DERIVATION I TAUX DE VARIATION f est une fonction définie sur

DERIVATION
I TAUX DE VARIATION
f est une fonction définie sur un intervalle I.
a et a + h sont deux réels distincts de I (h ≠ 0).
1° Définition :
f(a + h) – f (a)
h
On dit aussi accroissement moyen de la fonction f entre a et a + h.
On a appelle taux de variation de f entre a et a + h le nombre
2° interprétation géométrique.

→ 
→
Soit C f la courbe représentative de f dans le repère (O; i ; j ).
Soit A le point de C f d'abscisse a et M le point de C f d'abscisse a + h
f (a + h) – f (a)
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :
h
3° Exemples :
Soit h un réel non nul et f la fonction définie sur IR par : f (x) = – x2 + 4.
Calculer le taux de variation de f entre 1 et 1 + h
f (1 + h) – f (1) – (1 + h)2 + 4 – (– 12 + 4) – 1 – 2 h – h2 + 4 – 3 – h2 – 2 h
=
=
=
= – h – 2.
h
h
h
h
1
0,1
0,0002
10–5
2 10–15 10–50
h
f (1 + h) – f (1)
–3
–2,1
–2,0002
– 2,00001 – 2
–2
h
f (1 + h)
–3
– 2,79
– 2,99959996 – 3
–3
–3
x+1
. Calculer le taux de variation de f entre 2 + h et 2
x
2 + h + 1 3 ( 3 + h) × 2 – 3 × (2 + h)
–
2+h
2
2 (2 + h)
f (2 + h) – f (2)
6+2h–6–3h
–1
=
=
=
=
h
h
h
2 h (2 + h)
2 (2 + h)
1
0,1
0,0002
10–5
h
f (2 + h) – f (2)
– 0,1667
– 0,2301
– 0,2499750025
– 0,2499750006
h
f (2 + h)
1,3333
1,47619
1,499950005
1,4999975
f (x) =
2 10–15 10–50
– 0,25
– 0,25
1,5
1,5
II NOMBRE DERIVE DE f EN a
1° Exemples
Soit h un réel non nul et f la fonction définie sur IR par : f (x) = – x2 + 4.
f (1 + h) – f (1)
= – h – 2.
h
1
0,1
0,0002
10–5
2 10–15 10–50
h
f (1 + h) – f (1)
–3
–2,1
–2,0002
– 2,00001 – 2
–2
h
f (1 + h)
–3
– 2,79
– 2,99959996 – 3
–3
–3
x+1
f (x) =
. Calculer le taux de variation de f entre 2 + h et 2
x
f (2 + h) – f (2)
–1
=
h
2 (2 + h)
1
0,1
0,0002
10–5
2 10–15 10–50
h
f (2 + h) – f (2)
– 0,1667
– 0,2301
– 0,2499750025
– 0,2499750006
– 0,25 – 0,25
h
f (2 + h)
1,3333
1,47619
1,499950005
1,4999975
1,5
1,5
2° Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I
f (a + h) – f (a)
Lorsque le rapport
tend vers un réel lorsque h tend vers 0 on dit que ce réel est le nombre
h
dérivée en a. On le note f ' (a).
La fonction f est alors dérivable en a
3° Interprétation géométrique.

→ 
→
Si C f est la courbe représentative de f dans (O; i ; j )
Soit A le point de C f d'abscisse a et M le point de C f d'abscisse a + h
Lorsque h tend vers 0, la droite (AM) admet une position limite qui est la tangente en A à C f.
f (a + h) – f (a)
Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :
donc le coefficient directeur de la tangente
h
à C f en a est f ' (a)
4° Tangente
Si f est une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I.
Si f est dérivable en a alors la courbe C f admet une tangente au point d'abscisse a.
Cette tangente a pour équation : y = f (a) + f ' (a) × (x – a)
III. FONCTIONS DERIVEES
1° Fonction dérivée
Si f est dérivable en tout point de l'intervalle I on dit que f est dérivable sur I.
A tout réel x la fonction dérivée associe le nombre dérivée de f en x. On la note f '.
2° Fonctions dérivées des fonctions usuelles
f
Df
IR
IR
x
0
IR
IR
x
1
'
f'
x
k
x
x
x
x
2
IR
IR
x
2x
x
xn
IR
IR
x
n xn+1
x
1
x
IR*
IR*
x
–
IR+
IR+*
x
x
où k est une constante.
Df
x
3° Opérations sur les dérivées
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k est une constante.
f (x)
u+v
ku
u×v
1
u
u
v
f ' (x)
1
2
x
1
2 x
IV. VARIATIONS DES FONCTIONS
1° Théorème.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
f est croissante sur un intervalle I si et seulement si f ' est positive sur I
f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si f ' est négative sur I
f est constante sur un intervalle I si et seulement si f ' est nulle sur I
Le signe de la fonction dérivée donne donc les variations de la fonction.
2° Exemples