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Chapitre 2
Applications linéaires
Dans ce chapitre, on s’intéresse à une famille d’applications qui à un vecteur de Eassocie un
vecteur de F:lesapplicationslinéaires.Cesdernièressonttrèsutilisées en physique, traitement du
signal, . . .
Dans la suite de ce cours, on supposera toujours, sauf mentionexpliciteducontraire,queles
e.v. sont de dimension finie.
2.1 Définition et premières propriétés
Définition 2.1 (application linéaire) Soient Eet Fdeux K-e.v., et soit f:!E→F
u→f(u)une
application vérifiant
∀u, v ∈E, ∀λ∈K,f(u+λv)=f(u)+λf(v),(2.1)
alors on dit que fest une application linéaire (ou morphisme)deEdans F.
Remarque: On pourrait remplacer de manière équivalente (2.1) par
∀u, v ∈E, f(u+v)=f(u)+f(v)et∀u∈E, ∀λ∈K,f(λu)=λf(u).
Exemples: L’application ϕ:C([0,1],R)→R
f$→ "1
0f(t)dt est linéaire.
Proposition 2.2 Soit fune application linéaire de Edans F,alorsnécessairementf(0E)=0
F.
Proposition 2.3 On note L(E,F)l’ensemble des applications linéaires de Edans F,alorsL(E, F)
est un espace vectoriel.
Preuve : Tout d’abord, L(E,F)estnonvide,carilcontientl’applicationnulle0
L(E,F )définie par
∀u∈E, 0L(E,F )(u)=0
F,
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dont la linéarité est facile à vérifier. Pour f,g ∈L(E, F), on définit l’application f+gpar (f+g)(u)=
f(u)+g(u). On a alors
(f+g)(u+λv)=f(u+λv)+g(u+λv)
=f(u)+g(u)+λ(f(v)+g(v))
=(f+g)(u)+λ(f+g)(v),
ce qui assure que f+gest linéaire. Pour µ∈K,ondéfinitµf par (µf )(u)=µf(u). On obtient
alors
(µf)(u+λv)=µf(u+λv)=µ(f(u)+λf(v)) = (µf)(u)+λ(µf)(v),
ce qui prouve que µf est linéaire et achève donc la preuve. !
Définition 2.4 (composition de morphismes) Soient E,F et Gtrois K-e.v., soit v∈L(E, F)
et u∈L(F, G),alorsondéfinitlacomposée u◦vde uet vpar
∀x∈E, (u◦v)(x)=u(v(x)).
Il faut faire attention que toutes les quantités écrites aient un sens. Ici, xappartient à E,donc
v(x)appartientàFcar v∈L(E, F). On peut donc appliquer uàv(x), et on obtient alors un
élément de Gpuisque u∈L(F, G). On en déduit que u◦venvoye un élément x∈Esur un élément
u◦v(x)∈G.Lapropositionci-dessousditquelacomposéededeuxapplications linéaires est aussi
linéaire.
Proposition 2.5 Soit v∈L(E, F)et u∈L(F, G),alorsu◦v∈L(E, G).
2.2 Noyau, image d’un morphisme, Théorème du rang
Définition 2.6 (Noyau d’un application linéaire) Soit E,F deux K-e.v., et soit f∈L(E, F).
On définit le sous-ensemble de Enoté Kerfet appelé noyau de fpar
Kerf={x∈E|f(x)=0
F}.
Proposition 2.7 Soit f∈L(E,F),alorsKerfest un sous espace vectoriel de E.
Définition 2.8 (Image d’un application linéaire) Soit E,F deux K-e.v., et soit f∈L(E,F).
On définit le sous-ensemble de Fnoté Imfet appelé image de fpar
Imf={y∈F|∃x∈Et. q. f(x)=y}.
Proposition 2.9 Soit f∈L(E,F),alorsImfest un sous espace vectoriel de F.
Définition 2.10 (rang d’un application) On appelle rang d’une application linéaire f∈L(E,F)
la quantité
rgf=dimImf.
Théorème 2.11 (Théorème du rang) Soit E,F des e.v. de dimension finie et soit f∈L(E,F),
alors
dimKerf+rgf=dimE.
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Définition 2.12 (application injective, surjective, bijective) Une application f∈L(E,F)
est dite :
1. injective si Kerf={0E};
2. surjective si Imf=F;
3. bijective si elle est injective et surjective.
Proposition 2.13 On a les propriétés suivantes :
1. si f∈L(E;F)est injective, alors dimF≥dimE;
2. si f∈L(E;F)est surjective, alors dimF≤dimE;
3. si f∈L(E;F)est bijective, alors dimF=dimE.
Proposition 2.14 Soit f∈L(E;F)une application injective, alors ˜ f:!E→Imf
u$→ f(u)= ˜ f(u)est
bijective.
Proposition 2.15 Soit f∈L(E,F)et g∈L(F, G),alors
Kerf⊂Ker(g◦f),Im(g◦f)⊂Imf.
2.3 Cas particulier des endomorphismes L(E)
On considère maintenant un cas particulier : le cas où l’espace de départ coïncide avec l’espace
d’arrivée, c’est à dire L(E;E). Un application linéaire de Edans Eest appelé un endomorphisme
de E.Danscecas,onnoteL(E)(àlaplacedeL(E;E)) l’ensemble des endomorphismes de E.
On donne maintenant un théorème important qui est une conséquence directe des théorèmes 1.17
et 2.11.
Théorème 2.16 Soit fun endomorphisme, alors les trois propriétés suivantes sontéquivalentes:
1. fest injectif ;
2. fest surjectif :
3. fest bijectif.
Un endomorphisme joue un rôle particulier : l’identité de E.
Définition 2.17 (identité de E)On définit l’identité de E,notéIdEcomme l’élément de L(E)
tel que
∀x∈E, IdE(x)=x.
Soit fun endomorphisme bijectif de E(parfois appelé automorphisme de E)alorschaque
élément de Eadmet un unique antécédent :
∀y∈E, ∃!x∈Et.q. f(x)=y. (2.2)
On peut donc définir l’application f−1qui à yassocie cet unique xdans (2.2).
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Définition 2.18 (application inverse) Soit fun endomorphisme bijectif de E,alorsilexisteun
unique endomorphisme de Enoté f−1et appelé inverse de ftel que
∀x∈E, f ◦f−1(x)=f−1◦f(x)=x,
ce qui s’écrit aussi f◦f−1=f−1◦f=Id
E.
Proposition 2.19 Soit fun endomorphisme bijectif de E,alorsl’endomorphismef−1est aussi
bijectif, et #f−1$−1=f.
Définition 2.20 (groupe linéaire de E)On appelle groupe linéaire de El’ensemble noté G#(E)
des endomorphismes bijectifs (ou automorphismes) de E.
Remarque: G#(E)n’estpasunsous-espacevectorieldeL(E). En effet, 0L(E)n’est évidemment pas
bijectif et n’appartient donc pas à G#(E). Le fait que G#(E)nepuissepasêtreunespacevectoriel
découle alors de la Proposition 1.2.
Si l’ensemble des automorphismes n’est pas stable par addition et par multiplication externe
comme le souligne la remarque précédente, cet ensemble est enrevanchestableparcomposition:la
composée de deux automorphismes est un automorphisme. C’estlesujetdelapropositionsuivante.
Proposition 2.21 Soient f,g ∈G#(E),alorsf◦get g◦fappartiennent à G#(E).
Un des aspects qui donne une structure particulière à l’ensemble L(E)vientdufaitquela
composée de deux endomorphismes est encore un endomorphisme. cela permet en particulier d’itérer
plusieurs fois le même endomorphisme.
Définition 2.22 (puissance d’endomorphisme) Soit f∈L(E),ondéfinit,pournentier stric-
tement positif,
fn=f◦f◦···◦f
%&' (
nfois
.
On définit aussi f0=Id
E.Danslecasoùf∈G#(E),onpeutaussidéfinirlespuissancenégative
de fpar
f−n=f−1◦f−1◦···◦f−1
%&' (
nfois
.
On déduit directement de la proposition 2.15 que
Kerfn⊂Kerfpsi n≤p, Imfn⊂Imfpsi n≥p,
ce qui traduit que plus on itère un endomorpisme f,pluslenoyaudel’endomorphismeobtenuaprès
itération grandit, alors que l’image rétrécit. Cela est cohérent avec le théorème du rang, qui impose
que si le noyau grandit, l’image doit rétrécir.
On peut définir alors la notion de polynôme d’endomorphisme qui sera utile plus tard dans ce
cours (cf. Chapitre 6).
Définition 2.23 (polynôme d’endomorphisme) Soit P:= )N
k=0 akXk∈K[X]un polynôme à
coefficients dans K,etsoitf∈L(E),ondéfinitP(f)∈L(E)par
P(f):=
N
*
k=0
akfk.
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