Chapitre 1.4 – L`énergie et le mouvement harmonique simple

Chapitre 1.4 –
L’énergie et le mouvement
harmonique simple
Le travail
Nous
avons défini le travail W dans le cours de mécanique1 comme étant l’action d’appliquer une force


F sur un certain déplacement s . Physiquement, le travail représente un processus de transformation
de l’énergie :

F

 
W  F  s  F s cos  
où
W : Travail effectué par la force F (J).

F : Force qui effectue le travail (N).

s : Déplacement sur laquelle la force est appliquée (m).
 : Angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement.

s
L’énergie cinétique
Nous avons démontré dans le cours de mécanique2 que l’énergie cinétique K représente l’énergie
associée au mouvement d’un objet. Cette énergie se calcul grâce à l’équation suivante :
K
où
1 2
mv
2
K : Énergie cinétique de la masse en mouvement (J).
m : Masse de l’objet en mouvement (kg).
v : Vitesse de l’objet (m/s).

v
1
K  mv2
2
m

vy

vx
v  vx  v y
2
2
L’énergie potentielle du ressort
Nous avons démontré dans le cours de mécanique3 que l’énergie potentielle emmagasinée dans un
ressort se calcul grâce à l’équation suivante :
Ur 
où
1 2
ke
2
U r : Énergie potentielle du ressort (J)
k : Constante de rappel du ressort (N/m)
e : Étirement ou compression du ressort (m)
Ur 
1 2
ke
2
e
0
e
xm 
1
Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 3.1
Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 3.1
3
Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 3.2
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
L’énergie d’un système masse-ressort oscillant à l’horizontale
Nous avons défini le théorème de la conservation de l’énergie4 dans le cours de mécanique de la façon
suivante :
E f  Ei  Wnc
E  K U
où
Lorsqu’on applique ce théorème à un système masse-ressort sans frottement, l’équation prend la forme
suivante : (aucun travail non conservatif, Wnc  0 )
E f  Ei
E
où
1 2 1 2
mv  ke
2
2
Analysons l’énergie d’un système masse-ressort à l’horizontale avec les équations du mouvement
suivantes :
xt   A sin  t   
  k /m ,
où
Situation 1 :
eA
Situation 2 :
0
A
x
E  Ur

E

1 2
ke
2
1
E  kA 2
2
( K  0 , car v  0 )
(Définition de U r )
(Étirement maximal, e  A )
Vitesse maximale et position d’équilibre
e0

EK

E
v  vmax
0
A
x




4
d xt 
 A cos t   
dt
Condition d’équilibre : x  0 lorsque e  0

v0
E  K Ur
–A
v x t  
Étirement maximal
E  K Ur
–A
et
1 2
mv
2
1
2
E  m A 
2
1
E  m 2 A 2
2
1
k
E  mA 2
2
m
1
E  kA 2
2
( U r  0 , car e  0 )
(Définition de K )
(Vitesse maximale, v  A )
(Distribution du carré)
(Remplacer  2  k / m )
(Simplifier m)
Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 3.4
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
L’énergie d’un système masse-ressort sans frottement à l’horizontale
Avec le théorème de la conservation de l’énergie, nous pouvons affirmer que l’énergie totale E d’un
système masse-ressort oscillant sans frottement à l’horizontale est définie par l’équation suivante :
E
1 2
kA ou
2
E
1
m 2 A 2
2
(condition d’équilibre : x  0 lorsque e  0 )
où
E : Énergie total du système masse-ressort (J)
k : Constant du ressort (N/m)
A : Amplitude maximale de l’oscillation (m)
m : Masse en oscillation (kg)
( 2  k / m )
 : Fréquence angulaire des oscillation (rad/s)
Preuve :
Considérons un système bloc ressort oscillant à l’horizontale. Évaluons la relation entre l’énergie du
système et l’amplitude des oscillations à partir d’une situation quelconque. Dans la démonstration,
utilisons les équations du mouvement suivantes :
xt   A sin W 
et
v x t   A cosW 
W  t 
tel que
En évaluant l’énergie du système, nous avons :
E  K Ur

E
1 2 1 2
mv  ke
2
2
(Définition de K et U r )

E
1 2 1 2
mv  kx
2
2
(Relation : x  e )

E
1
1
2
2
m A cosW   k  A sin W 
2
2
( xt   A sin W  et v x t   A cosW  )

E
1
1
mA 2 2 cos 2 W   kA 2 sin 2 W 
2
2
(Distribution du carré)

E
1 2
1
kA cos 2 W   kA 2 sin 2 W 
2
2
(Utiliser

E
1 2
kA cos 2 W   sin 2 W 
2
(Factoriser

E
1 2
kA
2
(Identité trigo, cos 2    sin 2    1 )

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina

1
1
mA 2 2  kA 2 )
2
2
1 2
kA )
2
Page 3
Situation A : L’énergie en cinématique du MHS. Albert dépose un bloc de 5 kg sur une surface
horizontale sans frottement. Il attache un ressort horizontal idéal non déformé dont la constante de
rappel est égale à 30 N/m sur le bloc et sur un mur fixe. Ensuite, Albert pousse le bloc horizontalement
avec une force de 40 N sur une distance de 10 cm. Lorsque le bloc passe à la position d’équilibre dans
le sens positif, Albert initialise son chronomètre à t = 0. On désire évaluer la vitesse du bloc à
2 secondes.
Albert effectue un travail sur le système initialement à une énergie nulle. Par conservation de l’énergie,
nous pouvons évaluer l’énergie du système :
E f  Ei  Wnc

E f  Wnc
( Ei  0 , car K i  0 et U r i  0 )

E f  F s cos 
(Travail : F s cos  )

E f  400,1 cos0
(Remplacer valeurs numériques)

Ef  4 J
(Énergie totale masse-ressort)
Nous pouvons évaluer l’amplitude du mouvement avec l’énergie totale du système masse-ressort :
1
2E
E  kA 2

(Isoler A)
A
2
k
24 

(Remplacer valeurs numériques)
A
30
A  0,516 m

(Évaluer A)
Nous pouvons évaluer la fréquence angulaire du système :
0 
k
m

0 
30
5

 0  2,45 rad/s
Puisqu’Albert initiale son chronomètre à x  0 (l’équilibre) lorsque le bloc se déplace avec une vitesse
positive v x  0 , nous pouvons choisir la constante de phase suivante :
 0
(valide avec la fonction sinus pour x)
Évaluons l’équation de la vitesse t  2 s à partir de l’équation de la position du MHS :
vx 
dx
dt
d A sin  t   
dt
(Remplacer x  A sin  t    )

vx 

v x  A cos t   

v x  0,5162,45 cos2,45t  0  (Remplacer valeurs numériques)

v x  0,236 m/s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Évaluer la dérivée)
(Évaluer v x t  2 )
Page 4
L’énergie potentielle gravitationnelle
Nous avons démontré dans le cours de mécanique5 que l’énergie potentielle emmagasinée dans un
champ gravitationnel constant se calcul grâce à l’équation suivante :
U g  mgy
où
U g  mgy
m
U g : Énergie potentielle gravitationnelle (J)
ym 
y

g
m : Masse de l’objet dans le champ gravitationnel (kg)
g : Le champ gravitationnel (N/kg)
0
y : La position verticale de l’objet (m)
L’énergie d’un pendule sans résistance de l’air à faible amplitude
Avec le théorème de la conservation de l’énergie, nous pouvons affirmer que l’énergie totale E d’un
pendule oscillant sans résistance de l’aire est définie par l’équation suivante sous approximation des
petites oscillations :
E
1
m 2 A 2
2
(condition d’équilibre : x  y  0 lorsque   0 )
où
E : Énergie total du pendule (J)
m : Masse du pendule (kg)
 : Fréquence angulaire de l’oscillation (rad/s)
(  g / L )
A : Amplitude maximale de l’oscillation (m)
Preuve :
Considérons un pendule oscillant sous l’effet de la
gravité. Évaluons la relation entre l’énergie du système et
l’amplitude des oscillations à partir d’une situation
quelconque. Dans la démonstration, utilisons les
équations du mouvement suivantes :
ym 

L cos
L
xm 
xt   A sin W 
et
v x t   A cosW 
tel que
W  t 
m
y
0
0
Posons l’énergie potentielle gravitationnelle nulle au point d’équilibre. Cette contrainte permet
d’affirmer que
x  y  0 lorsque   0 .
5
Rappel de mécanique : Physique XXI Volume A, chapitre 3.3
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
En évaluant l’énergie du système et appliquons l’approximation des petits angles (   1 rad ) étant
nécessaire pour obtenir le MHS chez le pendule (voir section 1.2) :
E  K Ug

E
1 2
mv  mgy
2
(Déf. de K , U r et U g )

E
1 2
mv  mgL1  cos  
2
(Remplacer y  L1  cos   )

E
  2
1 2
mv  mgL1  1 
2
2
 

E
2
1 2
mv  mgL
2
2

x / L 
1
E  mv 2  mgL
2
2

E
1 2 1 g 2
mv  m x
2
2 L
(Simplification)

E
1 2 1
mv  m 2 x 2
2
2
(Remplacer  2  g / L )

E
1
1
2
2
m A cosW   m 2  A sin W  ( xt   A sin W  et v x t   A cosW  )
2
2

E
1
m 2 A 2 cos 2 W   sin 2 W 
2
(Factoriser

E
1
m 2 A 2
2
( cos 2    sin 2    1 )

 


(Série de Taylor : cos   1 
2
2
)
(Simplification)
2

(Remplacer   x / L )

1 2 2
 A )
2
Situation B : Amplitude après une poussée. Un pendule de 3 kg et de 1,9 m de longueur est lancé
depuis une hauteur de 2 cm par rapport au point le plus bas qu’il peut être situé avec une vitesse de
0,7 m/s le long d’une trajectoire circulaire. Après quelques instants, on pousse le pendule avec une force
de 5 N le long de sa trajectoire dans le sens de son mouvement sur une distance de 10 cm. On désire
évaluer l’angle maximal que fait le pendule par rapport à la verticale après la poussée.
Évaluons l’énergie totale du système au moment où le pendule est lancé :
E  K Ug

E
1 2
mv  mgy
2

E
1
30,7 2  39,80,02
2

E  1,323 J
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 6
Évaluons le travail effectué par la poussée sur le pendule :
W  Fs cos 

W  50,1 cos0

W  0,5 J
Évaluons l’énergie totale du système après la poussée :
E f  Ei  W

E f  1,323  0,5

E f  1,823 J
Évaluons l’amplitude des oscillations :
E
1
m 2 A2
2
1 g 2
m  A
2 L

E

A
2 EL
mg

A
21,8231,9 
39,8

A  0,4854 m
Évaluons l’angle maximal qu’effectue le pendule par rapport à la verticale :
x  L

 A  L max 

0,4854   1,9 max

 max  0,2555 rad

 max  14,64
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(À la limite de l’approximation)
Page 7
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Tome C
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8