MPSI Groupe, groupe symétrique

MPSI
Groupe, groupe symétrique
Exercice 1 :
Soit Gun groupe et H, K deux sous-groupes de G. Montrer que
G=H∪K⇔G=Hou G=K
Exercice 2 :
Soient (G, ⊤),(G′,⊥)deux groupes et :G→G′un morphisme de groupes.
a) Montrer que pour tout sous-groupe Hde G,f(H)est un sous-groupe de G′.
b Montrer que pour tout sous-groupe H′de G′,f−1(H′)est un sous-groupe de G.
c) On note ele neutre de G. Montrer que fest injectif si et seulement si Ker(f) = {e}.
Exercice 3 :
Soient (G, ⊤),(G′,⊥)deux groupes, ∗la loi produit définie par
(x, x′)∗(y, y′) = (x⊤y, x′⊥y′).
a) Montrer que (G×G′,∗)est un groupe.
b) Montrer que si H(resp H′) est un sous-groupe de G(resp G′) alors H×H′est
un sous-groupe de G×G′.
Exercice 4 :
Soit Gun groupe fini et Hun sous-groupe de Gtel que 2Card(H)> Card(G).
1. a) Si H6=Galors ∃x∈G, x 6∈ H. Montrer que l’application fx:H→xH
h7→ xh
est une bijection.
2. b) En déduire que H=G.
Exercice 5 :
Soit Φ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7 1 5 12 6 3 9 4 2 11 8 10 .
1. a) Déterminer le nombre d’inversions de Φpuis sa signature.
2. b) Décomposer Φen un produit de cycles à supports disjoints et retrouver ainsi
la signature de Φ.
Exercice 6 :
Soit σ∈Snune permutation. Montrer que si σest un produit de q p-cycles à supports
disjoints alors ε(σ) = (−1)q(p−1).
Exercice 7 :
Soient (G, .)un groupe, H, K deux sous-groupes de G. Montrer que les propriétés
suivantes sont équivalentes :
i) HK est un sous-groupe de G.
ii) KH est un sous-groupe de G.
iii) KH ⊂HK
iv) HK ⊂KH
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Exercice 8 :
Soit Gun ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne ∗associative
pour laquelle tous les éléments de Gsont réguliers, ie x∗a=y∗a⇒x=yet
a∗x=a∗y⇒x=y.
a) Soit x∈G. Montrer que les application ϕx:G→G
y7→ y∗x
et ψx:G→G
y7→ x∗y
sont bijectives.
b) Soit ex, εx∈Gtel que ϕx(ex) = xet ψx(εx) = x. Montrer que ex=εxet
ex∗ex=ex.
c) Soit (x, y)∈G2. Montrer que ex=eyet en déduire que exne dépend pas de x.
On note e=expour un x∈G. Monter que eest l’élément neutre de G
d) Par un raisonnement analogue à la question a) montrer que (G, ∗)est un groupe.
Exercice 9 :
Soit Gun groupe et a, b ∈G. Montrer :
1. a) Si a, b, ab sont d’ordre 2, alors ab =ba.
2. b) Si aest d’ordre fini alors a−1aussi et aet a−1ont le même ordre.
3. c) Si aest d’ordre fini alors bab−1aussi, et aet bab−1ont le même ordre.
4. d) Si ab est d’ordre fini alors ba aussi, et ab et ba ont le même ordre.
Exercice 10 :
Soit Gun groupe fini, Hun sous-groupe de G,Rla relation définie dans Gpar
xRy⇔xy−1∈H.
1. Montrer que Rest une relation d’équivalence dans G.
2. Montrer que ∀x∈G, x=Hx. Puis montrer que l’application fx:H→Hx
h7→ hx
est bijective et en déduire que toutes les classes d’équivalences ont mêmes car-
dinal : celui de H.
3. En déduire que Card(G) = Card(H)×Card G
R
4. Montrer que l’ordre de chaque élément de Gdivise le cardinal de G.
5. Soit Gnet Gpdeux groupes d’ordre respectifs net ptels que n∧p= 1. Montrer
qu’il n’existe pas de morphisme de groupe non trivial de Gndans Gp.
Exercice 11 :
Soit σ=1 2 3 4 5 6 7 8
8 7 2 6 1 5 3 4 .
1. Décomposer σen produit de cycles disjoints.
2. Déterminer la signature de σ.
3. Déterminer l’ordre de σdans le groupe Sn.
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