Version du 5 octobre 2015 - UFR de Mathématiques et Informatique

UNIVERSITÉ PARIS DESCARTES
Licence Informatique 2e année
Notes du cours
Probablilités et Statistiques pour
l’Informatique.
Version du 5 octobre 2015.
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Table des matières
1 Probabilités, événements 1
1.1 Rappels sur les notations mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Ensembles................................ 1
1.1.2 Ensembles finis, dénombrables, non dénombrables . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Sous-ensembles ............................. 2
1.1.4 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Couples, triplets, n-uplets et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Combinatoire .................................. 4
1.2.1 Cardinal de l’ensemble des couples ou des n-uplets . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Cardinal de l’ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Ensemble des combinaisons de péléments parmi n.......... 4
1.2.4 Ensemble des permutations d’un ensemble à néléments . . . . . . . 5
1.2.5 Ensemble des arrangements de péléments parmi n.......... 5
1.3 Événements et probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Exempleintroductif........................... 6
1.3.2 Modèle fondamental des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Intersections d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Unions d’événements et probabilité d’une union . . . . . . . . . . . 7
1.3.5 Partition de Ω.............................. 8
1.3.6 Événement complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Probabilités conditionnelles et indépendance d’événements 13
2.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 FormuledeBayes................................ 16
2.4 Indépendance .................................. 18
2.4.1 Indépendance de deux événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Indépendance et événements complémentaires . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Indépendance de névénements .................... 19
2.4.4 Expériences aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Double conditionnement, indépendance conditionnelle . . . . . . . . . . . . 21
3

3 Variables aléatoires et lois 25
3.1 Définitionsgénérales .............................. 25
3.1.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Support d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 26
3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Quelquesexemples ........................... 27
3.2.2 Quelques lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Les événements élémentaires [X=x]................. 30
3.3 Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 Définition ................................ 33
3.3.3 Loi uniforme sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.4 Fonction de répartition d’une variable aléatoire à densité . . . . . . 34
3.3.5 Loiexponentielle ............................ 35
3.4 Loisquelconques ................................ 35
3.5 Espérance et variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Quelques rappels sur les sommes, séries et intégrales . . . . . . . . . 36
3.5.2 Définitions................................ 38
3.5.3 Exemples de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 Exemples de calculs de lois utilisant l’indépendance . . . . . . . . . . . . . 45
3.7.1 Somme de variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7.2 Maximum ou minimum de variables indépendantes . . . . . . . . . 48
4 Lois jointes, lois conditionnelles. 51
4.1 Couples, triplets, vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Loi jointe d’un couple de variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 Formule de calcul d’une espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Loi d’un vecteur de variables discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Loi conditionnelle d’une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.1 Conditionnement par rapport à un événement . . . . . . . . . . . . 54
4.4.2 Conditionnement par rapport à une autre variable . . . . . . . . . . 54
4.5 Covariance et corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Théorèmes limites et estimation 59
5.1 Exemplesintroductifs.............................. 59
5.2 Convergence de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Moyenne empirique et loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.1 Moyenne empirique d’une suite de variables . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.2 La loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Estimation ponctuelle de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Estimation ponctuelle de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.1 Estimation avec espérance connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.2 Estimation avec espérance inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Loi normale et théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6.1 Laloinormale.............................. 64
5.6.2 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.7 Approximations de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7.1 Approximation par la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7.2 Approximation par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.8 Estimation par intervalles de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.8.1 Intervalle de confiance grâce à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev . 67
5.8.2 Intervalle de confiance grâce au théorème central limite . . . . . . . 67