1 Nombres Complexes - IMJ-PRG

J´erˆome Dubois “Alg`ebre et Analyse ´el´ementaires”
1NombresComplexes
Le carr´e d’un nombre r´eel est connu pour ˆetre toujours positif. Ainsi, l’´equation
x2=−1n’admetpasdesolutiondansR.Afindedoterdetelles´equations,d´epourvues
de solutions r´eelles, de solutions “fictives”, les nombres dits complexes furent intro-
duits `a la fin du XVI`eme si`ecle. Ce fut un succ`es imm´ediat puisque ces quantit´es
abstraites se prˆetent tr`es bien au calcul alg´ebrique. Plus d’un si`ecle plus tard, A. Fres-
nel d´ecouvrit qu’une repr´esentation complexe convenablepermettaituntraitement
efficace de questions li´ees aux ph´enom`enes ´electromagn´etiques, conf´erant ainsi `a l’en-
semble des nombres complexes le statut d´efinitif d’outil scientifique.
1.1 Le corps des nombres complexes
Dans la suite, on note il’une des deux solutions de l’´equation alg´ebrique x2=−1.
L’autre solution ´etant −i.Onappelleil’unit´e imaginaire.
Tout nombre complexe zs’´ecrit de fa¸con unique sous la forme, dite cart´esienne,
suivante :
(∗)z=a+ib, avec a, b des nombres r´eels.
Dans l’´equation (∗), as’appelle la parti e r´eel le de z,not´eeRe(z);bs’appelle la partie
imaginaire de z,onlanoteIm(z). Notons qu’un nombre complexe z=a+ib est r´eel
si, et seulement si, b=0.Ilestditimaginairepurlorsquez=ib,c’est-`a-direlorsque
a=0.
L’ensemble des nombres complexes est not´e C;Ren est un sous-ensemble.
1. Calculs dans C.—Pour tous z, z!∈Cavec z=a+ib et z!=a!+ib!,ona:
z=z!si, et seulement si, a=a!et b=b!
z=0si,etseulementsi,a=0etb=0
z+z!=(a+ib)+(a!+ib!)=(a+a!)+i(b+b!)
−z=−a−ib
z·z!=(a+ib)·(a!+ib!)=(aa!−bb!)+i(ab!+a!b)
si z$=0,alors z−1=1
a2+b2(a−ib).
2. Conjugu´e et module.—Au nombre complexe zavec z=a+ib,sontassoci´e:
–sonconjugu´e :
z=a+ib =a−ib ∈C;
–sonmodule :
|z|=√z·z=|a+ib|=!a2+b2∈R+.
Propri´et´es du conjugu´e :Pour tous z, z!∈C,ona:
(a) z+z!=z+z!
(b) z·z!=z·z!
(c) z=z(on dit que l’op´eration ·est involutive)
(d) z∈Rsi, et seulement si, z=z.
Propri´et´es du module :Pour tous z, z!∈C,ona:
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(a) z=0si,etseulementsi,|z|=0
(b) |z|>0pourtoutz$=0
(c) |z|=|z|
(d) |z·z!|=|z|·|z!|
(e) Re(z)!|z|et Im(z)!|z|
(f) In´egalit´e triangulaire : |z+z!|!|z|+|z!|
(g) z∈R+si, et seulement si, z=|z|.
D´emonstration. — Seule l’in´egalit´e triangulaire n’est pas une simple routine.
Observons d’abord que
|z+z!|2=|z|2+|z|2+2Re(z·z!).
De plus Re(z·z!)!|z·z!|=|z|·|z!|.Ainsi
|z+z!|2!|z|2+|z|2+2·|z|·|z!|="|z|+|z!|#2.
On conclut en utilisant la croissance sur R+de la fonction racine carr´ee. "
Remarques. Soit zun nombre complexe.
(a) si z$=0,onaz−1=1
|z|2z.
(b) Re(z)= z+z
2.
(c) Im(z)= z−z
2i.
(d) Pour tous z, z!∈C,ona:||z|−|z!|| !|z+z!|.
1.2 Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe
L’image de tout nombre complexe zde forme cart´esienne z=a+ib dans le plan
R2(rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O, −→u,−→v)estlepointMde coordonn´ees (a, b).
Le vecteur −−→ OM est le vecteur image de z.
1
2
0
a
b
i
a+ib
−→u
−→v
Figure 1–Repr´esentation g´eom´etrique du nombre complexe z=a+ib.
Le nombre complexe zs’appelle l’affixe du point Mou du vecteur −−→ OM.
Le module |z|de zest la longueur du segment [OM].
L’image du conjugu´e zde zest le sym´etrique de l’image de zpar rapport `a l’axe
des abscisses.
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1.3 Argument et forme polaire d’un nombre complexe
1. Rappels sur les fonctions trigonom´etriques et leurs inverses.
(a) D´efinitions.—On mesure les angles positifs dans le sens trigonom´etrique,
contraire `a celui des aiguilles d’une montre, et les angles n´egatifs dans
le sens horaire. Une demi-droite qui fait un angle θavec l’axe des abs-
cisses [Ox)coupelecercleunit´eenunpointdecoordonn´ees(cosθ,sin θ).
G´eom´etriquement, cela provient du fait que l’hypot´enusedutrianglerec-
tangle ayant pour sommets les points de coordonn´ees (0,0), (cos θ,0) et
(cos θ,sin θ)est´egaleaurayonducercleunit´edonc`a1.Onadonccosθ=x
et sin θ=y.
(1,0)
(0,1)
(−1,0)
(0,−1)
!√3
2,1
2"
!√2
2,√2
2"
!1
2,√3
2"
!−1
2,√3
2"
!−√2
2,√2
2"
!−√3
2,1
2"
!−√3
2,−1
2"
!−√2
2,−√2
2"
!−1
2,−√3
2"
!1
2,−√3
2"
!√2
2,−√2
2"
!√3
2,−1
2"
0
0◦
30◦π
6
45◦π
4
60◦π
3
π
2
90◦
2π
3120◦
3π
4135◦
5π
6150◦
π180◦
7π
6210◦
5π
4225◦
4π
3240◦
3π
2
270◦
5π
3
300◦
7π
4
315◦
11π
6
330◦
sin θ
cos θ
Figure 2–Cercle trigonom´etrique et valeurs particuli`eres de sin etcos.
1
−1
y=sin(x)
−ππ
π/2x
y
Figure 3–Repr´esentation graphique de la fonction x'→ sin(x).
Z´eros des fonctions trigonom´etriques.Ona:
sin(x)=0si,etseulementsi,x∈{kπ|k∈Z}.
cos(x)=0si,etseulementsi,x∈{π/2+kπ|k∈Z}.
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1
−1
y=cos(x)
−ππ
π/2x
y
Figure 4–Repr´esentation graphique de la fonction x'→ cos(x).
Lorsque cos θ$=0,ond´efinittanθ=sin θ
cos θ.Observonsque,pourtout
x∈R\{π/2+kπ|k∈Z},ona:
tan(x)=0si,etseulementsi,x∈{kπ|k∈Z}.
Notons que pour tout θ,onalarelation:
cos2θ+sin
2θ=1.
y=tan(x)
0
−ππ
π/2−π/2x
y
Figure 5–Repr´esentation graphique de la fonction x'→ tan(x).
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(b) Relations entre les fonctions sinus et cosinus.—Les fonctions sinus et
cosinus sont 2π-p´eriodiques : pour tout θet tout entier k,ona
cos(θ)=cos(θ+2kπ),sin(θ)=sin(θ+2kπ).
De plus, pour tout θ,ona
cos(θ+π)=−cos(θ),sin(θ+π)=−sin(θ)
cos(π/2−θ)=sin(θ),sin(π/2−θ)=cos(θ)
cos(π/2+θ)=−sin(θ),sin(π/2+θ)=cos(θ)
cos(π−θ)=−cos(θ),sin(π−θ)=sin(θ).
(c) Parit´e des fonctions trigonom´etriques.—
–Lafonctionx'→ cos xest paire :cos(−θ)=cos(θ), pour tout θ∈R.
–Lafonctionx'→ sin xest impaire :sin(−θ)=−sin(θ), pour tout θ∈R.
–Lafonctionx'→ tan xest impaire :tan(−θ)=−tan(θ), pour tout
θ∈R\{π/2+kπ|k∈Z}.Deplus,lafonctiontanestπ-p´eriodique :
pour tout θ∈R\{π/2+kπ|k∈Z},tan(θ+kπ)=tan(θ).
(d) Limites.—Les fonctions trigonom´etriques ne poss`edent pas de limites `a
l’infini puisqu’elles sont p´eriodiques et non constantes.
De plus, la fonction tan qui n’est pas d´efinie au points π/2+kπ,k∈Z,
v´erifie (voir Fig. 5) :
lim
x→π/2,x<π/2tan(x)=+∞,lim x→−π/2,x>−π/2tan(x)=−∞.
(e) Relations trigonom´etriques.—Les fonctions trigonom´etriques satisfont
les relations suivantes :
cos(2a)=cos
2(a)−sin2(a)=2cos 2(a)−1=1−2sin 2(a)
cos(a+b)=cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b)
cos(a−b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
sin(a−b)=sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b)
tan(a+b)= tan(a)+tan(b)
1−tan(a)tan(b),tan(a−b)= tan(a)−tan(b) 1+tan(a)tan(b)
cos(p)+cos(q)=2cos$p+q
2%cos $p−q 2%
cos(p)−cos(q)=−2sin$p+q
2%sin $p−q 2%
sin(p)+sin(q)=2sin$p+q
2%cos $p−q 2%
sin(p)−sin(q)=2sin$p−q
2%cos $p+q 2%
(f) Fonctions r´eciproques.—Les fonctions trigonom´etriques ne sont pas
bijectives. En revanche, en les restreignant `a certains intervalles bien choi-
sis, elles r´ealisent des bijections permettant ainsi de d´efinir les fonctions
trigonom´etriques r´eciproques :
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