Racines carrées - Epsilon 2000

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ème
Chapitre 08 – Racines carrées
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RACINES CARREES
1) Définition
définition
Si a désigne un nombre positif, on appelle "racine carrée de a", notée a, le nombre positif dont le carré
est a.
exemples
39 = car 93
2
=
525 = car 255
2
=
Remarque : On ne peut pas toujours donner une valeur décimale exacte de la racine carrée d'un nombre
positif, par exemple 2 :
2 est le nombre positif dont le carré vaut 2 :
(
)
22
2
=. On ne peut pas donner de valeur décimale
exacte de 2. On a 414,12 ≈ (c'est une valeur approchée de 2 au millième).
Conséquence
Si a désigne un nombre positif, on a :
(
)
aa =
2
aa =
2
2) Propriétés des racines carrées
Règles de calcul
Si a et b désignent deux nombres positifs :
a) baba ×=× (ce qui s'écrit plus simplement abba =)
b) si 0
≠
b, b
a
b
a=
preuve : voir activité 7 p.28-29
exemple
Ecrire les nombres suivants sous la forme ba , où a et b sont des entiers : 75 et 28 .
32575 ×=

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32575 ×=
3575 =
7428 ×=
7428 ×=
7228 =
ATTENTION !
Il n'y a aucune règle concernant la somme ou la différence de racines carrées.
On peut toutefois calculer certaines sommes :
Exemple
Ecrire le nombre suivant sous la forme
a b
, où a et b sont des nombres entiers :
3 50 2 32 6 18
A= − +
50 25 2 25 2 5 2
= × = × =
32 16 2 16 2 4 2
= × = × =
18 9 2 9 2 3 2
= × = × =
3 5 2 2 4 2 6 3 2
15 2 8 2 18 2
25 2
A
A
A
= × − × + ×
= − +
=
3) Equations x² = a
propriété
L'équation
2
x a
=
, où x est l'inconnue et a est un nombre :
• a deux solutions si
0
a
>
:
a
et
a
− ;
• a une seule solution si
0
a
=
: 0 ;
• n'a pas de solution si
0
a
<
démonstration :
Si
0
a
>
:
( )
( )( )
2
2
2
2
0
0
0
x a
x a
x a
x a x a
=
− =
− =
+ − =
L'équation
0
x a
+ =
a pour solution
a
−. L'équation
0
x a
− =
a pour solution
a
.
L'équation de départ a deux solutions :
a
et
a
−.

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Si
0
a
=
, alors
0
x
=
(équation produit).
Si
0
a
<
, alors l'équation n'admet pas de solutions car le carré d'un nombre ne peut pas être négatif.
exemples
L'équation
2
5
x
=
a deux solutions :
5
et
5
−
.
L'équation
2
3
x
= −
n'a pas de solutions.