Le cours - Playmaths

1 http://playmaths.free.fr
Intégration
I. Intégrale d’une fonction positive
1) Intégrale et aire
Unité d’aire :
Dans un repère orthogonal (O,Error!,Error!), l’unité d’aire (u.a.) est
l’aire du rectangle unitaire OIAJ, où Error!=
OI
et Error! =
OJ
Exemple :
Si les unités sont 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnées, alors l’unité
d’aire est 6 cm².
Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]
et soit D le domaine du plan défini par
D = {M(x ; y) P, a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)}
On appelle intégrale de f entre a et b l’aire, exprimée en unités
d’aire (u.a.) du domaine D.
Ce nombre est noté
dx)x(f
b
a
a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
x est la variable d’intégration ; elle peut être remplacée par une
autre lettre non utilisée.
Sens de cette notation :
On « découpe » la surface concernée en plusieurs petits rectangles.
Chaque rectangle a pour aire f(x).dx
Puis pour obtenir une approximation de cette aire, on fait la somme des aires de ces
rectangles :
b
a
dx)x(f
Puis on fait tendre dx vers 0 pour obtenir l’aire cherchée :
b
a
0dx dx)x(flim
, ce qu’on note,
pour exprimer la continuité :
b
a
dx)x(f
.
Ex 6 à 10 p.258
2) Premières propriétés
dt)t(f
a
a
= 0
dem : [a ; a] = {a}, l’aire du domaine D est nulle.

2 http://playmaths.free.fr
3) Relation de Chasles
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Pour tous réels a, b et c de I :
dx)x(f
b
a
+
dx)x(f
c
b
=
dx)x(f
c
a
Interprétation dans le cas où f est positive
et a ≤ b ≤ c :
4) Fonction définie par une intégrale
Théorème :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et x un réel de [a ; b].
La fonction F définie sur [a ; b] par F(x) =
x
a
dt)t(f
est dérivable sur l’intervalle [a ; b] et sa
dérivée est la fonction f.
Pour tout réel x de [a ; b], on a F’(x) = f(x).
Dem : dans le cas où la fonction f est positive et croissante ( admis dans le cas général)
Soit F(x) =
x
a
dt)t(f
définie sur [a : b].
Pour x fixé, calculons
h
)x(F)hx(F 
avec h  0, tel que x+h ☻ [a ; b].
1er cas : h positif
Par définition de l’intégrale et par soustraction des aires, on peut dire que F(x+h) – F(x) est
l’aire sous la courbe comprise entre les droites d’équations y = x et y = x +h.
La fonction f est croissante ; cette aire est donc comprise entre
h)x(f 
et
h)hx(f 
.
En divisant la double inégalité par h > 0, on obtient :
)hx(f
h
)x(F)hx(F
)x(f 
Comme la fonction f est continue en x, lorsque h tend vers 0, f(x+h) tend vers f(x).
A l’aide du th des gendarmes, on a
)x(f
h
)x(F)hx(F
lim
0h
2ème cas : h négatif …
On obtient –(F(x+h) - F(x)) est l’aire comprise entre les droites d’équations y = x + h et y = x.
On a donc
)x(f)h())x(F)hx(F()hx(f)h( 
En divisant la double inégalité par (-h) > 0, on obtient :
)x(f
h
)x(F)hx(F
)hx(f 
Par continuité, on a
)x(f
h
)x(F)hx(F
lim
0h
D’après l’étude des deux cas, on a
)x(f
h
)x(F)hx(F
lim
0h
. La fonction F est dérivable de
dérivée f(x).

3 http://playmaths.free.fr
Exemple :
f(t) = 2t sur [0 ; 10]
Sur [0 ; 10], la fonction f est positive, continue, donc
dt)t(f
x
0
existe.
Cette intégrale est l’aire du triangle …
dt)t(f
x
0
dt)t2(
x
0
².xx2x
2
1
Ex 22 à 27 p.259
II. Lien entre intégrale et primitive
1) Primitive d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est f.
Ainsi, pour tout x de I, F’(x) = f(x)
Théorème :
Soit F une primitive de la fonction f sur un intervalle I.
Alors toute fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k, où k est un réel est une primitive de
f.
Si F et G sont deux primitives de f, alors il existe un réel k tel que pour tout x de I, on a
F(x) = G(x) +k.
Autrement dit, deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.
Dem :
Soit F une primitive sur I d’une fonction f.
Soit G(x) = F(x) + k
G’(x) = F’(x) + k’ = f(x) + 0 = f(x).
G est donc une primitive de f.
Soit G(x) une autre primitive de f sur I.
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0
(G(x) – F(x))’ est donc la fonction nulle ; G(x) – F(x) est donc une fonction constante
sur I.
G(x) – F(x) = k ; d’où G(x) = F(x) + k.
Théorème : (existence)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Dem: dans le cas d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et qui admet un minimum m.
(Admis dans les autres cas).
M ≥ 0 :
f est continue positive sur [a ; b]. F(x) =
x
a
dt)t(f
est dérivable sur [a ; b] et F’ = f.
f admet bien une primitive sur [a ; b].
m < 0 :
g(x) = f(x) – m > 0.

4 http://playmaths.free.fr
g est continue, positive sur [a ; b].
G(x) =
x
a
dt)t(g
est dérivable sur [a ; b] et G’ = g.
Or f(x) = g(x) + m ; la fonction F définie par F(x) = G(x) + mx est une fonction dérivable de
dérivée f(x) = g(x) + m.
Donc la fonction f admet bien une primitive sur [a ; b].
2) Primitives de fonctions usuelles
Les formules de dérivation des fonctions usuelles permettent de dresser le tableau des
primitives suivant :
Fonction f(x)
Primitive F(x)
Sur I = ….
a
ax + k
Ë
x
kx
2
12
Ë
xn ( n  É )
Error!xn+1 + k
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
Error!
- Error! + k
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
n
x
1
k
x)1n(
1
1n 
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
x
1
2
x
+ k
] 0 ; +õ[
x
e
x
e
+ k
ℝ
x
1
ln x
] 0 : +∞ [
3) Primitives de formes usuelles
On obtient le tableau ci-dessous à partir du théorème de dérivation d’une fonction
composée.
Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
fonction
primitive
Remarques
u’.un (n  ℤ/{-1})
1n
u1n
Si n <-1, u(x) ≠ 0)
u
'u
u2
u > 0
n
u
'u
1n
u)1n(
1
+ k
n ≥ 2
u ne s’annulant pas sur I.
u
e'u
u
e
u
'u
ln u
u > 0
Ex 13 à 21 p.258
Ex 48-50

5 http://playmaths.free.fr
4) Calcul d’une intégrale
Théorème :
Soit f une fonction définie, continue et positive sur [a ; b].
Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors
b
a
dt)t(f
= F(b) – F(a).
On note aussi :
dt)t(f
b
a
= [F(t)]
b
a
Dem :
La fonction G(x) =
x
a
dt)t(f
est une primitive de f sur [a ; b]
Si F est une primitive quelconque de f sur I, alors il existe une constante réelle k telle que
G(x) = F(x) + k ( =
dt)t(f
x
a
)
G(a) = F(a) +k =
dt)t(f
a
a
= 0 donc k = - F(a)
Donc G(x) = F(x) + k = F(x) – F(a)
Si x = b, on obtient l’égalité recherchée.
III. Intégrale d’une fonction continue
1) Définition et propriété
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I, et F une primitive de
f sur I.
L’intégrale de f sur l’intervalle [a ; b] est le nombre F(b) – F(a) noté
dt)t(f
b
a
On note aussi :
dt)t(f
b
a
= [F(t)]
b
a
dx)x(f
b
a
= -
dx)x(f
a
b
2) Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur un intervalle et a, b et c dans cet intervalle, alors
dx)x(f
b
a
dx)x(f
c
b
dx)x(f
c
a