Cours 1

Intégration
Propriétés
Cours
Remarq
ues
Définition :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I.
Soit F une primitive de f sur I.
On appelle intégrale de f entre a et b le réel noté

b
a
f(x)dx  F(x)a  F(b)  F(a).
b
On lit : "l'int égrale de a à b de f(x)dx".
Remarque :

b
a
b
f(x)dx   f(t)dt 
a

b
a
f(u)du,...,etc. x, s, u,...,etc sont des variables
muettes.
Interprétation graphique :
 Soit f une fonction continue et positive sur a,b.

b
a
f(x)dx désigne l'aire de la partie du plan limitée par la courbe de f
les droites d'équations x  a, x  b et l'axe des abscisses.
 Soit f une fonction continue sur a,b. l'aire de la partie
du plan limitée par la courbe de f, les droites d'équations
x  a, x  b et l'axe des abscisses est

b
a
f(x) dx.
Théorème : Propriétés algébriques
a
 f(x)dx  0.
  f(x)dx    f(x)dx. (inversion desbornes).
  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx. (Relation de Chasles)

a
b
a
a
b
b
c
b
a
a
c
Théorème :Linéarité
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Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b
deux éléments de I.  et  sont deux nombres réels .
On a:
  f(x)  g(x) dx   
b
b
a
a
b
f(x)dx   g(x)dx .
a
Théorème :Positivité
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I.
a et b deux éléments de I tels que a  b.
On a:

b
a
f(x)dx  0 .
Corollaire 1 :
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I
tels que f(x)  g(x) sur I..
a et b deux élements de I tels que a  b .
On a :

b
a
b
f(x)dx   g(x)dx .
a
Corollaire 2 :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
a et b deux éléments de I tels que a  b.
On a:

b
a
b
f(x)dx   f(x) dx .
a
Intégration par partie :
Soit U et V deux fonctions dérivables sur un intervalle I de dérivées
U’ et V’ continues sur I. a et b deux éléments de I. On a

b
a
b
U '(x)V(x)dx   U(x)V(x)  
a

b
a
U(x)V '(x)dx .
Exemple :
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Calculer I 
Définition
Interprétation
graphique

2
0

Cours
x.cos x.dx .
On pose U(x)  x
V '(x)  cos x
U '(x)  1
V(x)  sin x
 
U, V, U ' et V ' sont continues sur 0,  . On a :
 2

2
0


2
x cos xdx   x.sin x  
0

2
0




sin x.dx     cos x 02   1.
2
2
Valeur moyenne :
Soit f une fonction continue sur a, b  , (a  b).
On appelle valeur moyenne de f le réel noté
b
1
f
f (x)dx

ba a
En fait, l’aire de la partie de du plan limitée
par la courbe de f, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x=a et x=b n’est autre
f
que l’aire du rectangle colorié en jaune
sur la figure ci-contre.
a
b
Fonctions définies par une intégrale :
Théoreme1 :
Soit I un intervalle de IR , f une fonction continue sur I et a I. Soit g
la fonction définie sur I par
x
 f (t )dt
x
a
. g est dérivable sur I et on a g’(x)=f(x)
En fait g est la primitive de f qui s’annule en a.
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Exemple :
   
g est la fonction définie sur I=  , 
 2 2
par g(x)= 0
x
1
dt .
1  tan 4 t
La fonction f : t
1
   
est continue sur I= 
,  et 0 I
4
1  tan t
2
2

alors g est dérivable sur I et on a g’(x)=f(x)=
1
1  tan 4 x
Théoreme2 :
Soit I un intervalle de IR
Soit I un intervalle de .
 f est une fonction continue sur un intervalle J de

Si on a:   a J
  u est une fonction dérivable sur I à valeurs dans J

ALORS :

la fonction F définie sur I par :x
u( x)
a
f (t )dt est dérivable sur I et
on a F’(x)=u’(x).f’(u(x))
Application :
Soit F la fonction définie par : F :  0,    IR

x
cos x
0
1 t 2 dt
1/ Montrons que F est dérivable sur I   0,  et calculons F’  x  .
 1
1
2 / En déduireque F(x)   x  sin 2x
4 2
4
2
3 / Calculer alors l'int égrale 0 2 1  t 2 dt
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1/
 f:t
1  t2 est une fonction continue sur J= 1,1

On a:   0 J
  u:x cosx est une fonction dérivable sur I= 0,  à valeurs dans J
 

Conclusion : F est dérivable sur I et on a :
F’  x   sinxF’  cosx    sin x 1  cos 2 x   sin x sin 2 x   sin x sin x   sin
car, x  0, 
1
 1
1
2 / F'(x)   sin 2 x  (cos 2x  1) donc F(x)   x  sin 2x
2
4 2
4

et comme F( )  0 alors
2
c   et par suite
3/ 0
F(x) 
 1
1
 x  sin 2x
4 2
2
  1
1 t 2 dt  F ( )  
4
8 4.
2
2
Théorème 1:
Soit f une fonction continue sur I et a  I.

Si f est impaire alors
a
a
f (x )dx  0.
Théorème 2:
Soit f une fonction continue sur I et a I.
Si f est paire alors

a
a
f (x)dx  2 f (x)dx.
a
0
Théorème 3:
Soit f une fonction continue sur
alors
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
a T
a
et T  périodique. a 
f (x)dx   f (x)dx.
T
0
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Calcul de volumes :
Théorème :
On sup pose que l'espace est muni d 'un repère orthonormé (O,i, j, k).
Soit f une fonction continue et positive sur a, b .
Le volume V du slide de révolution engendré par la rotation de l'arc
AB  M (x,y) ; a  x  b et y  f (x)
autour de l'axe des abscisses est le réel
Cf
V   f 2 (x)dx
b
a
a
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b
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