Cours 1

Intégration
Cours
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 1 sur 6
Propriétés
Définition :
bb
a
a
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I.
Soit F une primitive de f sur I.
On appelle intégrale de f entre a et b le r
f(x)dx F(x) F(b) F(a).
éel noté
On lit: "l'int égrale de a à b de f(x)dx".
Remarque :
b b b
a a a
f(x)dx f(t)dt f(u)du,...,etc. x, s, u,...,etc sont des variables
muettes.
Interprétation graphique :
b
a
Soit f une fonction continue et positive sur a,b .
f(x)dx désigne l'aire de la partie du plan limitée par la courbe de f
les droites d'équations x a, x b et l'axe des abscisses.
Soit f une fonction continue sur a,b . l'aire de la partie
du p
b
a
lan limitée par la courbe de f, les droites d'équations
x a, x b et l'axe des abscisses est f(x) dx. 
Théorème : Propriétés algébriques
a
a
ba
ab
b c b
a a c
f(x)dx 0.
f(x)dx f(x)dx. (inversion desbornes).
f(x)dx f(x)dx f(x)dx. (Relation de Chasles)
Théorème :Linéarité
Remarq
ues

Intégration
Cours
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 2 sur 6
b b b
a a a
Soient f et g deux fonctions sur un intervalle I, a et b
deux éléments de I. et sont deux nombres réels .
On a:
continues
f(x) g(x) dx f(x)dx g(x) dx . 
Théorème :Positivité
b
a
Soit f une fonction sur un intervalle I.
a et b deux éléments de I tels que
continue et positive
ab
f(x)
On a:
dx
.
0.
Corollaire 1 :
bb
aa
continues
f(
Soient f et g deux fonctions sur un intervalle I
tels que sur I..
a et b deux élements de I tels
x) g(x)
ab
f(x
que .
On a
)dx g
:
.(x)dx
Corollaire 2 :
bb
aa
Soit f une fonction sur un intervalle I.
a et b deux éléments de I tels qu
continue
ab
f(x
.
.
e
On a:
)dx f(x) dx
Intégration par partie :
Soit U et V deux fonctions dérivables sur un intervalle I de dérivées
U’ et V’ continues sur I. a et b deux éléments de I. On a
b
bb
aa
a
U'(x)V(x)dx U(x)V(x) U(x)V'(x)dx.
Exemple :

Intégration
Cours
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 3 sur 6
Définition
Interprétation
graphique
2
0
2
22
2
0
00
0
Calculer I x.cosx.dx.
On pose U(x) x U'(x) 1
V'(x) cosx V(x) sinx
U, V, U' et V' sont continues sur 0, . On a :
2
xcosxdx x.sinx sinx.dx cosx 1.
22
Valeur moyenne :
b
a
Soit f une fonction continue sur a,b , (a b).
On appelle valeur moyenne de f le rée
1
f f(x)dx
ba
l noté
En fait, l’aire de la partie de du plan limitée
par la courbe de f, l’axe des abscisses
et les droites d’équations x=a et x=b n’est autre
que l’aire du rectangle colorié en jaune
sur la figure ci-contre.
Fonctions définies par une intégrale :
Théoreme1 :
Soit I un intervalle de IR , f une fonction continue sur I et a
I. Soit g
la fonction définie sur I par
x
()
x
af t dt
. g est dérivable sur I et on a g’(x)=f(x)
En fait g est la primitive de f qui s’annule en a.
a
b
f

Intégration
Cours
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 4 sur 6
Exemple :
g est la fonction définie sur I=
,
22
par g(x)=
x
4
0
1dt
1 tan t
.
La fonction f :
4
1
1 tan
tt
est continue sur I=
,
22
et 0
I
alors g est dérivable sur I et on a g’(x)=f(x)=
4
1
1 tanx
Théoreme2 :
Soit I un intervalle de IR
Soit I un intervalle de .
f est une fonction continue sur un intervalle J de
Si on a: a J
u est une fonction dérivable sur I à valeurs dans J
ALORS :
la fonction F définie sur I par :x
() ()
ux
af t dt
est dérivable sur I et
on a F’(x)=u’(x).f’(u(x))
Application :
Soit F la fonction définie par : F :
0,
IR
x
cos 2
01
xt dt
1/ Montrons que F est dérivable sur I 0, et calculons F’ x .
11
2/ Endéduireque F(x) x sin2x
4 2 4
22
2
0
3/Calculeralorsl'intégrale 1 t dt

Intégration
Cours
Cours En Ligne
Pour s’inscrire : www.tunischool.com
Page 5 sur 6
1/
2
f:t 1 t est une fonction continue sur J= 1,1
On a: 0 J
u:x cosx est une fonction dérivable sur I= 0, à valeurs dans J
Conclusion : F est dérivable sur I et on a :
2
22
F’ x sinxF’ cosx sin x 1 cos x sin x sin x sin x sin x sinx
car,x 0,
21 1 1
2/ F'(x) sin x (cos2x 1) donc F(x) x sin2x
2 4 2 4
et comme F( ) 0 alors
2
c
11
et par suite F(x) x sin2x
4 2 2
3/
22
2
01
t dt
1
()
4 8 4
  F
.
Théorème 1:
a
a
Soit f une fonction continue sur I et a I.
Si f est aloimpaire f(xrdx 0s.)
Théorème 2:
aa
a0
Soit f une fonction continue sur I et a I.
Si f paire f(x)est alors .dx 2 f(x)dx
Théorème 3:
a T T
a0
T périoSoit f une fonction continue sur et .diq aue
f(x)dalors .x f(x)dx