Le cours - Playmaths

Intégration
I. Intégrale d’une fonction positive
1) Intégrale et aire
Unité d’aire :
Dans un repère orthogonal (O,Error!,Error!), l’unité d’aire (u.a.) est
l’aire du rectangle unitaire OIAJ, où Error!= OI et Error! = OJ
Exemple :
Si les unités sont 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnées, alors l’unité
d’aire est 6 cm².
Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]
et soit D le domaine du plan défini par
D = {M(x ; y) P, a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f(x)}
On appelle intégrale de f entre a et b l’aire, exprimée en unités
d’aire (u.a.) du domaine D.
Ce nombre est noté
b
 f(x) dx
a
a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
x est la variable d’intégration ; elle peut être remplacée par une
autre lettre non utilisée.
Sens de cette notation :
On « découpe » la surface concernée en plusieurs petits rectangles.
Chaque rectangle a pour aire f(x).dx
Puis pour obtenir une approximation de cette aire, on fait la somme des aires de ces
rectangles :
b
 f(x) dx
a
Puis on fait tendre dx vers 0 pour obtenir l’aire cherchée : lim
dx 0
pour exprimer la continuité :
b
 f(x) dx , ce qu’on note,
a
b
 f(x) dx .
a
Ex 6 à 10 p.258
2) Premières propriétés
a
 f(t) dt = 0
a
dem : [a ; a] = {a}, l’aire du domaine D est nulle.
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3) Relation de Chasles
Soit f une fonction continue positive sur un intervalle I.
Pour tous réels a, b et c de I :
c
b
 f(x) dx =
 f(x) dx +
a
b
c
 f(x) dx
a
Interprétation dans le cas où f est positive
et a ≤ b ≤ c :
4) Fonction définie par une intégrale
Théorème :
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et x un réel de [a ; b].
La fonction F définie sur [a ; b] par F(x) =
dérivée est la fonction f.
Pour tout réel x de [a ; b], on a F’(x) = f(x).
x
 f(t) dt est dérivable sur l’intervalle [a ; b] et sa
a
Dem : dans le cas où la fonction f est positive et croissante ( admis dans le cas général)
Soit F(x) =
x
 f(t) dt définie sur [a : b].
a
Pour x fixé, calculons
F(x  h)  F(x)
avec h  0, tel que x+h ☻ [a ; b].
h
1er cas : h positif
Par définition de l’intégrale et par soustraction des aires, on peut dire que F(x+h) – F(x) est
l’aire sous la courbe comprise entre les droites d’équations y = x et y = x +h.
La fonction f est croissante ; cette aire est donc comprise entre f(x)  h et f( x  h)  h .
F(x  h)  F(x)
En divisant la double inégalité par h > 0, on obtient : f(x) 
 f(x  h)
h
Comme la fonction f est continue en x, lorsque h tend vers 0, f(x+h) tend vers f(x).
F(x  h)  F(x)
 f(x)
A l’aide du th des gendarmes, on a lim

h
h0
2ème cas : h négatif …
On obtient –(F(x+h) - F(x)) est l’aire comprise entre les droites d’équations y = x + h et y = x.
On a donc ( h)  f(x  h)  (F(x  h)  F(x))  ( h)  f(x)
F(x  h)  F(x)
En divisant la double inégalité par (-h) > 0, on obtient : f(x  h) 
 f(x)
h
F(x  h)  F(x)
 f(x)
Par continuité, on a lim

h
h0
D’après l’étude des deux cas, on a lim
h0
F(x  h)  F(x)
 f(x) . La fonction F est dérivable de
h
dérivée f(x).
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Exemple :
f(t) = 2t sur [0 ; 10]
Sur [0 ; 10], la fonction f est positive, continue, donc
x
x
0
0
x
 f(t) dt existe.
0
Cette intégrale est l’aire du triangle …  f(t) dt   (2t) dt 
1
 x  2x  x².
2
Ex 22 à 27 p.259
II. Lien entre intégrale et primitive
1) Primitive d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est f.
Ainsi, pour tout x de I, F’(x) = f(x)
Théorème :
Soit F une primitive de la fonction f sur un intervalle I.
Alors toute fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k, où k est un réel est une primitive de
f.
Si F et G sont deux primitives de f, alors il existe un réel k tel que pour tout x de I, on a
F(x) = G(x) +k.
Autrement dit, deux primitives d’une fonction diffèrent d’une constante.
Dem :
Soit F une primitive sur I d’une fonction f.
Soit G(x) = F(x) + k
G’(x) = F’(x) + k’ = f(x) + 0 = f(x).
G est donc une primitive de f.
Soit G(x) une autre primitive de f sur I.
(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0
(G(x) – F(x))’ est donc la fonction nulle ; G(x) – F(x) est donc une fonction constante
sur I.
G(x) – F(x) = k ; d’où G(x) = F(x) + k.
Théorème : (existence)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Dem: dans le cas d’une fonction continue sur un intervalle [a ; b] et qui admet un minimum m.
(Admis dans les autres cas).
M≥0:
f est continue positive sur [a ; b]. F(x) =
f admet bien une primitive sur [a ; b].
x
 f(t) dt est dérivable sur [a ; b] et F’ = f.
a
m<0:
g(x) = f(x) – m > 0.
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g est continue, positive sur [a ; b].
G(x) =
x
 g(t) dt
est dérivable sur [a ; b] et G’ = g.
a
Or f(x) = g(x) + m ; la fonction F définie par F(x) = G(x) + mx est une fonction dérivable de
dérivée f(x) = g(x) + m.
Donc la fonction f admet bien une primitive sur [a ; b].
2) Primitives de fonctions usuelles
Les formules de dérivation des fonctions usuelles permettent de dresser le tableau des
primitives suivant :
Fonction f(x)
Primitive F(x)
Sur I = ….
a
ax + k
x
xn ( n  É )
Error!
1
xn
1
x
ex
1
x
Ë
1 2
x k
2
Error!xn+1 + k
- Error! + k
1
k
(n  1)xn 1
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
2 x +k
] 0 ; +õ[
ex + k
ℝ
ln x
] 0 : +∞ [
Ë
] -õ ; 0[ ou ] 0 ; +õ[
3) Primitives de formes usuelles
On obtient le tableau ci-dessous à partir du théorème de dérivation d’une fonction
composée.
Soit u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
fonction
primitive
Remarques
u’.un (n  ℤ/{-1})
u n 1
n 1
Si n <-1, u(x) ≠ 0)
2 u
u>0
u'
un
1
+k
(n  1) un 1
n≥2
u ne s’annulant pas sur I.
u'e u
eu
u'
u
ln u
u'
u
u>0
Ex 13 à 21 p.258
Ex 48-50
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4) Calcul d’une intégrale
Théorème :
Soit f une fonction définie, continue et positive sur [a ; b].
Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors
b
 f(t) dt = F(b) – F(a).
a
On note aussi :
b
 f(t) dt = [F(t)] a
b
a
Dem :
x
La fonction G(x) =  f(t)dt est une primitive de f sur [a ; b]
a
Si F est une primitive quelconque de f sur I, alors il existe une constante réelle k telle que
G(x) = F(x) + k ( =
G(a) = F(a) +k =
a
x
 f(t) dt )
a
 f(t) dt = 0 donc k = - F(a)
a
Donc G(x) = F(x) + k = F(x) – F(a)
Si x = b, on obtient l’égalité recherchée.
III. Intégrale d’une fonction continue
1) Définition et propriété
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I, et F une primitive de
f sur I.
L’intégrale de f sur l’intervalle [a ; b] est le nombre F(b) – F(a) noté
b
 f(t) dt
a
On note aussi :
b
 f(t) dt = [F(t)] a
b
a
b

f(x) dx = -
a
a
 f(x) dx
b
2) Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur un intervalle et a, b et c dans cet intervalle, alors
b
c
c
a
b
a
 f(x) dx   f(x) dx   f(x) dx
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3) Linéarité
Si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I et si k est une constante, alors :
b
 [f(x)  g(x)] dx =
a
b
b
a
a
b
 f(x) dx +
a
b
 g(x) dx
a
 k f(x) dx = k  f(x) dx
Ex 28 à 31 p.259
4) Positivité
Si f est continue et positive sur l’intervalle [a ; b], alors l’intégrale est positive.
Si f(x) ≥ 0 alors
b
 f(x) dx  0
a
5) Relation d’ordre
Soient f et g deux fonctions continues sur [a ; b] telles que f(x) ≤ g(x) sur [a ; b], alors
b
b
a
a
 f(x) dx   g(x) dx
Interprétation dans le cas où f est positive sur [a ; b]
A1 ≤ A2
Ex 32 à 36 p.260
6) Valeur moyenne :
Définition :
On appelle valeur moyenne d’une fonction f continue sur l’intervalle [a ; b] le réel µ défini par
µ=
1
ba
b
 f(x) dx
a
Interprétation :
Dans le cas où f est une fonction positive sur l’intervalle
[a ; b], cette valeur moyenne  est la hauteur du rectangle
ABCD, de base ( b – a ), ayant la même aire A que le domaine
en bleu ci-contre.
A = . ( b – a )
Ex 37 à 43 p.261
Pb.83-86 p.270
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