![](//s1.studylibfr.com/store/data-gzf/d044284db845d46775c1daa55e142cfe/1/001904711.htmlex.zip/bg1.jpg)
Universit´e de Tours Ann´ee 2015-2016
Licence L1 de Math´ematiques, Informatique et Sciences de la Mati`ere - S1
CHAPITRE 2
NOMBRES COMPLEXES ET ´
EQUATIONS ALG´
EBRIQUES (12 h)
1 Nombres complexes
1.1 Introduction
L’ensemble des nombres complexes se note C. Cet ensemble est construit en “ajoutant”
aux nombres r´eels un nombre “imaginaire” dont le carr´e est ´egal `a -1, et en prolongeant les
op´erations d’addition et de multiplication. La motivation initiale de cette construction ´etait la
r´esolution des ´equations alg´ebriques, en particulier des ´equations du troisi`eme degr´e. Depuis le
19`eme si`ecle, les nombres complexes sont devenus un outil fondamental dans toutes les branches
des math´ematiques (g´eom´etrie, analyse et alg`ebre), mais aussi en physique et en ´electronique.
On retiendra tout d’abord que :
•l’ensemble des nombres r´eels Rest une partie de C;
•l’ensemble Ccontient un ´el´ement, not´e ipar les math´ematiciens, tel que i2=−1 ;
•il existe dans Cune addition et une multiplication qui prolongent les op´erations usuelles
dans R. Les r`egles de calcul avec ces deux op´erations sont les mˆemes que pour les nombres
r´eels, ce qu’on r´esume en disant que Cest un corps.
•mais attention ! La relation d’ordre sur Rn’admet pas de prolongement naturel sur C; une
in´egalit´e entre nombres complexes n’a a priori aucun sens.
(Outre une connaissance de l’ensemble des nombres r´eels, ce chapitre pr´esuppose que la mesure
des angles plans en radians et les fonctions sinus, cosinus sont connues.)
1.2 ´
Ecriture alg´ebrique d’un nombre complexe
Tout nombre complexe zs’´ecrit de mani`ere unique sous la forme : z=a+ib, o`u a, b sont
deux nombres r´eels et iv´erifie i2=−1. C’est la forme alg´ebrique du nombre complexe z.
Cette ´ecriture ´etablit une bijection entre l’ensemble des nombres complexes Cet le plan r´eel R2.
R`egles d’addition et de multiplication : Soient z=a+ib et z0=a0+ib0deux nombres
complexes. On a z+z0= (a+a0) + i(b+b0) et zz0= (aa0−bb0) + i(ab0+ba0).
D´efinitions et notations : Soit z=a+ib ∈C, avec (a, b)∈R2.
•Le nombre r´eel aest la partie r´eelle de z; on le note Re(z).
Le nombre r´eel best la partie imaginaire de z; on le note Im(z).
•On appelle conjugu´e de zet on note zle nombre complexe z=a−ib.
•On appelle module de zle nombre r´eel positif |z|=pa2+b2.
Les applications “partie r´eelle” et “partie imaginaire” sont lin´eaires :
Re(z+z0) = Re(z) + Re(z0)
Im(z+z0) = Im(z) + Im(z0), et pour tout λ∈R,Re(λ·z) = λ·Re(z)
Im(λ·z) = λ·Im(z).
1