Stage de mathématiques : Avril 2017

Stage de mathématiques : Avril 2017 - Terminale ES
La correction de nombreux exercices abordés ici est disponible à cette adresse :
http ://www.apmep.asso.fr dans la rubrique annales.
Thème 1 : QCM
Exercice 1
Antilles juin 2016
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Au-
cune justication n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1. On donne le tableau de variation d’une fonction fdénie sur l’intervalle [−1 ; 3] :
Dans l’intervalle [−1 ; 3], l’équation
f(x)=0admet :
a. exactement 3 solutions
b. exactement 2 solutions
c. exactement 1 solution
d. pas de solution
x−11 2 3
−2
2
−1
−0,5
variations
de f
2. L’équation ln(2x)=2admet une unique solution x0sur R. On a :
a. x0= 0 b. x0=e2
2c. x0=ln 2 2d. x0= 3,694 5
3. La suite (un)est la suite géométrique de premier terme u0= 400 et de raison 1
2.
La somme S=u0+u1+···+u10 est égale à :
a. 2×(1−0,510)b. 2×(1−0,511)
c. 800 ×(1−0,510)d. 800 ×(1−0.511)
4. On considère l’algorithme ci-dessous :
Variables : nest un nombre entier naturel
Uest un nombre réel
Traitement : Aecter à nla valeur 0
Aecter à Ula valeur 50
Tant que U < 120 faire
Uprend la valeur 1,2×U
nprend la valeur n+ 1
Fin Tant que
Sortie : Acher n
En n d’exécution, cet algorithme ache la valeur :
a. 4b. 124,416 c. 5d. 96
5. Soit fla fonction dénie sur l’intervalle ]0 ; +∞[par f(x) = 2 + 3 ln(x).
La tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse 1a pour équation :
a. y=3
xb. y= 3x−1c. y= 3xd. y= 3x+ 2
Exercice 2
Amérique du sud nov 2015
Les probabilités sont données à 0,001 près.
Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.
Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent 400 enfants à cette fête ; ils
indiquent aussi que 32% des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.
1. Le nombre d’enfants issus des villages voisins est :
a. 128 b. 272 c. 303 d. 368
Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard an de former une équipe qui par-
ticipera à un dé sportif. On admet que le nombre d’enfants est susamment grand pour
que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.
On appelle Xla variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’enfants de l’équipe
habitant le village de Boisjoli.
2. La variable aléatoire Xsuit la loi binomiale de paramètres :
a. n= 400 et p= 0,32 b. n= 8 et p= 0,32
c. n= 400 et p= 8 d. n= 8 et p= 0,68
3. La probabilité que dans l’équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli
est :
a. 0,125 b. 0,875 c. 0,954 d. 1
4. L’espérance mathématique de Xest :
a. 1,740 8 b. 2,56 c. 87,04 d. 128
Exercice 3
Antilles sept 2015
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Au-
cune justication n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1. Soit la fonction fdénie sur [1 ; 100] par f(x) = 200 ln x+ 10x,f(x)désigne la fonction
dérivée de f.Ona:
a. f′(x) = 200+ 1
xb. f′(x) = 200 x+
10
c. f′(x) = 200 +
10x
d. f′(x) = 200
x+
10x
2. On note Lune primitive sur ]0 ; +∞[de la fonction ln. Cette fonction Lest :
a. croissante puis décroissante
b. décroissante sur [0 ; +∞[
c. croissante sur [0 ; +∞[
d. décroissante puis croissante
1

3. La fonction gdénie sur ]0 ; +∞[par g(x) = x−ln xest :
a. convexe sur ]0 ; +∞[
b. concave sur ]0 ; +∞[
c. ni convexe ni concave sur ]0 ; +∞[
d. change de convexité sur ]0 ; +∞[
4. On a représenté ci-dessous la courbe représentative d’une fonction hdénie et dérivable
sur [0 ; +∞[ainsi que sa tangente au point A d’abscisse 2. Par lecture graphique, on peut
conjecturer que :
a. h′(2) = 2
b. h′(2) = 1
2
c. h′(2) = 0
d. h′(2) = 1
1
2
3
−1
−2
1 2 3 4 5 6−1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6
A
5. La variable aléatoire Xsuit une loi normale d’espérance µ= 0 et d’écart type σinconnu
mais on sait que P(−10 < X < 10) = 0,8. On peut en déduire :
a. P(X < 10) = 0,1
b. P(X < 10) = 0,2
c. P(X < 10) = 0,5
d. P(X < 10) = 0,9
Exercice 4
Antilles 2015
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Au-
cune justication n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point. Indiquer
sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1. La fonction fdénie sur Rpar f(x) = x3+ 6x2est convexe sur l’intervalle :
a. ]− ∞ ; +∞[b. [−2 ; +∞[c. ]− ∞ ;−2] d. [−6 ; +∞[
2. Soit la fonction gdénie sur Rpar g(x)=(x−2)ex. L’équation g(x)=0admet sur R:
a. aucune solution b. une seule solution
c. exactement deux solutions d. plus de deux solutions
3. On pose : I=∫1
0
−2xe−x2dx. La valeur de Iest :
a. 1−e−1b. e−1−1c. −e−1d. e−1
4. La fonction hest dénie sur ]0 ; +∞[par h(x) = (2x+ 4) ln x.
On note h′la fonction dérivée de la fonction h.
Pour tout nombre xde l’intervalle ]0 ; +∞[,h′(x)est égale à :
a. 2
xb. 2 ln x+4 xc. 2x+ 4 xd. 2 ln x+2x+ 4 x
5. Le prix d’une action a augmenté chaque mois de 5 % et cela pendant 3 mois consécutifs.
Globalement, le prix de l’action a été multiplié par :
a. 1,053b. 1,15 c. 3×1,05 d. 1,45
Exercice 5
Polynésie 2015
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Aucune justication n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence
de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante
1. Soit la fonction gdénie pour tout nombre réel xstrictement positif par
g(x)=2e3x+1
2ln(x).
Si g′désigne la fonction dérivée de g, on a :
a. g
′(x) = 2e3x+
2
x
b. g
′(x)=6e3x+
2
x
c. g
′(x) = 6e3x+
1
2x
d. g
′(x) = 6ex+
1
2x
2. La courbe représentative Cd’une fonction fdénie sur l’intervalle [−2 ; 4] est donnée
ci-dessous. La tangente Tà la courbe au point d’abscisse 0traverse la courbe en ce point.
La fonction fest convexe sur l’intervalle :
a. [−1 ; 4]
b. [−2 ; 0]
c. [−2 ; −1]
d. [0 ; 4]
1
2
3
1 2 3 4−1−2
0
1
2
3
0 1 2 3 4
C
T
3. On donne l’algorithme ci-dessous.
La valeur achée en sortie de cet algorithme
est :
a. 7,1
b. 7,6
c. 8
d. 17
Variables
n: un nombre entier naturel
Traitement
Aecter à nla valeur 0
Tant que 1,9n<100
Aecter à nla valeur n+ 1
Fin Tant que
Sortie
Acher n
2

4. Une variable aléatoire Xsuit la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 5] dont la fonction de densité
est représentée ci-dessous.
On a alors :
a. P(X⩾3) = P(X < 3)
b. P(1 ⩽X⩽4) = 1
3
c. E(X) = 5
2
d. E(X) = 1
5
123450123456
1
5
Thème 2 : Suites
Exercice 6
Polynésie juin 2016
Une entreprise s’intéresse au nombre d’écrans 3D qu’elle a vendus depuis 2010 :
Année 2010 2011 2012
Nombre d’écrans 3D vendus 0 5 000 11 000
Le nombre d’écrans 3D vendus par l’entreprise l’année (2010 + n)est modélisé par une suite
(un), arithmético-géométrique, de premier terme u0= 0.
On rappelle qu’une suite arithmético-géométrique vérie, pour tout entier naturel n, une
relation de récurrence de la forme un+1 =a×un+boù aet bsont deux réels.
1. (a) En supposant que u1= 5 000, déterminer la valeur de b.
(b) En supposant de plus que u2= 11 000, montrer que pour tout entier naturel n, on
a :
un+1 = 1,2×un+ 5 000.
2. (a) Calculer u3et u4.
(b) En 2013 et 2014, l’entreprise a vendu respectivement 18 000 et 27 000 écrans 3D.
La modélisation semble-t-elle pertinente ?
Dans toute la suite, on fait l’hypothèse que le modèle est une bonne estimation
du nombre d’écrans 3D que l’entreprise va vendre jusqu’en 2022.
3. On considère la suite (vn)dénie pour tout entier naturel npar :
vn=un+ 25 000.
(a) Démontrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 1,2.
Préciser la valeur de son premier terme v0.
(b) Montrer que pour tout entier naturel n, un= 25 000 ×1,2n−25 000.
4. On souhaite connaître la première année pour laquelle le nombre de ventes d’écrans 3D
dépassera 180 000 unités.
(a) Prouver que résoudre l’inéquation un>180 000 revient à résoudre l’inéquation
1,2n>8,2.
(b) Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’il détermine et ache le plus
petit entier naturel n, solution de l’inéquation 1,2n>8,2.
Variables : Nest un entier naturel
West un nombre réel
Initialisation : Nprend la valeur 0
Wprend la valeur ……
Traitement : Tant que ……
Wprend la valeur W×1,2
……
Fin du Tant que
Sortie : Acher …
(c) Déterminer cet entier naturel n.
(d) À partir de 2023, l’entreprise prévoit une baisse de 15 % par an du nombre de ses
ventes d’écrans 3D. Combien d’écrans 3D peut-elle prévoir de vendre en 2025 ?
Exercice 7
Amerique du nord 2016
Une société propose un service d’abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.
Le 1er janvier 2016, on compte 4000 abonnés.
À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d’un mois sur l’autre, 8 %
des anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, 8 000 nouvelles personnes s’abonnent.
1. Calculer le nombre d’abonnés à la date du 1er février 2016.
Pour la suite de l’exercice, on modélise cette situation par une suite numérique (un)où un
représente le nombre de milliers d’abonnés au bout de nmois après le 1er janvier 2016.
La suite (un)est donc dénie par :
u0= 4 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 0,92un+ 8.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables
Nest un nombre entier naturel
Uest un nombre réel
Traitement
Uprend la valeur 4
Nprend la valeur 0
Tant que U < 40
Uprend la valeur 0,92 ×U+ 8
Nprend la valeur N+ 1
Fin Tant que
Sortie
Acher N
(a) Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que né-
cessaire.
Les valeurs de Useront arrondies au dixième.
Valeur de U4 … …
Valeur de N0 … …
Condition U < 40 vraie … …
(b) Donner la valeur achée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans
le contexte de l’exercice.
3. On considère la suite (vn)dénie pour tout entier naturel npar vn=un−100.
(a) Montrer que la suite (vn)est géométrique de raison 0,92 et calculer son premier
terme v0.
(b) Donner l’expression de vnen fonction de n.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a un= 100 −96 ×0,92n.
4. En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le
nombre d’abonnés devient supérieur à 70 000.
3

Thème 3 : Probabilités
Exercice 8
Antilles 2015
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée an de connaître leur sensibilité au
développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L’enquête révèle que 70% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux
qui sont sensibles au développement durable, 80 % pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10 % qui pratiquent
le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
S: L’élève interrogé est sensible au développement durable.
T: L’élève interrogé pratique le tri sélectif.
Les résultats seront arrondis à 10−2.
1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité que l’élève interrogé soit sensible au développement durable et pra-
tique le tri sélectif.
3. Montrer que la probabilité P(T)de l’évènement Test 0,59.
4. On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.
Peut-on armer que les chances qu’il se dise sensible au développement durable sont infé-
rieures à 10 % ?
5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi
les élèves de l’établissement.
Soit Xla variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves pratiquant le tri sélectif parmi les
4 élèves interrogés.
Le nombre d’élèves de l’établissement est susamment grand pour que l’on considère que
Xsuit une loi binomiale.
(a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
(b) Calculer la probabilité qu’aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
(c) Calculer la probabilité qu’au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le
tri sélectif.
Exercice 9
Polynésie 2015
Les parties A et B sont indépendantes
Sur une exploitation agricole, une maladie rend la conservation de fruits dicile. Un organisme
de recherche en agronomie teste un traitement sur un champ : sur une partie du champ, les fruits
sont traités, sur l’autre, non.
On considère que le nombre de fruits récoltés est extrêmement grand et que la maladie touche
les fruits de manière aléatoire.
Partie A-Étude de l’ecacité du traitement
On prélève au hasard 100 fruits sur la partie du champ traité et 100 fruits sur l’autre partie du
champ. On constate que :
— sur l’échantillon des 100 fruits traités, 18 sont abimés ;
— sur l’échantillon des 100 fruits non traités, 32 sont abimés.
1. Déterminer un intervalle de conance de la proportion de fruits abimés par la maladie au
niveau de conance de 95% :
(a) pour la partie du champ traitée ;
(b) pour la partie du champ non traitée.
2. Au vu des intervalles obtenus à la question 1, peut-on considérer que le traitement est
ecace ?
Partie B-Qualité de la production
Une étude plus poussée permet d’estimer la proportion de fruits abimés à 0,12 dans la partie
du champ traitée et à 0,30 dans la partie non traitée. On sait de plus qu’un quart du champ a
été traité.
Une fois récoltés, les fruits sont mélangés sans distinguer la partie du champ d’où ils proviennent.
On prélève au hasard un fruit récolté dans le champ et on note :
Tl’évènement «Le fruit prélevé provient de la partie traitée »;
Al’évènement «Le fruit prélevé est abimé ».
On arrondira les résultats au millième.
1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
2. (a) Calculer la probabilité que le fruit prélevé soit traité et abimé.
(b) Montrer que P(A)=0,255.
3. Un fruit prélevé au hasard dans la récolte est abimé. Peut -on armer qu’il y a une chance
sur quatre pour qu’il provienne de la partie du champ traitée ?
4. Dans le but d’eectuer un contrôle, cinq fruits sont prélevés au hasard dans le champ.
Calculer la probabilité qu’au plus un fruit soit abimé.
Thème 4 : Fonctions
Exercice 10
Polynésie juin 2016
Un publicitaire envisage la pose d’un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skate-
board. Le prol de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction fdénie
sur l’intervalle [0 ; 10] par :
f(x)=4e−0,4x.
Cette courbe Cfest tracée ci-dessous dans un repère d’origine O :
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(en mètres)
x(en mètres)
Cf
A
DC
B
4

Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le
point A est situé à l’origine du repère, le point B est sur l’axe des abscisses, le point D est sur
l’axe des ordonnées et le point C est sur la courbe Cf.
1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse x= 2.
Montrer qu’une valeur approchée de l’aire du panneau publicitaire est 3,6m2.
2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l’énoncé, quelles
sont les dimensions de celui dont l’aire est la plus grande possible ?
On donnera les dimensions d’un tel panneau au centimètre près.
Exercice 11
Centres etrangers 2016
Partie A
Soit fla fonction dénie sur [0 ; 8] par
f(x) = 0,4
20e−x+ 1 + 0,4.
1. Montrer que f′(x) = 8e−x
(20e−x+ 1)2où f′désigne la fonction dérivée de la fonction f.
2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
1f′(x) := 8 ∗eˆ(−x)/(20 ∗eˆ(−x) + 1)2
→f′(x) : 8·e−x
400 (e−x)2+ 40e−x+ 1
2g(x) := Dérivée [f′(x)]
→g(x) := 160 (e−x)2−8e−x
8000 (e−x)3+ 1200 (e−x)2+ 60e−x+ 1
3 Factoriser [g(x)]
→8e−x·20e−x−1
(20e−x+ 1)3
En s’appuyant sur ces résultats, déterminer l’intervalle sur lequel la fonction fest convexe.
Partie B
Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et
B situés à deux altitudes diérentes. La fonction f, dénie dans la partie A, modélise le prol
de ce projet routier. La variable xreprésente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le
village A et f(x)représente l’altitude associée, en kilomètres.
La représentation graphique Cfde la fonction fest donnée ci-dessous.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 1 2 3 4 5 6 7
+
+
A
B
Cf
x
f(x)
Dans cet exercice, le coecient directeur de la tangente à Cfen un point Mest appelé «pente
en M ».
On précise aussi qu’une pente en Mde 5 % correspond à un coecient directeur de la tangente
à la courbe de fen Mégal à 0,05.
Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu’en aucun point de Cfla pente ne dépasse
12 %.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justiant
la réponse.
Proposition 1
L’altitude du village B est 0,6 km.
Proposition 2
L ’écart d’altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre.
Proposition 3
La pente en A vaut environ 1,8 %.
Proposition 4
Le projet de route ne sera pas accepté.
Exercice 12
Asie 2015
Partie A
Soit fla fonction dénie sur [0 ; 10] par
f(x) = x+e−x+1.
Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :
1f(x) := x+exp(−x+ 1)
// Interprète f
// Succès lors de la compilation f
x7−→ x+exp(−x+ 1)
2 derive (f(x))
−exp(−x+1)+1
3 solve (−exp(−x+1)+1>0)
[x > 1]
4 derive (−exp(−x+ 1) + 1)
exp(−x+ 1)
1. Étude des variations de la fonction f
(a) En s’appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f
puis dresser son tableau de variation.
(b) En déduire que la fonction fadmet un minimum dont on précisera la valeur.
2. Étudier la convexité de la fonction fsur l’intervalle [0 ; 10].
Partie B
Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l’outil
de production utilisé, à mille objets par semaine. Le coût de revient est modélisé par la fonction
foù xest le nombre d’objets fabriqués exprimé en centaines d’objets et f(x)le coût de revient
exprimé en milliers d’euros.
1. Quel nombre d’objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ?
2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12 = C. On appelle marge brute pour x
centaines d’objets, la diérence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur
coût de revient.
(a) Justier que le montant obtenu par la vente de xcentaines d’objets est 1,2xmilliers
d’euros.
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