aire 2nde - AEFE Proche

- 1 -
F. SUCCAR GREM 2011-2012
GREM 1S fonction dérivée et sens de variations
Compléter la proposition suivante :
Graphiquement, le nombre dérivée f’(a) représente le …………………………………de la
tangente à la courbe représentative de f au point …………………….a
PARTIE A : ACTIVITE
 Démarrer GeoGebra
 Créer la fonction f définie sur
3
1
sur par 4 2
3
f x x x
(dans le menu saisie)
 Créer le point A libre sur la courbe de f
 Créer la droite tangente en A à la courbe de f
 Afficher la pente de la tangente en A au moyen de l’onglet :
Appeler votre professeur pour une vérification de la construction faite
PARTIE B : Conjectures
 Faites varier la position de A
Pour x<-2. Quel est le sens de variation de f ? Quel est alors le signe de m ?
…………………………………………………………………………………………………………….
Cette remarque reste-t-elle vraie pour x>2 ?
…………………………………………………………………………………………………………….

- 2 -
F. SUCCAR GREM 2011-2012
Pour quelles valeurs de x a-t-on m<0 ? Quel est alors le sens de variation de f ?
…………………………………………………………………………………………………………….
Quelle proposition pouvez vous formuler quand au lien entre :
signe de la fonction dérivée et sens de variation de la fonction ?
……………………………………………………………………………………………………………………
Cette conjecture est elle valable dans le cas de la fonction carrée ?
…………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..
PARTIE C : Démonstration
f est une fonction dérivable sur un intervalle I
Si f est strictement croissante sur un intervalle I alors pour tout x I…………………….
En effet : soit a et a+h deux réels de I,
 Si h>0 alors a+h>a, f étant strictement croissante sur I on a f(a+h)…………..donc :
( ) ( ).....0 f a h f a
et on conclut que :
( ) ( ) f a h f a
h
………….
 Si h<0
………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………...
De même si f est strictement ………………... sur un intervalle I alors pour tout x I……
Réciproquement :
Si pour tout x de I
0)( 
xf
alors f est .…………………………………………………sur I.
Si pour tout x de I
0)( 
xf
alors f est ………………………………………………… sur I.
REMARQUE :…………………………………………………………………………

- 3 -
F. SUCCAR GREM 2011-2012
APPLICATION : Dans chaque cas, dresser le tableau de variations de la fonction f
définie par :
1) f(x)=
1
xx
sur ] 0 ; 7]
2)
32
f(x)= x +1,5x -6x -3
sur [-5 ;5]
Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f .
Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f .
f est un polynôme donc dérivable sur [-5 ;5] et pour tout réel x de [-5 ;5] on a :
...................................)( 
xf
, donc f’ est une fonction polynôme du second degré qui
s’annule pour
.......
1x
et
.......
2x
.
x
-5
5
Signe de f’ ( x )
0
0
Sens de
variation de f