéfini par :
K=X1X2X4+X2X3X5+X3X4X6+X4X5X7+X5X6X1+X6X7X2+X7X1X3.
Dans S7, on considère les éléments c= (1,2,3,4,5,6,7) et b= (1,2)(3,6). Enfin, on note Kle sous-groupe de S7
engendré par les éléments {b, c}. On vérifiera que K⊂ A7et que K⊂Stab(K)(i.e le stabilisateur de l’élément K
pour l’action naturelle définie-ci dessus).
Partie I
1. Calculer cb. En déduire que Card(K)est divisible par 3et 7.
2. Calculer q=c−1bcb et β=c−1bc. montrer que le groupe Gest engendré dans S7par {q, β}est de cardinal 8,
isomorphe au groupe diédral D4.
En déduire que Card(K)est divisible par le nombre 23×3×7 = 168.
3. Montrer que la A7-orbite de Kcontient au moins 8éléments. (on pourra faire agir sur Kdes éléments involutifs
de A7). En déduire que Card(K) = 168.
Partie II
Soit Hun sous-groupe d’un groupe G. On appelle enveloppe normale de Hdans Gque nous noterons EH(G),
l’intersection des sous-groupes distingués de Gcontenant H. On dit aussi la clôture normale deHdans G. C’est le
plus-petit sous-groupe distingué de Gcontenant H. On note Γle sous-groupe de Kengendré par c.
1. Vérifier que q∈EK(Γ) et que EK(Γ) contient un élément d’ordre 3. (calculer cbcb)
2. Calculer q0=bcbc−1, puis r=q02q2q02q2. En déduire que EK(Γ) = K.
Partie III
1. Soit Nun sous-groupe fini distingué d’un groupe G, et soit Hun sous-groupe d’indice fini de G. On suppose
que les entiers Card(N)et [G:H]sont premiers entre eux. Montrer que N⊂H.
2. Soit un sous-groupe d’indice fini d’un groupe G, et soit Hun sous-groupe fini de G. On suppose que les entiers
[G:N]et Card(H)sont premiers entre aux. Démontrer que H⊂N.
1

Partie IV
Soit Gun groupe opérant à gauche sur un ensemble non vide E. Les stabilisateurs et orbites seront notés StabG(.)
et OrbG(.). On appelle G-bloc de Etoute partie non vide Xde Etelle que pour tout g∈G, on ait g.X =Xou
g.X ∩X=∅. Un tel G-bloc est dit trivial si c’est ou bien E, ou bien un singleton. L’action de Gsur Eest dite
primitive si on a les conditions suivantes :
–Card(E)≥2;
– l’action de Gsur Eest transitive ;
– les seuls G-blocs de Esont les G-blocs triviaux.
1. Supposons card(E)≥2et l’action transitive. Prouver que l’action de Gsur Eest primitive si et seulement si
les sous-groupes StabG(a)sont maximaux où a∈E. (maximaux en tant qu’ensemble ordonné pour l’inclusion
pour les sous-groupes stricts de G)
2. Supposons l’action de Gsur Eprimitive et fidèle. Soit Nun sous-groupe distingué de Gautre que {e}. Montrer
que l’action de Gsur Eest transitive.
3. On suppose l’ensemble Efini.
(a) Lorsque l’action de Gsur Eest transitive, montrer que le cardinal de tout G-bloc divise le cardinal de E.
(b) Lorsque Card(E)est un nombre premier et que l’action de Gsur Eest transitive, montrer que celle-ci est
primitive.
Partie V
On reprend toutes les notations de la partie I. On considère l’action à gauche naturelle de Ksur E=[[1,7]]. Le but
de cette partie est de prouver que le groupe Kest simple. Pour cela on considère un sous-groupe distingué Nde K,
distinct de {e}. Il s’agit de prouver que N=K.
1. Montrer que l’action de Ksur Eest primitive (utiliser la partie IV ), en déduire que l’action de Nsur Eest
transitive.
2. En déduire que Card(N)est divisible par 7. En appliquant les résultats de la partie III, en déduire que Γ⊂N.
3. En déduire que N=Ket conclure.