CONVERSION DE PUISSANCE

Spé y 2008-2009 page 1/8 Devoir n°6
Spé y 2008-2009 Devoir n°6
CONVERSION DE PUISSANCE
CENTRALE PSI 2006
Partie A
A.1) On a U = E0 – RI avec E0 = FW donc U = FW – RI.
La caractéristique U = f(I) à W fixé est donc une droite de pente –R. La pente des droites de
la figure 1 permet donc trois déterminations de R.
L’ordonnée à l’origine des droites est FW. Comme on connaît W, on en déduit trois détermi-
nations de F.
A.2) D’après la relation U = E0 – RI, le schéma électrique de la
machine est le suivant :
La puissance induite fournie au circuit est donc PIND = E0I = FWI.
D’après le théorème de la conversion de puissance, la puissance
mécanique reçue de la part des force de Laplace est PLAP = –PIND = – FWI. Comme cette puissance
reçue est PLAP = CW, il vient C = –FI.
A.3) F est le flux propre de la machine. Son unité est donc le Weber (Wb). Dans le cadre de
l’électrotechnique, on peut aussi utiliser le V.tr–1.mn en référence à la relation E0 = FW.
A.4) La courbe 2 fournit les variations de E0 avec ie. Chacune des cour-
bes est tracée pour une valeur fixée de
W
. Comme E0 = F(ie).W, la courbe E0(ie)
est proportionnelle à celle de F(ie), le coefficient de proportionnalité de chaque
courbe étant W1, W2 ou W3. La courbe F(ie) a donc l’allure ci-contre.
A.5) Ÿ pour ie < i, la courbe montre que F est proportionnel à ie. Ce cou-
rant, circulant dans les bobines de l’inducteur, crée dans le milieu ferromagnéti-
que une excitation de valeur algébrique H proportionnelle à ie d’après le théo-
rème d’Ampère. Si le milieu est linéaire dans ces conditions, le champ magnétique crée est propor-
tionnel à H. Le flux F étant proportionnel à B, on obtient bien F = bie.
Ÿ pour ie > i, la courbe montre que F est indépendant de ie c’est-à-dire qu’il se produit une
saturation du flux. Elle correspondant à la saturation de
r
B
dans le milieu ferromagnétique.
A.6) La source d’entrée est une source idéale de tension constante e. Le courant parcourant
l’inducteur en régime établi est constant le convertisseur est un hacheur.
A.7) Avec les orientations indiquées sur la figure ci-contre, on a :
Ÿ phase 0 < t < aT :
K1 est fermé donc uK1 = 0 et iK1 est imposé par la source e donc il est posi-
tif. K2 est ouvert donc iK2 = 0 et uK2 = e > 0 .
Ÿ phase aT < t < T :
K2 est fermé donc uK2 = 0. K1 est ouvert donc iK1 = 0. uK1 = e – uK2 = e > 0.
Comme iK1 = 0, iK2 est imposé par la continuité du courant dans la bobine. On a donc iK2 < 0.
On peut placer les points de fonctionnement sur les caractéristi-
ques (uK, iK).
Pour K1, on a la caractéristique ci-contre . On reconnaît la fonc-
tion Transistor pour un dipôle placé comme indiqué à côté.
Pour K2, on a la caractéristique suivante que l’on peut
redessiner comme indiqué à côté. On reconnaît la fonction
Diode pour un dipôle placé comme indiqué ci-dessous :
ie
F
i
emax
i
K1
i
K2
u
K1
u
K2
e
uK1
iK1
(f)
(o)
uK1
iK1
uK2
iK2
(f)
(o)
–u
K2
–iK2
(f)
(o)
uK2
i
K2
E0 U
I
R

Spé y 2008-2009 page 2/8 Devoir n°6
Il reste à vérifier que ce dipôle commute spontanément. Pendant la phase 0 < t < aT, la
diode est ouverte iK2 = 0 et uK2 = e . Lorsque le transistor s’ouvre à l’instant t = aT, le courant iK1
s’annule et la continuité du courant imposée par la bobine entraîne que iK2 devient négatif ce qui
ferme la diode.
Pendant la phase aT < t < T, la diode est fermée iK2 < 0 et uK2 = 0 . Lorsque le transistor se
ferme à l’instant t = T, la tension uK2 devient égale à e > 0 ce qui ouvre la diode.
La diode commute donc spontanément à la fermeture et l’ouverture commandées du tran-
sistor.
A.8-a) Ÿ phase 0 < t < aT : le circuit se redessine :
On en déduit l’équation e L
di
t
dt
R i t= +
S
e
S e
(
)
( ) dont
la solution générale est i t Ae e
R
t
e
S
( ) = +
-t en notant t =
L
R
S
S
.
Pendant cette phase, le courant est imposé par la source ; son intensité est donc croissante et l’on
peut noter ie(0+) = im. Il vient donc i A
e
R
m
S
= + d’où A i
e
R
= -
m
S
puis
i t i e
Ree R
t
e m
S S
( ) = -
F
H
G
I
K
J+
-t pour 0 < t < aT .
Ÿ phase aT < t < T : le circuit se redessine :
On en déduit l’équation 0 = +L
di
t
dt
R i t
S
e
S e
(
)
( ) dont la solution générale est
i t A e
t T
e
( ) '=-
-
a
t.
Pendant cette phase, il n’y a pas de source donc l’intensité est décroissante et l’on peut noter
ie(aT+) = iM. Il vient donc A’ = iM puis i t i e
t T
e
M
( ) =-
-
a
t pour aT < t < T.
b) La bobine impose la continuité de l’intensité quel que soit t.
Ÿ à t = aT : ie(aT+) = ie(aT+) ce qui se traduit par ie
Ree Ri
T
m
S S
M
-
F
H
G
I
K
J+ =
-a
t
i i e
R
Ti
m m
S
M
- -
F
H
G
I
K
J=
a
t ou encore iT e
R
Ti
m
S
M
1-
F
H
G
I
K
J+ =
a
t
a
t.
Ÿ à t = 0 : ie(0+) = ie(T–) ce qui se traduit par i i e
T T
m
M
=-
-
a
t.
En reportant, on obtient i e e
Ree Ri
T T
M
S S
M
---
-
F
H
G
I
K
J+ =
( )1 a
t
a
t soit 1 1-
F
H
G
I
K
J= -
F
H
G
I
K
J
- -
ee
Ri e
T Ta
t t
S
M
d’où ie
R
e
e
T
T
M
S
=-
-
-
-
1
1
a
t
t
puis ie
R
e
e
e
T
T
T
m
S
=-
-
-
-
--
1
1
1
a
t
t
a
t
( )
c) En faisant un développement limité, on obtient ie
R
T T
T T
M
S
=
- - +
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
- - + F
H
GI
K
J
F
H
GI
K
J
1 1 1
2
1 1 1
2
2
2
a
t
a
t
t t
=
-
F
H
G
I
K
J
-F
H
GI
K
J
e
R
T
T
S
a
a
t
t
11
2
11
2
= -
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J+
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
e
R
T T
S
aa
t t
11
211 2 soit ie
R
T
M
S
= +
-
F
H
G
I
K
J
a
a
t
11
2
( ) .
i
e
u
e
L
S
R
S
i
e
u
L
S
R
S

Spé y 2008-2009 page 3/8 Devoir n°6
On obtient ensuite ie
R
T T
m
S
= +
-
F
H
G
I
K
J-
-
+
F
H
G
I
K
J
a
a
t
a
t
11
211( ) ( ) ... = +
-
-
-
F
H
G
I
K
J
e
R
T T
S
a
a
t
a
t
11
2
1( ) ( )
soit ie
R
T
m
S
= -
-
F
H
G
I
K
J
a
a
t
11
2
( ) .
d) Par définition, la valeur moyenne de ie(t) est
< >=
z
i
T
i t dt
T
e e
1
0( ) . On reconnaît A=
z
i t dt
T
e( )
0
l’aire sous la courbe d’une pé-
riode de ie(t). Or, dans le cadre de l’approximation linaire, le chronogramme
de ie(t) est le suivant :
On trouve
A = imT +
1
2
aT i i
M m
-
b
g
+
1
2
1( )- -a T i i
M m
b
g
= + -i T T i i
m M m
1
2
b
g
= +
1
2
T i i
M m
b
g
.
Il reste < >=
+
i
i
i
e
M m
2
.
Avec les expressions obtenues à la question précédente, il vient < >=i
e
R
e
S
a.
A.9) Dans l’approximation linéaire, on obtient l’ondulation Di = iM – im = = -a a t
( )1
e
R
T
S
.
Le taux d’ondulation est donc
D
i
i
T
MOY
= -( )1 at.
A.10) Pour a = 0,5, il vient
D
i
i
T
MOY
=2t. On veut
D
i
ip
MOY
< avec p = 0,01 donc il faut
T < 0,02.t.
A.N. T < (0,02)(5´10–3) = 10–4 s soit T < 0,1 ms ou f > 10 kHz.
L’ondulation Di est maximale pour a =
1
2
. Cette valeur de a correspond donc au cas le plus
défavorable.
B.1) Les relations caractérisant le fonctionnement des dispositifs sont i i
e
R
e e
S
=< >= a et
U = FW car I = 0 puisque la machine fonctionne en sortie ouverte, soit U = bie.W d’après
l’expression de F(ie).
B.2) Par construction,
U
e
R
= ba
S
W. La vitesse de rotation W0 correspond donc à la tension
de consigne U0 de façon que
U
e
R
0 0 0
= a b
S
W.
Avec DU = U0 – U, il vient D WU
e
R
= -b a aW
S
0 0
b
g
. Comme on a a a= +k
U
U
D
0
0, il vient
D W W D Ue
RkU U
= - +
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
b a a
S
0 0
0
0= - -
F
H
G
I
K
J
UkU
U
0
0 0
0 0
0
aa WW W W D
( ) donc
D
DW
W
W
W
D
U
U
k
U
U
0 0 0 0 0
= - a
soit DW
W
D W
W
0 0 0 0
1= +
F
H
G
I
K
J
U
U
k
a= +
F
H
G
I
K
J
DU
U
kU
U
0 0
1a.
Comme
D
U
U0
1
<< , on a U » U0 et a » a0. On peut donc écrire
kU
Ua0
1>> puisque k >> a et
kU
U
k
a a
0 0
= . Il reste donc
DW
W
D
D
0 0 0 0 0
= »
U
U
kU
U
U
U
k
a a soit
D
DW
W
U
U k
0
0
0
»
a
.
a
TT
t
ie
im
iM

Spé y 2008-2009 page 4/8 Devoir n°6
B.3) On a k
U
U
» a0
0 0
DW
W
D
/ A.N.
k
»
(
,
)(
,
)
/
(
,
)
0
5
0
1
0
001
= 50.
C.1) On en en régime sinusoïdal donc on utilise les impédances complexes. Le dipôle de
charge est constitué par une association série RC, LC donc son impédance complexe est
ZC = RC + jLCw. La loi d’Ohm uC = ZCiC conduit alors à :
i
u R jL
C
CC C
=+
1
w soit
i
u R jL
R
C
CCC
C
=
+
1
1
1w
.
On reconnaît la fonction de transfert d’un filtre passe bas du premier ordre de pulsation de
coupure wC
C
C
=
R
L. L’intensité sera donc insensible aux variations hautes fréquences de la tension.
C.2) Le développement en série proposée est une fonction paire donc il faut choisir une ori-
gine des temps au milieu d’une alternance (positive ou négative). Par exemple, on peut choisir la
nouvelle origine en q d
p
d
= +
-
2
soit q
p
d
= +
2
2
.
Les nouvelles valeurs critiques de q sur une demi période sont alors 0, p
p
d
p
d
- +
F
H
G
I
K
J
= -
2 2 2 2 ,
p d
p
d
p
d
+ - +
F
H
G
I
K
J
= +
2 2 2 2 et enfin ( ) ( ) ( )p d
p
p
d
p
d
p d p
p
d
p
d
+ +
-
+
- +
F
H
G
I
K
J
= + + - +
F
H
G
I
K
J
- +
F
H
G
I
K
J
2
2 2 2 2 2 2 2
=
+
-
+
2
p
d
p
d
b
g
= p (ce qui correspond bien à la fin d’une demi période).
On a alors
a U n d U n d
n( ) cos( ) ( )cos( )qpq q pq q
p d
p d
p
= + -
F
H
G
I
K
J
-
+
z
z
22
2
2
2
0
0
2 2 0
2 2
=L
N
MO
Q
P-L
N
MO
Q
P
F
H
G
G
I
K
J
J
-
+
2 1 1
0
0
2 2
2 2
U
nnnn pq q
p d
p d
p
sin( ) sin( )
= -
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
L
N
M
O
Q
P- - +
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
L
N
M
O
Q
P
F
H
G
I
K
J
2
2 2 2 2
0
U
nn n p
p d p d
sin sin =
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
222 2
0
U
nn n p
p d
sin cos .
Ÿ si n est paire, on pose n = 2p et il vient a
U
pp p
p2
0
4
2
( ) sin cosqpp d=
b
g
b
g
c
h
soit a2p(q) = 0.
Ÿ si n est impaire, on pose n = 2p + 1 et il vient
aU
pp p
p2 1 0
4
2 1 2 2 1 2
+=++
F
H
G
I
K
J+
F
H
G
I
K
J
F
H
G
I
K
J
( ) ( ) sin cos ( )qppp d soit aU
pp
p
p
2 1
0
4
2 1 1 2 1 2
+) = +- +
F
H
G
I
K
J
(( ) ( ) cos ( )qp
d
On obtient donc le développement : u t U
pp p t
p
p
c( ) ( ) cos ( ) cos ( )=-
++
F
H
G
I
K
J+
F
H
G
I
K
J
=
¥
å
4 1
2 1 2 1 22 1
0
0
p
dw
b g .
C.3) Les amplitudes des harmoniques de rang n = 2 et n = 4 sont nulles d’après ce qui pré-
cède. Le circuit récepteur est un filtre passe bas. En choisissant une fréquence de coupure de l’ordre
de 50 Hz, on aura log(a5) = log(a1) – 20log(5) = log(a1) – 14. En annulant l’harmonique de rang 3,
on peut donc considérer que les harmoniques de rang supérieurs seront filtrées.
C.4) L’harmonique de rang 3 est nulle si cos 320
d
F
H
G
I
K
J
= soit 3
2
2
d
p
p= + p. La plus petite va-
leur acceptable correspond à d
p
=
3
.
C.5) En prenant la courbe donnée, on obtient
u d U d U d
C
2
0
2
0
2
0
2 2 0
2
2 2
2( ) ( )q q q q
pp d
p d
p
z
z
z
= + -
F
H
G
I
K
J
-
+= - + - +
F
H
G
I
K
J
L
N
M
O
Q
P
F
H
G
I
K
J
22 2 2 2
0
2
Up d pp d = -20
2
Up d
b
g
.
On en déduit
U
U
EFF =- 0
p d
p.

Spé y 2008-2009 page 5/8 Devoir n°6
Avec la valeur d
p
=
3
, il reste
U
U
EFF =0
2
3
. A.N UEFF = 0,82U0.
La valeur efficace du fondamental qui est sinusoïdal est
U
U
EFF,1 =
F
H
G
I
K
J
4
22
0
p
d
cos . Avec d
p
=
3
il
reste
U
U U
EFF,1 =
F
H
G
I
K
J=
4
26
4
2
3
2
0 0
p
p
p
cos soit
U
U
EFF,1 =0
6
p
. A.N UEFF,1 = 0,78U0.
En ne gardant que le fondamental, on commet donc une erreur relative
d
U
U
EFF
EFF
=
-
0
82
0
78
0 82
,
,
,
= 5%. À cette erreur près, on peut donc assimiler la tension à son fondamental.
C.6) En assimilant la tension à son fondamental, on a
U
U
0
6
=EFF,1
p
.
A.N.
U
0220
6
=
p
= 282 V.
C.7) La puissance totale consommée est P = 10´PLAMPE + PMOTEUR.
A.N. P = (10)(100) + 3000 = 4000 W ou encore P = 4 kW.
On peut représenter l’association parallèle avec, en valeurs effica-
ces, IU
L
L
C
=
P
(A.N IL=
100
220
= 0,45 A) et IU
M
M
=
P
cos( )j (A.N
IM=
3000
220 0 8( )( , ) = 17,04 A).
La loi des nœuds s’écrit IC = 10´IL + IM = 10´IL + IM[cos(j) + jsin(j)] d’où
I I I I
C L M M
= ´ + +10 222 cos( ) sin ( )j j
b
g
.
A.N. IC= ´ + + -10 0 45 17 04 0 8 17 04 1 0 8
22 2
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
b
g
= 20,85 A.
En notant jC le déphasage entre uC(t) et iC(t) de valeurs efficaces UC et IC, on peut écrire
P = UCICcos(jC). Or UC = ZCIC avec ZC = RC + jLCw. On a donc cos( )j
w
C
C
C C
=
+
R
R L
2 2 2 et
U
I R L
C C C C
= +
2 2 2
w. On peut donc écrire P = RCIC2 ou P=
+
U I
R
R L
C C
C
C C
2 2 2
w
.
On en déduit RI
C
C
=
P
2. A.N. RC=
4000
20 85 2 ( , ) = 9,2 W.
Par ailleurs, R L U I R
C C C C
C
2 2 2
2
+ =
F
H
G
I
K
J
wP d’où LR U I
C
C C C
=
F
H
G
I
K
J-
wP
2
1.
A.N. LC=´
F
H
G
I
K
J-
9 2
2 50
220 20 85
4000 1
2
, ( )( , )
p = 16,4 mH.
MINES-PONTS PSI 2006
D.1) Chaque bobine du stator constitue un conducteur fixe placée dans un champ magnéti-
que variable. Il s’y produit un phénomène d’induction de type Neuman caractérisé par une f.e.m.
e t
d
t
dt
( )
(
)
= -
F
d’après la loi de Faraday. Avec Fi(t) = F0cos(Wt – qi), il vient
ei(t) = WF0sin(Wt – qi).
C’est une fonction sinusoïdale du temps donc la valeur efficace est E=
WF
0
2
. Elle ne dé-
pend pas de la bobine considérée.
R
R
M
I
L
I
L
I
M
I
C
UC