TP01_1_Correction

1èreS - TP01.1: ALGORITHMIQUE - CORRIGE
Somme et produit des racines d'un trinôme - Méthode d'Al-Khuwarizmi
1. Préliminaire: somme et produit des racines d'un trinôme
Considérons le trinôme
2
ax bx c
+ +
, avec
0
a
≠
.
Lorsque le discriminant
∆
est strictement positif, il admet deux racines distinctes,
1
2
b
x
a
− − ∆
=
et
2
2
b
x
a
− + ∆
=
.
1°) Démontrez que
1 2
b
x x
a
+ = −
, et que
1 2
c
x x
a
=
.Avec les expressions de x
1
et x
2
vues en classe et rappelées
dans l'énoncé, on a
On remarquera que dans le cas général d'une équation du type
2
0
ax bx c
+ + =
(
0
a
≠
), en divisant chacun des
membres par le coefficient dominant
a
, on obtient
2
0
b c
x x
a a
+ + =
, ou encore
2
0
P
S
b c
x x
a a
− − + =
, où S note la
somme des racines, et P leur produit.
On retiendra la forme
2
0
x Sx P
− + =
, où l'on peut "lire directement" la somme et le produit des racines dans une
équation de coefficient dominant 1 (à laquelle on peut toujours se ramener en divisant par
a
).
2°) Application.
a) Vérifiez que
1
2
x
=
est solution de l'équation
2
4 4 3 0
x x
+ − =
.
Vérification:
2
1 1 4
4 4 3 2 3 1 2 3 0
2 2 4
× + × − = + − = + − =
, donc
1
2
est bien solution de l'équation.
Calculez l'autre racine grâce aux relations démontrées dans la question précédente, sans calculer
∆
.
1 2
2 2
b b
x x
a a
b
− − ∆ − + ∆
+ = +
−−∆
=b− + ∆
2
2
2
a
b
a
b
a
−
=
= −
( )( )
( )
( )
( )
1 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
4
4
4
4
b b
x x
a a
b b
a
b
a
b b ac
a
b
− − ∆ − + ∆
= ×
− − ∆ − + ∆
=
− − ∆
=
− −
=
=
2
b−
2
4
4
4
ac
a
+
=a
4
c
a a
c
a
=

Soit
x
la seconde racine de cette équation; d'après ce qui précède, on a:
1 4 1 1 3
1 1
2 4 2 2 2
1 3 3 3 3
2
2 4 2 4 4 2
x x x x
x
x x x
+ = − + = − = − − = −
⇔ ⇔ ⇔
− − − −
× = = = × =
La seconde solution est donc
3
2
x
= −
.
b) Sans aucun calcul, trouvez les solutions de l'équation
2
5 6 0
x x
+ − =
Ici, le coefficient "a" du trinôme est égal à 1, on peut donc dire que le trinôme
2
0
x bx c
+ + =
peut être vu sous la
forme
2
0
x Sx P
− + =
.
On peut donc "lire" la somme et le produit des racines directement "sur le trinôme".
Dans le cas de
2
5 6 0
S P
x x
−
+ − =
, on cherche donc des racines dont la somme est -5 et le produit -6.
On peut alors éventuellement "deviner" que les racines sont 1 et -6.
Plus rigoureusement (mais avec des calculs...), on trouvera les racines en résolvant le système de deux équations
à deux inconnues:
1 2
1 2
5
6
x x
x x
+ = −
× = −
.
2. La méthode d'Al-Khuwarizmi
Pour déterminer la solution positive de l'équation:
2
12 108
x x + = , voici comment procédait Al-Khuwarizmi,
mathématicien arabe du IX° siècle:
Diviser 12 par 2
Elever ce quotient au carré
Ajouter ce carré à 108
Prendre la racine carrée de cette somme
Retrancher à cette racine carrée le quotient du début
1.a) Vérifiez que l'équation
2
12 108
x x + = admet deux solutions de signes contraires, et que l'algorithme proposé
donne la solution positive.
2 2
12 108 12 108 0
x x x x
+ = ⇔ + − =
;
Dans cette dernière équation,
2 2
4 12 4 1 ( 108) 576
b ac∆ = − = − × × − = >0, donc ce polynôme admet deux
racines distinctes (l'équation admet deux solutions distinctes).
De plus, en pensant à la forme
2
0
x Sx P
− + =
pour l'équation
2
12 108 0
x x
+−=
,
on a
1 2
108 0
P x x
= = − <
, donc ces racines sont de signes contraires.
Suivons à présent la méthode d'Al-Khuwarizmi:
12 2 6
÷ =
;
on élève au carré:
2
6 36
=
;
on ajoute à 108:
36 108 144
+ =
;
on prend la racine carrée de cette somme:
144 12
=
;
On retranche à cette racine carré le quotient du début:
12 6 6
− =
.
Vérification:
576 24
=
.
Donc on a bien deux solutions,
1
12 24 36
18
2 2
x
− − −
= = = −
, et
2
12 24 12
6
2 2
x
− +
= = =
.

1.b) Utilisez la même méthode pour déterminer la solution positive de l'équation
2
16 80
x x
+ =
.
Avec la même méthode pour l'équation
2
16 80
x x
+ =
, il vient:
16 2 8
÷ =
;
on élève au carré:
2
8 64
=
;
on ajoute à 80:
64 80 144
+ =
;
on prend la racine carrée de cette somme:
144 12
=
;
On retranche à cette racine carré le quotient du début:
12 8 4
− =
.
Or pour l'équation équivalente
2
16 80 0
x x
+ − =
, on a
576
∆ =
(c'est par hasard que l'on retrouve le même
discriminant qu'à l'exemple précédent), et les deux racines 4 et -20.
L'algorithme donne donc bien la solution positive de l'équation.
2.a) Prouvez que toute équation du type
2
x bx c
+ =
, où
0
c
>
, admet deux racines de signes contraires.
Pour cela, étudiez le signe du produit des racines en utilisant les relations démontrées dans la question 1).
Soit une équation du type
2
x bx c
+ =
, avec
0
c
>
. On a :
2 2 2 2
0, donc 4 1 ( ) 4
x bx c x bx c b c b c
+ = ⇔ + − = ∆ = − × × − = +
; donc si
0
c
>
, alors
0
∆ >
, et l'équation
admet deux racines distinctes.
De plus, en écrivant l'équation sous la forme
2
0
x bx c
+ − =
et en pensant à
2
0
x Sx P
− + =
, le produit de ces
racines est
0
c
− <
, donc ces deux racines sont de signes contraires.
3. Ecriture de l'algorithme
L'algorithme calcule la racine positive (que nous noterons x
1
) ainsi:
2
1
2 2
b b
x c
= + −
.
On a en effet, dans un trinôme du second degré pour lequel
0
∆ >
et
1
a
=
, i.e. du type
2
0
x bx c
+ − =
(attention, ici le coefficient constant est – c):
2
2 2 2 2
1
4 4 4
2 2 2 2 4 4 2 2 2
b b c b b c b b c b b b b
x c c
− + + + +  
= = − + = − + = + − = + −
VARIABLES
b EST_DU_TYPE_NOMBRE
c EST_DU_TYPE_NOMBRE
x1 EST_DU_TYPE_NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE b
LIRE c
x1 PREND_LA_VALEUR
2
2 2
b b
c
+ −
AFFICHER x1
FIN_ALGORITHME
4. Lancement du logiciel Algobox
5. Utilisation du logiciel Algobox
Algorithme sous Algobox.
Saisissez l'algorithme de la question 3 dans le logiciel Algobox.
La ligne que nous avons complétée s'écrite avec la syntaxe suivante:
x1 PREND_LA_VALEUR sqrt(pow((b/2),2)+c)-(b/2)

Test de l'algorithme.
Nous allons tester l'algorithme sur l'équation
2
12 108
x x+ = .
Résultat donné par l'algorithme: 6
Testez cet algorithme sur l'équation
2
16 80
x x
+ =
.
Résultat obtenu: 4
Ces résultats confirment-ils vos calculs précédents? Oui.